7.3. Плоское движение твердого тела
Рассмотрим теперь плоское движение твердого тела, то есть движение, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Пример такого движения — вращение колеса автомобиля при его движении по прямой. Можно взять любую точку 0 тела и мысленно провести через нее ось вращения перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела. Тогда ось вращения будет двигаться поступательно, оставаясь все время параллельной самой себе.
Видео 7.2. Плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Полет плоской картонной фигуры
Соответственно, скорость 
элементарной массы 
твердого тела складывается из скорости 
поступательного движения точки 0 и линейной скорости вращения вокруг связанной с ней (мысленно проведенной) оси:
где 
— радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке 0.
Кинетическая энергия элементарной массы равна тогда:
имеет модуль, равный 
, где — расстояние массы от оси вращения. Следовательно, третье слагаемое в скобках равно 
. Второе слагаемое, представляющее собой смешанное произведение векторов, не меняется при циклической перестановке сомножителей:
В результате получим для кинетической энергии элемента твердого тела следующее выражение
Для нахождения кинетической энергии тела просуммируем по всем элементарным массам:
Сумма элементарных масс
есть масса твердого тела. Выражение
где 
— радиус-вектор центра масс тела относительно точки 0.
— есть момент инерции тела 
относительно оси вращения. Поэтому для кинетической энергии твердого тела можно записать формулу:
Поскольку выбор мысленной оси вращения всецело в нашей власти, мы упростим полученное выражение, взяв в качестве точки 0 центр масс тела. Тогда = 0 и кинетическая энергия тела при плоском движении равна
Здесь 
— скорость движения центра масс, a 
— момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и ортогональной плоскости, где лежат траектории точек тела. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
Движение твердого тела определяется действующими на тело внешними силами и моментами этих сил
Индекс 
в обозначениях для момента внешней силы означает проекцию момента на ось вращения.
В следующих примерах мы имеем дело с плоским движением.
Видео 7.3. Зависимость поведения цилиндров на наклонной плоскости от характера распределение массы по их объему
Пример 1. Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом 
и массой 
скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом 
к горизонту с высоты 
(рис. 7.12). Начальная скорость тела равна нулю. Найдем скорость центра масс каждого тела в конце спуска.
Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости
Рассмотрение данной задачи можно вести двумя способами.
1-й способ. По условию тело катится без проскальзывания. Это условие используется у нас дважды. Сила трения между телом и плоскостью действует в точке соприкосновения и в отсутствие скольжения не превышает своего максимального значения:
где 
— коэффициент трения скольжения.
Оси координат удобно направить следующим образом: ось х — вдоль движения, ось у — перпендикулярно наклонной плоскости. Тело движется под действием трех сил: силы тяжести 
, силы трения 
и силы нормального давления 
, так что уравнение поступательного движения центра инерции тела имеет вид:
Вдоль оси у тело не движется. Проецируя уравнение движения центра масс на ось у, получаем для силы нормального давления соотношение:
Проекция уравнения движения на ось х дает:
Так как линейная скорость точек соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью равна нулю (опять используем условие отсутствия проскальзывания), то скорость (ускорение) поступательного движения связаны с угловой скоростью (угловым ускорением) тела обычными соотношениями:
Кроме поступательного движения, тело еще и вращается. Вращение удобно описывать относительно оси z, проходящей через центр масс цилиндра.
Выбор этот обусловлен тем, что линии действия силы тяжести и силы нормального давления плоскости проходят через ось вращения и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, цилиндр вращается только под действием силы трения, и уравнение вращательного движения имеет вид:
Таким образом, получается система 4-х уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение с дополнительным неравенством, выражающим закон трения. Решая систему уравнений, находим:
Чем больше момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, тем меньше ускорение тела. Мы уже получили ответ на один из вопросов задачи: шар будет двигаться быстрее цилиндра, а цилиндр — быстрее обруча. Подставляя решение для силы трения в неравенство, выражающее закон трения, находим условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание:
Смысл этого условия прост: наклон не должен быть слишком крут.
