Множество которое содержит все свои граничные точки называется открытым

Точечные множества в n-мерном пространстве

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n вещественных чисел (х1, х2, …хn) называютn-мерным координатным пространством. Каждую такую совокупность называю точкой n-мерного пространства, а сами числа – ее координатами.

Например, плоскость – двумерное координатное пространство, в котором любая совокупность двух вещественных чисел определяет точку (координаты точки на плоскости можно обозначить (х1, х2), а не только (х, у), как это было принято при изучении курса планиметрии в рамках школьной программы). Прямая – одномерное координатное пространство. Координаты точки в трехмерном пространстве можно обозначить (х1, х2, х3) или (х, у, z). Для координат можно использовать различные обозначения, но при этом число координат должно соответствовать размерности пространства (т.е. в двумерном пространстве – две координаты, на прямой – одна координата, в трехмерном пространстве – три координаты, в десятимерном – десять координат и т.д.). Отметим, что если пространства размерности до трех включительно можно зрительно представить себе и даже изобразить, то пространства большей размерности представляют собой научную абстракцию.

N-мерное координатное пространство называют евклидовым, если между двумя любыми его точками X (1) = (х1 (1) , х2 (1) , …хn (1) ) и X (2) = (х1 (2) , х2 (2) , …хn (2) ) определено расстояние, определяющееся соотношением (более подробно понятие расстояния изучается в курсе линейной алгебры).

Множество всех точек n-мерного пространства, удаленных от заданной точки X (0) = (х1 (0) , х2 (0) , …хn (0) ) на расстояние, меньшее R, называют открытым n–мерным шаром радиуса R с центром в точке X (0) ., т.е. для всех точек открытого шара .

Если это неравенство выполняется, как нестрогое (т.е. расстояние не больше R: ), то шар называют замкнутым, или просто шаром.

Множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называют сферой с центром в заданной точке, т.е. для любой точки сферы , где R – радиус сферы.

Например, замкнутый шар на плоскости представляет собой круг, т.е. множество точек, удаленных от центра на расстояние, не большее радиуса. Сфера на плоскости представляет собой окружность. Замкнутый шар на прямой – это отрезок (центр – его середина, радиус – половина длины). Сфера – концы этого отрезка. В трехмерном пространстве шар и сферу легко представить себе визуально. В пространствах большей размерности они представляют собой научную абстракцию.

Следует отметить, что если к открытому шару присоединить сферу того же радиуса с тем же центром, то будет получен замкнутый шар. Например, круг на плоскости – это открытый круг вместе с окружностью.

Всякий шар, содержащий точку X (0) , называется окрестностью
точки X (0) . Открытый шар радиуса e > 0 с центром в точке X (0) называют e-окрестностью точки X (0) .

Например, на прямой всякий интервал, содержащий точку, называется окрестностью этой точки. Интервал с серединой в данной точке длиной 2e называется e-окрестностью точки. На плоскости всякий круг, содержащий данную точку, является ее окрестностью. Открытый круг радиуса e с центром в данной точке — e-окрестность точки.

Точки, в любой e-окрестности которых содержатся точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему, называются граничными. Например, для шара любая точка соответствующей сферы (с тем же центром и радиусом) является граничной. Если множество содержит все свои граничные точки, оно называется замкнутым. В частности, в этом отличие замкнутого шара от открытого: открытый шар не содержит свои граничные точки.

Точка является внутренней для некоторого множества, если существует некоторая ее e-окрестность, все точки которой принадлежат этому множеству. Точка является внешней для некоторого множества, если существует некоторая ее окрестность, все точки которой не принадлежат этому множеству. Граничные точки обычно не являются ни внешними, ни внутренними.

Все точки пространства по отношению к данному множеству можно разделить на внутренние, внешние и граничные. Множество включает свои внутренние точки и не включает внешние. Граничные точки иногда принадлежат множеству, а иногда нет (например, для замкнутого шара принадлежат, а для открытого – нет).

Например, концы отрезка – его граничные точки, а все остальные точки отрезка – его внутренние точки. Любая точка, не лежащая на отрезке, является внешней по отношению к множеству точек отрезка.

Множество точек D n-мерного пространства называется выпуклым, если для любых двух точек X (1) и Х (2) , принадлежащих этому множетсву, отрезок, соединяющий эти точки, также, целиком принадлежит этому множеству, т.е. для любых X (1) , Х (2) Î D точка Х = aX (1) + (1 — a)Х (2) Î D, где aÎ [0;1].

Например, круг или отрезок – выпуклые множества точек, а окружность – невыпуклое. На рисунке 5.2 изображены примеры фигур, множества точек которых относятся к выпуклым или невыпуклым множествам.