Итак, центр масс тела движется вдоль плоскости с постоянным ускорением a, так что зависимость пройденного пути и скорости от времени имеет вид:
Отсюда следует связь скорости и пройденного пути:
К концу спуска тело проходит путь
так что его скорость достигает величины
Подставляя сюда моменты инерции обруча (
), цилиндра (
) и шара (
), находим соответственно:
2-й способ. Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию
Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии 
. Отсюда следует найдено выше выражение для скорости тела в конце спуска. Такой способ намного короче, но он не позволяет узнать детали процесса: действующие на тело силы и т.п.
В рассмотренном выше примере мы считали примере мы имели дело со случаем, когда проскальзывание отсутствовало. Это позволило утверждать простую связь (
) между угловой и линейной скоростями тела и его радиусом. Сила трения покоя находилась при этом в результате решения уравнений движения. В случае, когда тело движется с проскальзыванием, заранее известной связи между линейной и угловой скоростями нет. Зато мы заранее знаем силу трения: раз точка соприкосновения тела с поверхностью скользит по поверхности, сила трения есть сила трения скольжения,модуль которой связан с силой нормального давления законом Амонтона — Кулона.
Силы трения, как уже говорилось, направлены так, чтобы препятствовать относительному проскальзыванию соприкасающихся тел. Часто путают это возможное проскальзывание с осуществляемым поступательным движением. Необходимо четко понимать, что не редки случаи, когда сила трения не тормозит, но ускоряет тело, то есть направлена по его движению. Самый известный пример — трогание автомобиля с места. Колеса начинают вращаться и проскальзывают по земле назад. Соответственно, сила трения направлена вперед, и именно она заставляет автомобиль трогаться. Чтобы ближе познакомиться с подобными случаями, рассмотрим пример.
Пример 2. Цирковой артист бросает на арену обруч массой и радиусом , который начинает катиться в горизонтальном направлении со скоростью 
(рис. 7.13). При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью 
. Найдем, при какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту, а также конечную скорость 
поступательного движения обруча.
Рис. 7.13. Движение обруча с обратным вращением
При обратном вращении обруча точка его касания с ареной движется вперед как из-за вращения, так и из-за поступательного движения обруча. Поэтому неизбежно существует проскальзывание и, значит, сила трения достигает своего максимального значения. Она тормозит как поступательное движение, так и вращение обруча. Может случиться так, что поступательное движение обруча будет остановлено в тот момент, когда он еще сохраняет обратное вращение. Далее сила трения начнет ускорять обруч по направлению к артисту. Ускорение это прекратится, когда исчезнет тенденция к проскальзыванию, после чего обруч покатится назад равномерно с некоторой установившейся скоростью . Может, однако, случиться и так, что раньше будет остановлено обратное вращение, и тогда обруч сохранит поступательное движение вперед, изменив направление вращения на прямое. Чтобы различить эти два случая, качественных рассуждений недостаточно, и мы обратимся к формулам.
Направим ось ОХ направо (в направлении красной стрелки на рис. 7.13), ось вращения ОZ направим на нас (см. следующий пример, там эту ось удобнее направить от нас, то есть за чертеж), то есть в направлении «обратного» вращения, ось OY направим как обычно, вверх. Плоское движение обруча представим как суперпозицию его поступательного движения вместе с центром масс (геометрическим центром, поскольку обруч предполагается однородным). Спроектируем линейные и угловые скорости на соответствующие оси. Тогда, до тех пор, пока сила трения есть сила трения скольжения и направлена она налево, уравнения движения имеют вид
Уравнение (7.3.1) описывает движение центра масс обруча, а уравнение (7.3.2) его вращение вокруг оси проходящей через центр масс в той системе отсчета, в которой она покоится (системе центра масс). В (7.3.2) учтено, что момент инерции однородного обруча относительно его оси симметрии равен 
. После элементарного интегрирования получаем
Поступательное движение прекратится, то есть 
станет равным нулю, в момент времени
Вращение прекратится, то есть 
станет равным нулю,в момент времени
может быть любым ввиду независимости начальных скоростей поступательного 
и вращательного 
движений.
Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение скорость 
нижней точки обруча — той его точки, которая касается поверхности арены. Отметим уже здесь, что условием исчезновения проскальзывания является обращение в ноль скорости именно этой точки, потому что скорость соответствующей точки на поверхности арены (той, которой касается обруч) очевидным образом в нашей системе отсчета, где арена неподвижна, равна нулю. Отсутствие проскальзывания это и есть неподвижность этих двух точек относительно друг друга. При выбранном направлении осей OZ и OX, имеем
Если 
, то первым прекратится поступательное движение обруча. В момент времени 
скорости (7.3.3) и (7.3.8) будут иметь значения
Нижняя точка обруча, за счет продолжающегося вращения, будет по-прежнему скользить относительно арены направо (направо на рисунке 7.13), сила трения скольжения сохранит свою величину и направление налево. Соответственно, центр обруча начнет ускорятся налево, то есть станет меньше нуля и начнет расти по модулю, вращение против часовой стрелки (на рисунке 7.13) будет продолжать замедлятся. Другими словами, при обруч в момент времени (7.3.5) начинает возвращаться к бросившему его артисту.
Как следует из (7.3.8), в момент времени
скорость нижней точки обруча из (7.3.8) обращается в ноль, проскальзывание прекращается, сила трения скольжения скачком сменяется равной нулю силой трения покоя (силой трения качения пренебрегаем) и обруч начинает катится к артисту с постоянной скоростью движения центра масс
вращаясь против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
Если , то первым, в момент времени (7.3.6), прекратится вращение обруча. В момент времени 
скорость (7.3.8) нижней точки обруча будет равна скорости его центра и положительна:
Скольжение остается, сила трения скольжения сохраняет свою величину и направление налево, но обруч под действием этой силы трения скольжения начинает вращаться по часовой стрелке (напоминаем: налево, направо, по или против часовой стрелки — на рисунке 10). В результате этого скорость центра масс (центра обруча) будет уменьшаться, скорость вращения увеличиваться, в момент времени
проскальзывание обруча прекратится и обруч начнет равномерно удаляться от артиста со скоростью центра (7.3.10) и угловой скоростью вращения (7.3.11). Напомним, что в этом случае 
, так что 
а 
Таким образом, ответ на вопрос: «Вернется обруч или укатится?» определяется начальными условиями, а конкретнее величиной параметра 
, который имеет простой физический смысл: это отношение модуля
скорости любой точки обруча за счет его поступательного движения вместе с центром масс к модулю скорости той же точки за счет вращения обруча вокруг оси, проходящей через его центр масс, в начальный момент времени.
Пример 3. Описать движение обруча (см. предыдущий пример), если ему придано прямое вращение (рис. 7.14). Поскольку обруч вращается теперь на рис. 7.14 по часовой стрелке, направим ось вращения OZ от нас, то есть за чертеж — в отличие от предыдущего случая.
Рис. 7.14. Движение обруча с прямым вращением: 1 – 
; 2 – 
Начальная скорость нижней точки обруча складывается из скорости поступательного движения 
и линейной скорости 
за счет вращения, направленной в противоположную сторону. В связи с этим надо различать два случая.
1 случай или 
. Тогда начальная скорость 
нижней точки обода положительна, то есть, направлена в ту же сторону, что и скорость 
. Значит, сила трения f направлена в противоположную сторону, как показано на рис. 11–1. В связи с изменением положительного направления оси вращения необходимо лишь изменить знак перед вторым слагаемым в уравнении (7.3.4). Решение уравнений движения в рассматриваемом случае имеют вид
При новом выборе направления оси вращения скорость нижней точки обруча записывается в виде
Момент 
исчезновения проскальзывания определится из того же соотношения равенства нулю скорости нижней точки обруча или равенства по модулю противоположно направленных скоростей этой точки за счет поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движение вокруг оси, проходящей через центр масс:
Скорость поступательного движения обруча в этот момент становится равной
и остается потом неизменной. Эта скорость меньше начальной скорости поступательного движения обруча.
2 случай или 
. В этом случае скорость нижней точки обода отрицательна, направлена против скорости 
. Значит, сила трения 
направлена по (см. рис.11-2).