В определении выпуклого множества формула Х = aX (1) + (1 — a)Х (2) (aÎ [0;1]) представляет собой формулу отрезка с концами X (1) и Х (2) , которая при значении параметра a = 0 приводит к получению конца Х (2) , а при значении параметра a = 1 приводит к получению конца Х (1) . При любых других значениях aÎ[0;1] будет получена внутренняя точка отрезка, причем если a = ½, то будет получена его середина, если a = 1/3, то отрезок будет разбит этой точкой в пропорции 1:2, начиная от точки Х (2) (т.е. будет отсчитана треть длины отрезка от этого конца) и т.д.

Например, возьмем точки X (1) = (1; 0) и Х (2) = (3; 2). Формула отрезка между ними примет вид aX (1) + (1 — a)Х (2) = a*(1; 0) + (1 — a)*(3; 2) = (a*1 + (1 — a)*3; a*0 + (1 — a)*2) = (a + 3 — 3a; 2 — 2a) = (3 — 2a; 2 — 2a), причем вместо a в этой формуле можно подставлять любое число на промежутке [0;1]. Чтобы получить середину отрезка, надо взять a = ½, в результате чего мы получим точку (3 – 2*0,5; 2 — 2*0,5a) = (2; 1). Если взять, например, значение a = 0,05, то получим точку (3 – 2*0,05; 2 — 2*0,05a) = (2,9; 1,9). Она отсчитает на отрезке 5/100 или 1/20 его длины от конца Х (2) , т.е. разобьет отрезок в пропорции 1:19. И т.д. Рассмотренные точки отображены на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1. Формула отрезка

Отметим, что один и тот же отрезок можно описать двумя разными формулами (можно поменять его концы местами, т.е. отсчитывать долю длины отрезка от другого конца).

9.2.1 Открытые множества

Определение. Открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho >0$ называется множество всех точек $x\in \mathbb^n,$ таких, что $|x-x_0|<\rho.$ Этот шар обозначается $B(x_0,\rho)$ и называется также $\rho$-окрестностью точки $x_0.$

Определение. Пусть задано множество $E \subset \mathbb^n.$ Точка $x_0 \in E$ называется внутренней точкой множества $E,$ если существует шар $B(x_0,\rho),$ содержащийся в $E.$ Другими словами, точка $x_0$ называется внутренней точкой множества $E,$ если она входит во множество $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E$ называется открытым, если все его точки являются внутренними точками этого множества. Условимся также считать пустое множество $\emptyset$ открытым.

Пример 1. Каждый открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.

Действительно, пусть $x \in B(x_0,r).$ Нужно доказать, что существует такая окрестность точки $x,$ которая целиком содержится в шаре $B(x_0,r).$ Положим $\rho = r-|x-x_0|.$ Тогда $\rho > 0,$ так как $|x-x_0|<r.$ Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r).$ Пусть $y \in B(x,Ѕ).$ Тогда $|y-x|<\rho.$ Оценим расстояние между точками $y$ и $x_0.$ По неравенству треугольника имеем $$|y-x_0|\leqslant|y-x|+|x-x_0|<\rho + |x-x_0|=r$$ что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары — это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.

Пример 2. Рассмотрим открытые $n$-мерные интервалы. Для двух заданных векторов $a,b \in \mathbb^n,$ таких, что $a^i < b^i (i=1,…,n),$ открытым интервалом называется множество всех точек $x,$ координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i=1,…,n).$ Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1,…,a^n,b^n).$

В частности, в $\mathbb^2$ открытые интервалы — это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb^3$ — параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ — открытый интервал и пусть $x \in J,$ т. е. $a^i < x^i < b^i (i=1,…,n).$ Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i-x^i)(i=1,…,n)$ и $\delta=min(\delta^1,…,\delta^n).$ Покажем, что шар $B(x,\delta)$ содержится в $J.$ Действительно, если $y \in B(x,\delta),$ то $|y-x|<\delta.$ Отсюда следует, что $|x^i-y^i|<\delta$ для всех $i=1,…,n.$ Пользуясь определением числа $\delta,$ видим, что $a^i < y^i < b^i$ для всех $i=1,…,n,$ так что $y \in J,$ что и требовалось доказать.

Пример 3. Множество $S$ всех точек на действительной прямой — открытое.

Рассмотрим некую точку $x,$ которая находится на расстоянии $\rho$ от точки $x_0 = (0),$ затем рассмотрим шар $B(x,\eps).$ Каждая точка, принадлежащая этому шару, также, очевидно, принадлежит всей действительной прямой, т.е. $\forall y \in B(x,\eps): y \in S,$ что означает что любая точка входит в множество $S$ вместе с некоторым шаром, а по определению это значит, что $S$ — открытое множество

Свойства открытых множеств.