Соответственно, в уравнениях движения и их решениях (7.3.14) и (7.3.15) надо изменить знаки на противоположные перед вторыми слагаемыми, содержащими изменившую направление силу трения, получаем:
Соответственно, выражение для скорости нижней точки обруча приобретает вид:
Момент прекращения проскальзывания 
определяется аналогично и оказывается равным:
а для скорости установившегося движения получается вновь выражение
но в данном случае она будет больше () начальной скорости поступательного движения.
Положение МЦС для некоторых частных случаев движения
Мгновенный центр скоростей находится в точке , где каток касается плоскости. Действительно, точки плоскости не подвижны. Каток катится без скольжения. Следовательно, в точке касания скорости тел (катка и плоскости) должны быть одинаковыми и равными нулю. Если известна скорость точки , то угловая скорость катка вычисляется по формуле:
, где — радиус катка. . Оказывается, что мгновенная скорость песчинки, прилипшей к колесу автомобиля в точке , в два раза больше скорости точки оси , которую мы видим на спидометре своего автомобиля. Вектор скорости точки , лежащей на конце горизонтального диаметра, направлен к точке , так как известно, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, — прямой. Тогда, .
2) Векторы скоростей двух точек плоской фигуры и параллельны, направлены в одну сторону, но точки не лежат на общем перпендикуляре, восстановленном к одному из векторов скоростей (рис. 3.15). Мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и угловая скорость фигуры равна нулю.
(3.16)
Действительно, по (3.14) , . При этом и — конечные величины. Параллельные прямые и пересекаются в бесконечности. Тогда по (3.15), (МЦС не существует). Это означает, что тело в данный момент времени совершает мгновенно поступательное движение, векторы скоростей всех точек тела параллельны и равны по модулю.
Пример 3.7. Кривошипно-шатунный механизм приводится в движение вращением кривошипа с угловой скоростью . Точка одновременно принадлежит шатуну и кривошипу . Кривошип вращается относительно неподвижной оси (на рис. не показана), проходящей через точку , перпендикулярно плоскости рисунка. Следовательно, вектор скорости точки направлен перпендикулярно к оси кривошипа в сторону вращения кривошипа. Вектор в данный момент времени параллелен оси . По величине он равен .
В точке в механизме — ползун, который позволяет точке двигаться только вдоль своей оси . Следовательно, вектор скорости точки параллелен вектору и оба вектора направлены в одну сторону. МЦС шатуна находится в бесконечности. Следовательно, шатун движется мгновенно поступательно и все его точки движутся с одинаковыми по величине и направлению скоростями. Замечание.Сравните этот пример с примером 3.6 и убедитесь в том, что в другие моменты времени шатун вращается.
Пример 3.8.В эпициклическом механизме кривошип длиной вращается с угловой скоростью и приводит в движение колесо радиусом . Колесо находится во внешнем зацеплении без проскальзывания с колесом , вращающимся с угловой скоростью . Колесо и ползун соединены шарнирно шатуном . Определить скорости точек механизма и угловую скорость колеса , угловую скорость шатуна .
Решение. .Так как в точке касания колеса и не проскальзывают относительно друг друга, то линейные скорости точек и первого, и второго колес равны. . Вектор линейной скорости точки найдем по известному вращению колеса . По величине . Вектор направлен в сторону вращения колеса и перпендикулярен радиусу второго колеса, который в данный момент времени совпадает по направлению с кривошипом . Скорости двух точек одного и того же тела (колеса 1) оказались равными и по величине, и по направлению. Следовательно, колесо 1 совершает мгновенно поступательное движение, то есть не вращается и . Шатун в данном его положении движется поступательно и . Это было показано в предыдущем примере. Окончательно, векторы скоростей всех точек параллельны и равны по величине .
3) Векторы скоростей и двух точек плоской фигуры параллельны, не равны друг другу по модулю, а сами точки лежат на общем перпендикуляре к векторам скоростей (рис. 3.16). МЦС (точка р) находится на пересечении прямой АВ и прямой, проходящей через концы векторов скоростей.
При этом угловая скорость плоской фигуры вычисляется по формуле:
Доказательство основано на применении соотношения (3.15).
Пример 3.9. Третий частный случай иллюстрируется движением механизма, положение которого в некоторый момент времени показано на рис. к примеру. Механизм состоит из двух колес 1 и 2, плотно прижатых друг к другу (это могут быть и зубчатые колеса) и кривошипа , вращающегося относительно точки и шарнирно (подшипник) соединенного с колесом 2 в точке . Кривошип и колесо 1 «сидят» на одной оси, но друг с другом не соединяются. Механизм приводится в движение независимыми вращениями колеса 1 и кривошипа . В данный момент времени угловые скорости их равны и соответственно и направлены так, как показано на рисунке к примеру 3.5. Таким образом, колесо и кривошип совершают при работе механизма вращательное движение относительно неподвижной оси, а колесо совершает плоскопараллельное движение. Так как кривошип совершает вращательное движение относительно неподвижной оси, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости рисунка (на рис. ось не показана), то вектор линейной скорости точки кривошипа и точки колеса 2 перпендикулярен к оси кривошипа и направлен в сторону его вращения (по криволинейной стрелке ). Векторы линейной скорости в точке касания колес совпадают. Рассматривая вращение колеса 1 видим, что направлен перпендикулярно к радиусу вращающегося колеса 1 в сторону его вращения. Следовательно, II . Пусть при этом , как показано на рисунке. Тогда мгновенный центр скоростей колеса 2 оказывается в точке . Колесо 2 совершает мгновенное вращение относительно точки с мгновенной угловой скоростью . При этом по формулам (3.14) . Отсюда , где . Решая совместно два последних уравнения, получим:
Угловая скорость второго колеса по (3.15) будет равна:
Направление совпадает с направлениями и , что показано на рисунке. Это означает, что второе колесо «катится» без скольжения по первому, обегая его по часовой стрелке, так как при вращательных движениях тел направление векторов линейных скоростей точек тела и угловая скорость вращения самого тела всегда согласованы и «направлены в одну сторону».
Пусть теперь модули векторов скоростей таковы, что . Это может быть, если и . Тогда мгновенный центр скоростей будет в точке, показанной на рис.2 к примеру 3.9. По аналогии с предыдущим случаем получим:
Как и раньше, направление угловой скорости определяется по направлению векторов линейных скоростей .
4) Векторы скоростей и двух точек плоской фигуры параллельны, не равны по модулю и направлены в разные стороны. Точки лежат на общем перпендикуляре АВ к векторам скоростей (рис. 3.17). МЦС (точка р) находится на пересечении прямой АВ и прямой, проходящей через концы векторов скоростей.
При этом угловая скорость плоской фигуры вычисляется по формуле:
Доказательство основано на применении соотношения (3.15).
Пример 3.10.Две параллельные рейки движутся в разные стороны с постоянными скоростями . Между рейками зажат диск радиуса , катящийся по рейкам без скольжения. Найти угловую скорость диска и числовое значение скорости его центра , если .
Решение: Так как диск катится без скольжения, то в точках касания и диска с рейками соответствующие скорости равны. А именно, , . Так как рейки параллельны, то параллельны и вектора скоростей и точек и диска, а сами точки лежат на общем перпендикуляре к векторам скоростей этих точек. Следовательно, мгновенный центр скоростей лежит на вертикальном диаметре диска между точками и , как показано на рис. 2 к примеру 3.10. Из пропорциональности точек плоской фигуры их расстояниям до мгновенного центра скоростей (3.16) имеем:
Решая совместно последние два уравнения, находим расстояние от точки до мгновенного центра скоростей : . Угловая скорость диска при его вращении относительно мгновенного центра скоростей вычисляется по (3.15): . Или
Учитывая, что , видим совпадение (3.23) и (3.22).
Чтобы определить величину линейной скорости центра диска, вычислим расстояние .
Так как точка — мгновенный центр скоростей диска, величина скорости центра диска вычисляется по формуле (3.15).
Направление вектора определяется по направлению вращения диска, то есть по направлению , и показано на рис.2 к примеру 3.10.
Качение без скольжения
Качение без скольжения можно распределить на вращательное и поступательное движения.
Задача обучения
- Научиться отличать два разных движения, где качение осуществляется без скольжения.
Основные пункты
- В качении без скольжения разобраться намного проще, если вы разобьете его на поступательное и вращательное движения.
- Когда объект катится по плоскости без скольжения, то точка контакта между ними не смещается.
- Скорость v скользящего объекта напрямую связана с угловой скоростью ω. Математически выражается как v = ωR, (R – радиус объекта, а v – линейная скорость).
Термины
- Угловая скорость – векторная величина, характеризующая перемещение тела в круговом движении. Приравнивается к угловой скорости и направлена перпендикулярно плоскости.
- Линейная скорость – векторная величина, отображающая скорость изменения позиции по времени центра масс.
Если с самого начала объект переворачивается без буксирования, то можно говорить о качении без проскальзывания. Чтобы разобраться, давайте рассмотрим пример с колесом на плоской горизонтальной поверхности.
Движение без проскальзывания понять намного проще, если выделить в нем движение центра масс с линейной скоростью v и вращательное движение вокруг центра с угловой скоростью w.
Движение качения отображает комбинацию вращательного и поступательного движений
Когда объект катится по плоскости без скольжения, точка контакта не смещается. Если представим, что колесо движется со скоростью v, то заметно, что оно должно также совершать движение вокруг своей оси с угловой скоростью ω.
Угловая скорость тела (ω) расположена прямо пропорционально скорости движения. Вы ведь могли заметить: чем быстрее разогналась машина, тем больше оборотов совершают колеса. Чтобы вычислить точную связь между линейной и угловой скоростями, можно взять случай, где колесо смещается на дистанцию х при повороте на углу θ.
Тело, скатывающееся на дистанцию х на плоскости, лишенной скольжения
В математике длина дуги приравнивается к углу сегмента, умноженному на радиус объекта (R). Отсюда выходит, что длина дуги колеса, повернутого на θ, достигает Rθ. Так как колесо постоянно контактирует с поверхностью, длина дуги также равна х. Выходит:
Не забывайте, что х и θ зависят от времени, поэтому возьмем их производные:
Здесь аналогичен v в линейной скорости, а – угловой скорости ω. Теперь можно все упростить:
Что люди на самом деле подразумевают под «прокатом без скольжения»?
Я никогда не понимал, в чем смысл предложения «катиться без скольжения». Позволь мне объяснить.
Я приведу пример. Вчера мой профессор механики представил некоторые концепции вращательной динамики. Когда он пришел поговорить о вращающихся колесах, он сказал что-то вроде:
«Если колесо катится без скольжения, какова скорость точки у основания колеса? Это . нуль! Убедите себя, что скорость должна быть равна нулю. Поскольку, если она не равна нулю, колесо не будет катиться без скольжения. Таким образом, колесо катится без скольжения, если и только если точка на базе имеет нулевую скорость, то есть тогда и только тогда, когда тангенциальная скорость равна скорости центра масс ».
Ну, что я действительно не понимаю, так это: условие «прокатки без скольжения» определяется как «Точка на базе имеет нулевую скорость»? Если нет, то какое правильное определение для такого рода движений?
Посмотрев через Интернет, я нашел более или менее те же идеи, что и в цитате. Более того, если бы это было определение, тогда было бы совершенно необязательно говорить «убедить себя» и неправомерно говорить о необходимых и достаточных условиях.
Я хотел бы отметить, что я не очень смущен математикой позади этого или со значением вышеприведенного условия. Меня озадачило то, почему эти объяснения всегда формулируются так, как будто условие $ v ‘= 0 $ (где $ v’ $ — относительная скорость между точкой в основании и поверхностью) является некоторым необходимым и достаточным условием «прокатки без скольжение». Мне кажется, что это точно определение «перекатывание без скольжения», а не «iff».
Любая помощь приветствуется, спасибо.
Вы всегда можете разложить такое движение на две части: (1) прокатка без скольжения и (2) скольжение без прокатки.
Что скользит без катания? Это означает, что объект движется равномерно в одном направлении вдоль поверхности, без угловой скорости относительно собственного центра масс объекта. Например, ящик, который толкнул по земле, может легко скользить без катания.
К сожалению, большинство людей, похоже, полагают, что вы можете сделать вывод о какой-то физически важной информации из вашего собственного представления о том, что такое проскальзывание, без необходимости определять его. Я считаю, что это делается, чтобы попытаться соединиться с интуицией, но в процессе все становится намного более туманным и неопределенным.
Для меня легче думать об этом с точки зрения вращения объекта — мне никогда не было очевидным , что точка, находящаяся в контакте с землей, не имеет скорости в момент ее касания. Вместо этого я предпочитаю думать, что объект, который катится без скольжения, перемещается на 1 окружность вдоль земли для каждого за каждый полный оборот, который он делает. И объект, который перемещается больше, чем это расстояние (или который не вращается на все) скольжение в некотором роде.
Затем, в конце концов, мы можем понять, что точка контакта во время прокатки не может иметь ненулевой скорости через любые необходимые логические или физические аргументы.
Но, как обычно в физике, не совсем ясно, какое определение следует считать «фундаментальным» с другими вытекающими из него результатами. Это подчеркивает, что физика не строится аксиоматически.
Вышеприведенные ответы хороши, но я хочу привести еще один пример, который действительно помог мне понять, что это означает, что точка контакта имеет скорость нуля.
Подумайте о «вращающемся круговом объекте» не как о шаре, а вместо этого подумайте об этом как о звездном многоугольнике с бесконечным количеством ребер, для примера достаточно будет очень большого числа — 9 ребер
В любой момент времени только один из краев касается земли. Подумайте о движении звезды — если он не скользит, точка, касающаяся земли, не движется, она толкается к земле, «борясь» с силой трения.
Другим приятным примером является человеческое колесо, но оно имеет 2 очка, касающееся земли в то же время, поэтому мне нравится меньше .
Вот почему колеса хороши для транспортировки вещей, так как в результате контактной точки не двигается только статическая сила трения, работающая на колесе, а статическое трение поддерживает сохранение энергии.
Надеюсь, это даст еще одну точку зрения любому, кто занимается поиском и обсуждением этого вопроса .
Если колесо катится без скольжения, какова скорость точки у основания колеса? Это . ноль! Убедите себя, что скорость должна быть равна нулю. Так как если бы это было не ноль, колесо не было бы катиться без скольжения.
Пока что это правильно. «Отсутствие скольжения» действительно относится к некоторому ненулевому интервалу времени и к состоянию контактных лиц в течение этого времени. Когда нет скольжения, лица могут оказывать большее тангенциальное усилие друг на друга, чем в состоянии скольжения, и нет потери механической энергии.
Это может произойти, когда два тела находятся в физическом контакте в течение некоторого ненулевого времени, а части в контакте имеют одинаковые скорости в течение этого интервала.
Нехорошо определить проскальзывание на мгновение через требование, что $ v ‘= 0 $ в этот момент, потому что это может произойти, даже если тела скользят друг на друга во все остальные моменты.
Таким образом, колесо катится без скольжения тогда и только тогда, когда точка на базе имеет нулевую скорость,
слово «так» здесь не очень хорошо, и в конце следует добавить, что «контактная точка имеет нулевую скорость _all_the_time». Тогда все в порядке.
Интересно, однако, что на практике, похоже, не было случая идеальной прокатки без скольжения. Всегда есть скольжение и, следовательно, трение, даже колеса поездов на рельсах немного ускользают. Таким образом, условие отсутствия скольжения является удобным приближением.
В принципе, это означает, что в каждый момент времени самая нижняя точка имеет скорость $ 0 $, это не значит, что точка не имеет ускорения. Но в одно мгновение скорость $ 0 $. И из-за этого в каждый момент $ v_
Это похоже на то, что вы идете, прижимаете ноги к земле, и дорога подталкивает вас вперед, но ваши ноги не скользят w.r.t. дороги в горизонтальном направлении, однако вы всегда можете поднять его. Но дорога в определенной степени сопротивляется движению в горизонтальном направлении.
И не волнуйтесь, это нормальная вещь, которую нужно путать. Здесь почти все путаются.
Просто помните, что скорость равна $ 0 $ в одно мгновение, но ускорение все еще существует, что означает, что он может двигаться в более поздние моменты времени. Как блок, выполняющий SHM в крайнем положении, находится в состоянии покоя в одно мгновение, но это не значит, что он будет оставаться в покое, однако при чистом прокате происходит, что в каждый момент времени есть точка, скорость которой достигает $ 0 $.
относительная скорость точки контакта тела качения w.r.t. поверхность, на которой он катится , равна нулю.
Если поверхность находится в состоянии покоя , то скорость точки контакта тела и поверхности качения равна нулю.
Математически:
$$ v_1 — \ omega R = v_2 $$
Также мы можем получить соотношение в ускорениях . Дифференцируем приведенное выше уравнение. $$ a_1- \ alpha R = a_2 $$
Где $ \ alpha $ — угловое ускорение.
watch the following video for a great explanation: http://www.youtube.com/watch?v=xbXsSEtbkzU
и прочитайте эту статью для интересных причин сопротивления качению/трения: //www.school-for-champions.com/science/friction_rolling.htm
Формальное определение прокатки без проскальзывания состоит в следующем:
Предположим, у вас есть два (жестких) тела во взаимном контакте друг с другом. В точке контакта есть три разных точки : один из них (а именно, A) является материальной точкой и относится к первому телу, второе (а именно B) к другому телу, и оставшаяся — геометрическая точка. Конечно, поскольку оба тела находятся во взаимном контакте, все эти три точки находятся в одном и том же месте в этот момент .
Прокатывание без скольжения, когда скорость точек материала (A и B) в контакте одинакова в любое время.
Example: a disc (center O, point of contact P, radius a) rolling without slipping on a table.
Обозначим через х координату центра масс. Используя распределение скоростей для твердого тела и прокатки без скольжения, мы имеем:
$$ 0 = \ vec
Так как $$ \ vec
Затем: $$ 0 = (\ dot
Это то, что обычно находится на вводных курсах физики: скорость центра масс равна w (угловая скорость) раз a (радиус).
To sum up: in your example since the ground is -of course- at rest, then the velocity of the point at the base of the wheel is 0. Altough that’s not the definition of rolling without slipping.
Физические работы и суровые определения существуют. Это просто вопрос их поиска.
Физический сценарий поможет вам визуализировать некоторые другие ответы, в частности Muphrid’s и nonagon’s .
Представьте себе, что самолет приземляется, когда колесо его шасси касается земли. Если шина не вращается перед контактом, то контактная точка на шине движется с той же скоростью, что и самолет, примерно 70 долл. США, а это означает, что резину тянут по земле с такой скоростью, и там огромный занос с кучами дыма. Естественно, огромный крутящий момент на колесе приводит к тому, что его угловая скорость быстро поднимается, пока не будет больше заноса.
На практике, однако, колеса многих самолетов вращаются двигателями, так что их меньше.
Теперь представьте себе этот сценарий с разными угловыми скоростями колес при контакте. Также полезно подумать о неподвижной системе координат самолета. Угловая скорость колеса заставляет дно колеса двигаться со скоростью $ \ omega \, r $ назад относительно плоскости. Земля движется назад с некоторой скоростью относительно плоскости, и чтобы получить наилучшую жизнь из ваших шин, вы хотите, чтобы обратное движение точки контакта точно соответствовало обратному движению земли. Если начальная угловая скорость колеса слишком медленная, земля движется назад относительно точки соприкосновения, и есть занос, который имеет тенденцию увеличивать угловую скорость колеса. Однако предположим, что мы вращаем колесо очень быстро, так что точка контакта движется назад относительно плоскости быстрее, чем земля перед контактом. Затем происходит скольжение в противоположном направлении, которое стремится уменьшить угловую скорость колеса. Когда ваша начальная угловая скорость вращения такова, что движение точки касания относительно самолета совпадает с движением земли, вы не получаете скольжения.