Теорема. Система всех открытых множеств в $\mathbb^n$ обладает следующими свойствами:

  1. все пространство $\mathbb^n$ и пустое множество $\emptyset$ открыты; любого конечного числа открытых множеств открыто; любого семейства $\\>_$ открытых множеств открыто.
  1. Пустое множество $\emptyset$ открыто по определению, а всё пространство $\mathbb^n,$ очевидно, открыто, поскольку любой шар содержится в $\mathbb^n.$
  2. Пусть $G_1,…,G_s$ — открытые множества, $G = \bigcap\limits_^s G_i.$ Пусть $x \in G.$ Тогда $x \in G_i$ для всех $i=1,…,s.$ Но каждое из множеств $G_i$ открыто, так что для каждого $i=1,…,s$ найдется шар $B(x,r_i) \subset G_i.$ Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,r),$ где $r = min(r_1,…,r_s).$ Тогда $B(x, r) \subset G_i$ при каждом $i=1,…,s,$ а значит, $B(x,r) \subset G,$ и тем самым доказано, что множество $G$ открыто.
  3. Пусть $G = \bigcup\limits_ G_,$ где каждое множество $G_$ открыто. Докажем, что и множество $G$ также открыто. Действительно, пусть $x \in G.$ Тогда $x$ принадлежит по крайней мере одному из множеств $G_.$ Так как это множество $G_$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset G_ \subset G.$ Таким образом, $G$ — открытое множество.

Замечание. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязано быть открытым множеством. Например, пусть $B_k$ — открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac (k = 1,2,…).$ Тогда $\bigcap\limits^_ B_k = \.$ Но множество $\,$ состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Определение. Пусть $E$ — непустое множество в $\mathbb^n.$ Тогда совокупность всех его внутренних точек называется внутренностью множества $E$ и обозначается через $\mathring$ или $\text E.$

Теорема. Для любого непустого множества $E$ его внутренность — открытое множество.

Будем предполагать, что $\mathring$ не пусто. Пусть $x \in \mathring.$ Тогда $x$ — внутренняя точка множества $E$ (по определению внутренности). Нужно доказать, что $x$ является также внутренней точкой множества $\mathring.$ Итак, найдется шар $B(x,\rho) \subset E.$ Но поскольку шар — открытое множество, то каждая точка $y \in B(x,\rho)$ содержится в этом шаре вместе с некоторой окрестностью $U_y.$ Значит $U_y \subset E,$ и поэтому $y$ — внутренняя точка множества $E,$ т.е. $y \in \mathring.$ Таким образом, мы получили, что $B(x,\rho) \subset \mathring,$ а это означает, что $\mathring$ — открытое множество, и теорема доказана.

Пример 4. Рассмотрим область определения функции $f(x) = \frac.$ $D(f) = (-\infty;0)\cup(0;\infty),$ значит $D(f)$ можно представить в виде объединения двух интервалов $D(f) = A_1 \cup A_2,$ где $A_1 = (-\infty;0); A_2 = (0;\infty),$ то есть в виде объединения двух открытых множеств, так как интервалы — открытые множества по доказанному ранее. А значит, по свойству открытых множеств, множество $D(f)$ — открытое множество.

Пример 5. Рассмотрим область определения функции $f(x) = \sqrt.$ $D(f)=\ | x \geqslant 0\>.$ Это множество не является открытым, докажем это. Рассмотрим точку $x=0.$ $x \in D(f),$ однако не существует такого открытого шара $B(x,\rho),$ который полностью бы лежал в $D(f),$ так как в этом шаре будет присутствовать точка $y,$ такая что $x-\rho < y < x = 0.$ Из этого следует, что $y < 0$ и $y$ не принадлежит $D(f).$ Значит $D(f)$ не является открытым множеством.

Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). [1] [2]

Содержание

Евклидово пространство

Пусть U \subset \mathbb<R>^n» width=»» height=»» /> есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда <img decoding=называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,такое что V_<\varepsilon>(x_0) \subset U» width=»» height=»» />, где <img decoding=Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство

Пусть  (X,\rho) — некоторое метрическое пространство, и U \subset X. Тогда Uназывается открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,такое что V_<\varepsilon>(x_0) \subset U» width=»» height=»» />, где <img decoding=относительно метрики \rho.

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство (X,\mathcal<T>)» width=»» height=»» /> по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств <img decoding=. Подмножество U \subset X, такое, что оно является элементом топологии (то есть U \in \mathcal<T>» width=»» height=»» />), называется открытым множеством <i>относительно топологии <img decoding=

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *