Что такое верхний предел

Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей

Частичный предел последовательности

То есть подпоследовательность состоит из членов исходной последовательности с номерами , где – строго монотонная последовательность натуральных чисел.

Также можно сказать, что подпоследовательность последовательности – это подмножество множества , сохраняющее порядок следования членов.

Определение частичного предела последовательности
Точка называется частичным пределом последовательности , если существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a .

Верхний (нижний) частичный предел последовательности – это число , которое является наибольшим (наименьшим) частичным пределом последовательности. Верхний и нижний частичные пределы обозначаются, соответственно, так:
.

Свойства подпоследовательностей

Далее мы используем понятие расширенного множества действительных чисел . Выражение означает, что a является или действительным числом, или элементом , или элементом .
См. «Бесконечно удаленные точки и их свойства».

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности
Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.
Доказательство ⇓

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу
Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.
Доказательство ⇓

3. Свойство эквивалентности сходимости последовательности и всех ее подпоследовательностей
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу .

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

4. Теорема Больцано – Вейерштрасса
Из любой последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу .

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов ⇑.

5. Свойство частичного предела последовательности
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Верхний и нижний частичные пределы

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов
У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичные пределы ⇑, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .
Доказательство ⇓

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов
Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.
Доказательство ⇓

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓

9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями n> и n>.
Имеет место очевидное равенство:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство ⇓

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓

Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

Определение окрестности точки. Окрестностью конечной точки называется любой открытый интервал, содержащий эту точку: , где и – произвольные положительные числа.
См. «Определение окрестности точки».
Окрестностью точки называется множество ;
Окрестностью точки называется множество ,
где M – произвольное действительное число.
См. «Окрестности бесконечно удаленных точек».

Также мы будем использовать следующие обозначения для ε -окрестностей точек:
;
;
.

Определение предела последовательности. Точка является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами n > N принадлежат этой окрестности.
См. «Универсальное определение предела последовательности».

Свойство (*) предела последовательности. Для того, чтобы точка являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
См. «Определение бесконечно большой последовательности: Свойство 1».

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу.

Действительно, поскольку последовательность сходится к числу a , то, согласно свойству (*) ⇑, за пределами любой окрестности точки a находится конечное число членов последовательности или пустое множество. Но, поскольку подпоследовательность получается из последовательности путем вычеркивания ряда ее членов, то за пределами любой окрестности точки a может находиться только конечное число членов подпоследовательности (или пустое множество). Согласно свойству (*) ⇑ это означает, что точка a является пределом подпоследовательности.

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу

Все свойства ⇑ Если любая подпоследовательность последовательности содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу , то и сама последовательность сходится к этому числу:
.

Допустим противное. Пусть последовательность не сходится к числу a . Тогда существует такая окрестность точки a , вне которой имеется бесконечное число членов (см. «Определение отсутствия предела последовательности»). Составим из этих членов подпоследовательность . Из нее нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к a , поскольку все члены подпоследовательности находятся за пределами окрестности .

Мы получили противоречие, так как по условию теоремы, из любой подпоследовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу a .
Свойство доказано.

5. Свойство частичного предела последовательности

Все свойства ⇑ Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.

Пусть в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности . Покажем, что из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к a .

Возьмем произвольную окрестность точки a : ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

Возьмем более узкую окрестность: и выберем из нее второй член с номером .

И так далее. Поскольку любая окрестность точки a содержит бесконечное число членов последовательности, то мы на k — ом шаге можем выбрать член последовательности , принадлежащий окрестности с номером .

Так как член подпоследовательности с номером k принадлежит окрестности , то эта подпоследовательность сходится к числу a . Действительно, для любого имеется такой номер , что все члены подпоследовательности с номерами принадлежат ε — окрестности точки a .

Пусть теперь точка a является частичным пределом последовательности . Это означает, что существует подпоследовательность , сходящаяся к точке a . Тогда по свойству сходящихся последовательностей, в любой окрестности точки a находится бесконечное число членов подпоследовательности.

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов

Все свойства ⇑ У любой последовательности существует как верхний, так и нижний частичный пределы, принадлежащие расширенному множеству действительных чисел .

Пусть у нас имеется некоторая последовательность . Докажем, что у нее существует верхний частичный предел.

Пусть последовательность неограниченна сверху. То есть для любого числа M существует член последовательности , превышающий M : . В свою очередь существует член последовательности , превышающий : . Продолжая подобные рассуждения мы приходим к выводу, что существует бесконечное число членов последовательности, превышающих M . Поскольку это утверждение справедливо для любого числа M , то в любой окрестности точки содержится бесконечное число членов последовательности . Тогда по свойству 4 ⇑, из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к .

В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.

В этом случае последовательность сходится к . Точка является единственным частичным пределом последовательности – как верхним, так и нижним.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом существует отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности.

В этом случае поступаем как при доказательстве теоремы Больцано – Вейерштрасса, применяя систему вложенных отрезков. Делим отрезок пополам. Если правый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности, то следующим отрезком будет . В противном случае выбираем левый отрезок . Из отрезка выбираем первый член подпоследовательности .

Затем делим отрезок пополам. Если в правой половине бесконечное число членов последовательности, то выбираем ее. В противном случае выбираем левую половину. Получаем отрезок . Из него выбираем второй член подпоследовательности с номером . И так далее.

В результате получаем систему вложенных отрезков

и подпоследовательность . Поскольку длины отрезков стремятся к нулю, то согласно лемме о вложенных отрезках, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам. Поскольку , то .

Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

Аналогичным способом можно доказать, что у последовательности существует нижний частичный предел. Для этого сначала рассматриваем последовательность, неограниченную снизу. В конце рассматриваем последовательность, ограниченную снизу и имеющую бесконечное число членов в отрезке . Только здесь, при делении отрезков, мы выбираем левый отрезок, если он содержит бесконечное число членов последовательности.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов

Все свойства ⇑ Пусть – ограниченная последовательность. Пусть a – ее верхний (нижний) частичный предел. Тогда, для любого , в интервале содержится бесконечное число членов последовательности, а в полуинтервале – конечное или пустое множество.

Пусть точка a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности . Тогда, согласно свойству 4 ⇑, в любой окрестности этой точки, в том числе и в интервале , содержится бесконечное число членов последовательности.

Докажем, что в полуинтервале содержится конечное число членов последовательности. Допустим противное, что в этом полуинтервале содержится бесконечное число членов. Тогда по теореме Больцано – Вейерштрасса ⇑ из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Согласно свойствам неравенств, предел b этой подпоследовательности удовлетворяет неравенству , то есть больше (меньше) a . Возникает противоречие, поскольку a является верхним (нижним) частичным пределом последовательности.

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.

Пусть последовательность сходится к числу a : .
Тогда согласно свойству 1 ⇑?, любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому .

Пусть . И пусть a – конечное число. Согласно свойству 6 ⇑, для любого , интервалу не принадлежат только конечное число членов последовательности. Тогда согласно свойству (*) ⇑,
.

Пусть . Тогда, для любого конечного числа M , неравенство выполняется только для конечного числа членов . Отсюда .
Пусть . Тогда неравенство выполняется только для конечного числа членов . Поэтому .

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.

Докажем, что .
Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Далее из выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Согласно свойству 1 ⇑, их пределы равны:
.
Также и последовательность является подпоследовательностью по отношению к . Поэтому она сходится.

Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1 :
.
Применим свойство 8 ⇑:
.

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей

Все свойства ⇑ Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.

Из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
По условию, последовательность сходится к числу a . Тогда и ее подпоследовательность , согласно свойству 1 ⇑, также сходится к числу a . По свойству предела произведения последовательностей, последовательность сходится и
.
Поскольку , то
(10.1) .

Аналогично предыдущему, из последовательности выберем подпоследовательность , сходящуюся к ее верхнему частичному пределу:
.
Из выберем сходящуюся подпоследовательность . Тогда
;
(10.2) .

Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Подпоследовательности. Частичный предел последовательности. Верхний и нижний пределы

Пусть задана некоторая последовательность и
$latex n_1<n_2<…<n_k<…$
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
$latex _1, _2,…_k…$
называется подпоследовательностью последовательности .

Пример.
Пусть задана последовательность

$latex 1,\frac,\frac. \frac,…$
Запишем некоторые ее подпоследовательности:

$latex 1,\frac,\frac,\frac,…,\frac,…$
уже не является подпоследовательностью последовательности $latex 1,\frac. \frac,…$.

Определение.
Будем писать
$latex x \to +\infty$ $latex (\lim\limits_=+ \infty)$
и говорить, что последовательность стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа $latex c $ найдется номер $latex N \in \mathbb$, такой что $latex x_>c$ при любом $latex n>N.$
Аналогично даются определения для случая $latex x \to -\infty$,$latex x \to \infty.$


Частичный предел последовательности

Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример.

Пусть $latex =(-1)^.$Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности $latex x_$ и $latex x_$ сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности $latex =(-1)^.$


Верхний и нижний пределы

Определение.
Пусть — некоторая последовательность, а $latex L $ — множество всех её частичных пределов.Тогда $latex supL $ — называется верхним пределом последовательности и обозначается $latex supL=\varlimsup\limits_ x_.$

Верхний предел

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δn = 1 / n и, выбирая в каждой δ -окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается \varliminf_<n\rightarrow\infty><x_<n>>» width=»» height=»» /> или <img decoding=, а это означает, что в любой окрестности точки a1 находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого \varepsilon, мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a1 ). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность xn> сходится к a тогда и только тогда, когда \varliminf_<n\rightarrow\infty><x_<n>>=\varlimsup_<n\rightarrow\infty><x_<n>>=a» width=»» height=»» />, так как получается, что <i>a</i> — единственная предельная точка множества элементов последовательности.</p>
<p> <em>Wikimedia Foundation . 2010 .</em> </p>
<h4>Полезное</h4>
<h4>Смотреть что такое «Верхний предел» в других словарях:</h4>
<p><strong>верхний предел</strong> — Пороговое значение [http://www.dunwoodypress.com/148/PDF/Biotech Eng Rus.pdf] Тематики биотехнологии EN ceiling limit … Справочник технического переводчика</p>
<p><strong>верхний предел</strong> — viršutinė riba statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. super limit; superior limit vok. obere Grenze, f; oberer Grenzwert, m; Obergrenze, f rus. верхний предел, m pranc. limite supérieure, f … Automatikos terminų žodynas</p>
<p><strong>верхний предел</strong> — viršutinė riba statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. superior limit; upper limit vok. obere Grenze, f; oberer Grenzwert, m rus. верхний предел, m; верхняя граница, f pranc. limite supérieure, f … Fizikos terminų žodynas</p>
<p><strong>верхний предел измерений тензорезисторного датчика силы</strong> — верхний предел измерений датчика Значение измеряемой силы, соответствующее верхней границе измерений тензорезисторного датчика силы, для которого нормированы допускаемые погрешности. [ГОСТ 16217 83] Тематики датчики и преобразователи физических… … Справочник технического переводчика</p>
<p><strong>верхний предел критической температуры фазового перехода или превращения</strong> — верхний предел критической точки фазового перехода или превращения — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы верхний предел критической точки фазового перехода или превращения EN… … Справочник технического переводчика</p>
<p><strong>Верхний предел воспламенения</strong> — максимальная концентрация вещества в паровом облаке, при которой еще возможно инициирование самоподдерживающейся реакции горения. При концентрации выше В. п. в. реакция горения уже невозможна … Российская энциклопедия по охране труда</p>
<p><strong>верхний предел воспламеняемости</strong> — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN upper flammable limitUFL … Справочник технического переводчика</p>
<p><strong>верхний предел для передачи значений измеряемой величины.</strong> — верхний предел для передачи значений измеряемой величины. — [ГОСТ Р МЭК 60870 5 104 2004] Тематики телемеханика, телеметрия EN high limit for transmission of measured value … Справочник технического переводчика</p>
<p><strong>верхний предел измерений</strong> — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN full scale value … Справочник технического переводчика</p>
<p><strong>верхний предел измерений (прибора)</strong> — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN full scale value … Справочник технического переводчика</p>
<h2>Предел числовой последовательности с примерами решения</h2>
<p>С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей рассматривались. А именно:</p>
<p>1) бесконечная последовательность рациональных приближений числа <img decoding=

Предел числовой последовательности с примерами решения

2) последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа Предел числовой последовательности с примерами решенияс точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Числовой последовательностью называется функция Предел числовой последовательности с примерами решениякоторая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании Предел числовой последовательности с примерами решения— соответственно первый, второй. Предел числовой последовательности с примерами решения. члены числовой последовательности.

Обозначают числовые последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы Предел числовой последовательности с примерами решениячлена или рекуррентной).

Предел числовой последовательности с примерами решения

В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).
Предел числовой последовательности с примерами решения

Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.

Пусть задано числовую последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияВычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Очевидно, что при росте числа Предел числовой последовательности с примерами решениячлены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например: Предел числовой последовательности с примерами решения

В данном случае для любого достаточно малого числа Предел числовой последовательности с примерами решения(эпсилон) можно найти такое число Предел числовой последовательности с примерами решения(номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Например, в рассмотренной выше последовательности для Предел числовой последовательности с примерами решениятаким членом будет Предел числовой последовательности с примерами решенияпоскольку Предел числовой последовательности с примерами решенияа для Предел числовой последовательности с примерами решениятаким членом Предел числовой последовательности с примерами решения( проверьте).

В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывают пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияесли для любого Предел числовой последовательности с примерами решениясуществует номер члена последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Обозначают: Предел числовой последовательности с примерами решенияЧитают: предел числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияпри Предел числовой последовательности с примерами решениястремящемся к бесконечности, равен Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример №503

Вычислите предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Запишем несколько членов заданной последовательности: Предел числовой последовательности с примерами решенияКак видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число Предел числовой последовательности с примерами решениячто для всех Предел числовой последовательности с примерами решениябудет выполняться неравенство: Предел числовой последовательности с примерами решенияИмеем: Предел числовой последовательности с примерами решенияСледовательно, такое число существует. Например, при Предел числовой последовательности с примерами решенияпоследнее неравенство будет иметь вид Предел числовой последовательности с примерами решенияТо есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.

Следовательно, Предел числовой последовательности с примерами решения

Докажите самостоятельно и запомните, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Если числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей:

  1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
  2. Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то естьПредел числовой последовательности с примерами решения
  3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей, то есть:Предел числовой последовательности с примерами решения
  4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е.Предел числовой последовательности с примерами решения
  5. Если последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения— сходящиеся, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениято числовая последовательность выполняется равенство Предел числовой последовательности с примерами решениятоже сходящаяся и выполняется равенство Предел числовой последовательности с примерами решения
Пример №504

Найдите предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов Предел числовой последовательности с примерами решенияиспользуют следующее правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности, которая задаётся как отношение двух многочленов Предел числовой последовательности с примерами решения(одной переменной Предел числовой последовательности с примерами решениястепеней Предел числовой последовательности с примерами решениясоответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.

Пример №505

Вычислите Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Здесь Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениято делим каждый член многочленов на Предел числовой последовательности с примерами решенияи выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример №506

Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.

Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при Предел числовой последовательности с примерами решениякоторая задаётся как отношение двух многочленов Предел числовой последовательности с примерами решения(одной переменной Предел числовой последовательности с примерами решениястепеней Предел числовой последовательности с примерами решениясоответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:

  • Предел числовой последовательности с примерами решениято предел равен отношению коэффициентов при старших степенях заданных многочленов;
  • Предел числовой последовательности с примерами решениято предел равен нулю;
  • Предел числовой последовательности с примерами решениято предел равен бесконечности.
Пример №507

Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Нужно доказать, что существует такое Предел числовой последовательности с примерами решениячто для всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияПреобразуем выражение, стоящее в левой части:
Предел числовой последовательности с примерами решения

Пусть Предел числовой последовательности с примерами решениятогда Предел числовой последовательности с примерами решенияДля любого Предел числовой последовательности с примерами решенияможем найти соответствующее Предел числовой последовательности с примерами решениянапример Предел числовой последовательности с примерами решения

Итак, пределом заданной последовательности является число 2.

Пример №508

Вычислите: Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.
Предел числовой последовательности с примерами решения

б) Разделим числитель и знаменатель дроби на Предел числовой последовательности с примерами решенияИмеем:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности

Общее понятие функции. Числовые последовательности

Определение 2.1. Пусть X, Y —два произвольных множества. Функцией f с областью определения X и множеством значений из Y называется такое соответствие между X и Y, при котором любому Предел числовой последовательности с примерами решениясоответствует ровно один Предел числовой последовательности с примерами решения. Множество X называется областью определения функции (обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения); множество элементов Предел числовой последовательности с примерами решения, которые соответствуют некоторым Предел числовой последовательности с примерами решения, называется множеством значений функции (обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения). Величина Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается аргументом функции f.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Отмстим, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, но не обязано совпадать с Y. Возможно, различным х соответствует один и тот же у, но каждому х — ровно один у (см. рис. 2.1).

Пример 2.1. X — множество человек, присутствующих на лекции; Y = N. Функция у = f(x) определяется как год рождения х. Ясно, что Предел числовой последовательности с примерами решения, но не совпадает с Y. Многим х может соответствовать один и тот же у, но каждому х — ровно один у.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется функция с областью определения N и множеством значений, принадлежащим Предел числовой последовательности с примерами решения. Обычно аргумент записывается в виде индекса: Предел числовой последовательности с примерами решенияи т.д.

Определение 2.3. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X, если её множество значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани Предел числовой последовательности с примерами решенияназываются точной верхней и нижней гранями f на X (обозначаются Предел числовой последовательности с примерами решения). Числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если множество её значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани этого множества называются точной верхней и нижней гранями Предел числовой последовательности с примерами решения(обозначаются Предел числовой последовательности с примерами решения).

Пример 2.2. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена, так как для всех n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Отмстим, что Предел числовой последовательности с примерами решения: поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения(в дальнейшем такие последовательности мы будем называть строго возрастающими). Отсюда следует, что последовательность имеет наименьший член Предел числовой последовательности с примерами решенияпо лемме Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(достигается). Докажем, что Предел числовой последовательности с примерами решения(не достигается). В самом деле, для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Докажем, что для каждого числа Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся номер п такой, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияперепишем в виде Предел числовой последовательности с примерами решения(здесь использовано то, что Предел числовой последовательности с примерами решения). Такой номер п найдётся по принципу Архимеда. Доказано, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.1. Функция f ограничена на множество Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся такое положительное число С, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решенияНеравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияравносильно Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как это двойное неравенство выполняется для всех Предел числовой последовательности с примерами решения, то это и означает, что множество значений f ограничено.

Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как для любого Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то отсюда следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения, где С — наибольшее из чисел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Следствие. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся такое положительное число С, что для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Подобные утверждения, формулировка которых содержит логический знак Предел числовой последовательности с примерами решения(«тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»), часто будут встречаться в нашем курсе. Доказательство их, как правило, будет состоять из двух частей: Предел числовой последовательности с примерами решения— достаточность, Предел числовой последовательности с примерами решения— необходимость. Лемма 2.1, например, может быть сформулирована так: для того чтобы функция f была ограничена на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы нашлось положительное число С такое, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения.

Определение и простейшие свойства предела последовательности

Определение 2.4. Предел числовой последовательности с примерами решения-окрестностью точки а называется интервал Предел числовой последовательности с примерами решения

Обозначение: Предел числовой последовательности с примерами решения; это множество точек, удаленных от точки а на числовой прямой на расстояние, меньшее, чем Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.5 (геометрическое определение предела). Число а называется пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, если вне любой окрестности точки а содержится не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решения(обозначение:Предел числовой последовательности с примерами решения).

Ясно, что вне Предел числовой последовательности с примерами решениясодержится не более конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решения—это всё равно, что в Предел числовой последовательности с примерами решениясодержатся все члены, начиная с некоторого номера. Определение предела можно сформулировать так.

Определение 2.5′. Число а называется пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, если для любого положительного числа Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

На языке кванторов это можно записать так:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Любая подобная запись, где квантор существования Предел числовой последовательности с примерами решениястоит после квантора общности Предел числовой последовательности с примерами решения, означает функциональную зависимость: здесь Предел числовой последовательности с примерами решения, следовательно, Предел числовой последовательности с примерами решения

Напишем на языке кванторов отрицание последнего определения (число а не является пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения):

Предел числовой последовательности с примерами решения

Здесь уже нельзя считать, что Предел числовой последовательности с примерами решения; здесь Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.3. Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

□ Докажем требуемое равенство по определению предела. Нужно, чтобы Предел числовой последовательности с примерами решенияПоследнее неравенство имеет вид Предел числовой последовательности с примерами решенияи выполняется при Предел числовой последовательности с примерами решения.

По принципу Архимеда найдётся натуральное число Предел числовой последовательности с примерами решения, а при всех Предел числовой последовательности с примерами решенияпо нужное неравенство и подавно выполняется. ■

Попробуем явно записать функциональную зависимость Предел числовой последовательности с примерами решения. Для этого применим функцию Предел числовой последовательности с примерами решения(«целая часть х»). Она определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х. График этой функции изображён на рис. 2.2. Для всех «ступенек» крайняя левая точка принадлежит графику, крайняя правая — нет.

Ясно, что в качестве натурального числа Предел числовой последовательности с примерами решенияможно взять Предел числовой последовательности с примерами решения; для всех Предел числовой последовательности с примерами решениянужное неравенство выполняется.

Определение 2.6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Лемма 2.2. Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел.

□ Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения: для определённости, a 0, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

если a 0. Рассмотрим в определении предела Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда Предел числовой последовательности с примерами решенияоткуда следует, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(см. рис. 2.5). Случай a 0, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения; если a b. Рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решениятакое, что Предел числовой последовательности с примерами решения(например, Предел числовой последовательности с примерами решения) Тогда:

Предел числовой последовательности с примерами решения

При Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, что противоречит условию (см. рис. 2.7). ■

Следствие. Если найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решениячлены Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Замечание. Если Предел числовой последовательности с примерами решенияи при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решения(возможно, Предел числовой последовательности с примерами решения). Например: Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.3. Если Предел числовой последовательности с примерами решения. и найдется номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решеният.е Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияЗначит Предел числовой последовательности с примерами решения

В официальной литературе теорема 2.3 называется теоремой о трёх последовательностях или теоремой о зажатой переменной. Тем не менее на студенческом жаргоне и в различных внутривузовских изданиях она обычно называется «теоремой о двух милиционерах». В самом деле, если два представителя силовых структур Предел числовой последовательности с примерами решенияведут задержанного Предел числовой последовательности с примерами решенияв отделение внутренних дел так, что Предел числовой последовательности с примерами решениявсё время находится между Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решенияпридёт туда же. Аналогичные названия этого утверждения имеются и в других языках («теорема о двух карабинерах» и т.д.), так что переименование милиции в полицию вряд ли что-нибудь здесь изменит.

Лемма 2.10. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

1) При Предел числовой последовательности с примерами решения= 0 утверждение очевидно.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения, и, по теореме 2.3, Предел числовой последовательности с примерами решения0

3) Пусть -1 1. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Напишем определение предела при Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияв силу положительности Предел числовой последовательности с примерами решенияпоследнее неравенство даст Предел числовой последовательности с примерами решения. Значит, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияубывает при Предел числовой последовательности с примерами решения; при этом Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как конечное число членов последовательности не влияет на сходимость, то по теореме Вейерштрасса последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится; обозначим Предел числовой последовательности с примерами решения

Мы уже видели, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияудовлетворяет рекуррентному соотношению

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения— та же последовательность, что и Предел числовой последовательности с примерами решения(если выбросить Предел числовой последовательности с примерами решения): поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения. Переходя к пределу в (2.1), получим

Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема Кантора о вложенных отрезках

Если проанализировать изложенный выше материал, то можно заметить, что только три утверждения: теорема 1.4 Дедекинда, теорема 1.5 о точных верхней и нижней гранях и теорема 2.4 Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности — характерны именно для действительных чисел и выражают свойство их полноты (непрерывности). Все остальные утверждения имели бы место и во множестве рациональных чисел. Например, если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениято существует Предел числовой последовательности с примерами решенияА вот если последовательность рациональных чисел возрастает и ограничена сверху, то она может не иметь рационального предела (и соответственно рациональной точной верхней грани). В качестве примера можно рассмотреть последовательность десятичных приближений снизу какого-нибудь иррационального числа а. Эта последовательность имеет предел а (мы сейчас докажем это полезное утверждение), но не имеет рационального предела; если бы она имела рациональный предел Предел числовой последовательности с примерами решениято у неё было бы два разных действительных предела а и Предел числовой последовательности с примерами решениячто противоречит лемме 2.2.

Лемма 2.11. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения— последовательности десятичных приближений снизу и сверху действительного числа а. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

□Как известно, для любого п выполняется неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Значит, Предел числовой последовательности с примерами решения, по теореме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решенияАналогично доказывается вторая часть утверждения. ■

Приведём ещё одну очень важную теорему, выражающую свойство полноты действительных чисел.

Теорема 2.5 (Кантора о вложенных отрезках). Если Предел числовой последовательности с примерами решения(бесконечная последовательность вложенных отрезков), то существует точка Предел числовой последовательности с примерами решенияобщая для всех отрезков (т.е. для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения)- Если при этом последовательность длин отрезков стремится к нулю Предел числовой последовательности с примерами решения, то такая точка Предел числовой последовательности с примерами решенияединственна, при этом

Предел числовой последовательности с примерами решения

□Так как для всех n

Предел числовой последовательности с примерами решения

то для любых натуральных n и m выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Рассмотрим множества Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решения. При любом фиксированном m = Предел числовой последовательности с примерами решениямножество А ограничено сверху числом Предел числовой последовательности с примерами решениязначит, существует Предел числовой последовательности с примерами решения; при этом по лемме 1.3 для любого m выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Аналогично множество В ограничено снизу и существует Предел числовой последовательности с примерами решенияи для любого n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияИз последнего неравенства и леммы 1.3 следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Итак, для любого n выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияЯсно, что точки Предел числовой последовательности с примерами решения(и весь отрезок Предел числовой последовательности с примерами решения, если Предел числовой последовательности с примерами решения) принадлежат всем отрезкам Предел числовой последовательности с примерами решения. Первая часть теоремы доказана. Отметим, что здесь нигде не использовалось понятие предела.

Пусть теперь Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

(мы учли, чтоПредел числовой последовательности с примерами решения). Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то из леммы 1.5 следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Обозначим их общее значение Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения. В силу монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияпо теореме Вейерштрасса Предел числовой последовательности с примерами решения. Аналогично Предел числовой последовательности с примерами решения.

Если существует ещё одна точка Предел числовой последовательности с примерами решениятакая, что для всех n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 1.5 Предел числовой последовательности с примерами решенияЕдинственность общей точки доказана. ■

Пример 2.12. Предел числовой последовательности с примерами решения; это — последовательность вложенных отрезков, для которой alt=»Предел числовой последовательности с примерами решения» /> Предел числовой последовательности с примерами решенияСуществует единственная общая точка 0.

Пример 2.13. Предел числовой последовательности с примерами решения: это — последовательность вложенных отрезков, для которой Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решения. Общие точки заполняют целый отрезок Предел числовой последовательности с примерами решения.

Пример 2.14. Для последовательности вложенных интервалов теорема теряет силу. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Эта последовательность вложенных интервалов не имеет общих точек, при этом Предел числовой последовательности с примерами решения

Бесконечно большие последовательности

Наряду с Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестностями конечных чисел рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестности символов Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.9. При Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.10. Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, еслиПредел числовой последовательности с примерами решения

Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

В последнем случае последовательность называется бесконечно большой.

В определении конечного предела по существу малые Предел числовой последовательности с примерами решения(если Предел числовой последовательности с примерами решениядля малых е, то и подавно для больших). В определениях бесконечных пределов по существу большие е; из эстетических соображений лучше вместо е писать большую букву Е.

Очевидно, что если Предел числовой последовательности с примерами решенияили Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решения— бесконечно большая. Обратное неверно; для бесконечно большой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияне обязательно Предел числовой последовательности с примерами решенияили Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.15. Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения. Неравенство n > Е выполняется для всех Предел числовой последовательности с примерами решения, где Предел числовой последовательности с примерами решения; напомним, что там, где квантор существования стоит после квантора общности, имеет место функциональная зависимость Предел числовой последовательности с примерами решения.

Пример 2.16. Предел числовой последовательности с примерами решения(аналогично).

Пример 2.17. Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, но знаки Предел числовой последовательности с примерами решениячередуются: поэтому неверно ни то, что Предел числовой последовательности с примерами решения, ни то, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Очевидно, что Предел числовой последовательности с примерами решениятогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно большая и Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениятогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно большая и Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.12. Бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно большая:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ясно, что бесконечно большая последовательность неограничена.

Обратное неверно. Неограниченная последовательность не обязана быть бесконечно большой.

Пример 2.18. Рассмотрим последовательность

Предел числовой последовательности с примерами решения

Она неограничена, но не является бесконечно большой.

□Последовательность неограничена за счёт четных номеров. Предел числовой последовательности с примерами решения— четное: Предел числовой последовательности с примерами решения. Это верно, так как Предел числовой последовательности с примерами решениячётное Предел числовой последовательности с примерами решения(например, Предел числовой последовательности с примерами решения).

За счёт нечётных номеров последовательность не является бесконечно большой:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Это верно. Возьмём, например, Е = 1. Для любого номера Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся нечётное натуральное число Предел числовой последовательности с примерами решения, например, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияпри этом Предел числовой последовательности с примерами решения

Схема, изображённая на рис. 2.9, должна помочь разобраться в понятиях, связанных со сходимостью, ограниченностью и т.д., а также усвоить связь между этими понятиями.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.13. 1) Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияявляется бесконечно большой, то последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения— бесконечно малая.

2) Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно малая и найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно большая.

□1)Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда при Предел числовой последовательности с примерами решениявыполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения; последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияопределена, и не нужно делать дополнительную оговорку, как во второй части леммы. Для любого числа Предел числовой последовательности с примерами решениярассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения, значит, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения— бесконечно малая.

2) Доказательство аналогично.

Лемму 2.13 символически можно записать так: Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Но отсюда вовсе не следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Бесконечные символы — это не числа, с ними нельзя «вольно» обращаться, т.е. автоматически переносить на них формальные правила операций с действительными числами. Выражение Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается «неопределённостью», так как в зависимости от конкретных бесконечно малой Предел числовой последовательности с примерами решенияи бесконечно большой Предел числовой последовательности с примерами решенияпредельное поведение последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияможет быть самым разнообразным. Произведение Предел числовой последовательности с примерами решенияможет быть: а) бесконечно малым; б) бесконечно большим; в) иметь конечный ненулевой предел; г) не иметь предела — ни конечного ни бесконечного.

Пример 2.19. Во всех случаях Предел числовой последовательности с примерами решения:

Предел числовой последовательности с примерами решения

ограничена, но расходится.

Традиционно принято рассматривать 7 типов неопределённостей: Предел числовой последовательности с примерами решения, для каждого из которых можно построить примеры типа а-г. Классическим типом неопределенности Предел числовой последовательности с примерами решенияявляется предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Теоремы об арифметических действиях с пределами нельзя автоматически переносить на бесконечные символы. Если в каком-то случае такой перенос имеет место, то нужно доказать соответствующее утверждение.

Лемма 2.14. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения(символическая запись: Предел числовой последовательности с примерами решения.

□Достаточно провести доказательство для случая, когда Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена снизу Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решения(строго говоря, это верно при Предел числовой последовательности с примерами решенияно если Предел числовой последовательности с примерами решения, неравенство и подавно верно). Итак,

Предел числовой последовательности с примерами решения

значит Предел числовой последовательности с примерами решения

Можно привести ещё немало символических записей с участием бесконечных символов, которые фактически применяются в различных рассуждениях. При этом нужно уметь аккуратно формулировать и доказывать возникающие утверждения (аналогично лемме 2.14). Например:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.15. 1) Если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

2) если Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

□1) Так как Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияПусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияа это значит, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Эта лемма является аналогом теоремы 2.3 для случая бесконечно больших последовательностей.

Пример 2.20. Предел числовой последовательности с примерами решения

□Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.13, Предел числовой последовательности с примерами решения(с учётом того, что Предел числовой последовательности с примерами решения). Остаётся заметить, что Предел числовой последовательности с примерами решенияи применить лемму 2.15.

Теорема 2.6 (аналог теоремы Вейерштрасса для неограниченных последовательностей). Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениявозрастает (вообще говоря, нестрого) и неограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решения. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияубывает (вообще говоря, нестрого) и неограничена снизу, то Предел числовой последовательности с примерами решения

□Докажем первую часть теоремы, вторая доказывается аналогично. Так как Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена сверху, то

Предел числовой последовательности с примерами решения

(естественно, можно считать, что Е > 0, при Е Предел числовой последовательности с примерами решения0 неравенство и подавно верно). В силу возрастания последовательности при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, поэтому

Предел числовой последовательности с примерами решения

Значит, Предел числовой последовательности с примерами решения

В отличие от теоремы Вейерштрасса 2.4 эта теорема имеет место и во множестве рациональных чисел, она не является характерной именно для действительных чисел.

Для неограниченной сверху последовательности мы считаем по определению, что Предел числовой последовательности с примерами решения, а для неограниченной снизу Предел числовой последовательности с примерами решения. Поэтому для любой нестрого возрастающей последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, а для любой нестрого убывающей Предел числовой последовательности с примерами решения

Односторонние пределы

Введём символы а + 0 и а — 0 («а справа» и «а слева»), Предел числовой последовательности с примерами решения, и определим Предел числовой последовательности с примерами решения-окрестности этих символов.

Определение 2.11. При Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.12. Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, если

Предел числовой последовательности с примерами решения

(т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения).

Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, если

Предел числовой последовательности с примерами решения

(т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения).

Ясно, что в обоих этих случаях Предел числовой последовательности с примерами решения. А вот если предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияравен а, то не обязательно он равен а + 0 или а — 0.

Пример 2.21. Предел числовой последовательности с примерами решения= +0 (вместо 0 + 0 обычно пишут +0); Предел числовой последовательности с примерами решения= -0 (вместо 0 — 0 обычно пишут —0). А вот Предел числовой последовательности с примерами решенияно этот предел не равен ни +0, ни -0, так как последовательность всё время меняет знак.

Очевидно, что Предел числовой последовательности с примерами решениятогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решениятогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решения

В дальнейшем под словами «6 стандартных предельных символов (СПС)» будем понимать

Предел числовой последовательности с примерами решения

Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 2.13. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения— числовая последовательность, a Предел числовой последовательности с примерами решения— строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(с индексом к) называется подпоследовательностью последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения.

Определение 2.14. Число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается частичным пределом (предельной точкой) последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, если существует такая строго возрастающая последовательность индексов Предел числовой последовательности с примерами решения, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.22. Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Она расходится, но имеет сходящиеся подпоследовательности Предел числовой последовательности с примерами решения. Таким образом, она имеет частичные пределы 1 и —1.

Условие строгого возрастания последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияв определении 2.13 является достаточным (но не необходимым) условием для того, чтобы Предел числовой последовательности с примерами решенияВ самом деле, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияи т.д. По индукции нетрудно доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решенияпри Предел числовой последовательности с примерами решенияНо Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(пример 2.20); по лемме 2.15, Предел числовой последовательности с примерами решенияПри отказе от этого условия может оказаться так, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена, и ни о каком поведении при Предел числовой последовательности с примерами решенияне может быть речи (например, при Предел числовой последовательности с примерами решенияпоследовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияне имеет никакого отношения к предельному поведению последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения).

Лемма 2.16. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, где а — один из 6 СПС, то для любой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениятакже Предел числовой последовательности с примерами решения

□По геометрическому определению предела, сохраняющемуся для любого СПС а, вне любой Предел числовой последовательности с примерами решения, имеется не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как все пд. различны, то вне любой Предел числовой последовательности с примерами решенияи подавно имеется не более конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решениязначит, Предел числовой последовательности с примерами решения

Следствие. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то а — единственный частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Под частичными пределами можно понимать также символы Предел числовой последовательности с примерами решения. Таким образом, частичными пределами могут быть не все 6 СПС, а только три: Предел числовой последовательности с примерами решения

Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.16 единственным частичным пределом последовательности является Предел числовой последовательности с примерами решения. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то единственным частичным пределом последовательности является Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.7 (критерий частичного предела). Пусть a — один из символов Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда а является частичным пределом Предел числовой последовательности с примерами решенияв любой Предел числовой последовательности с примерами решения-окрестности а Предел числовой последовательности с примерами решениясодержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения.

Предел числовой последовательности с примерами решенияЕсли а — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения, то существует подпоследовательность Предел числовой последовательности с примерами решениятакая, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияТогда для любого Предел числовой последовательности с примерами решениявне Предел числовой последовательности с примерами решениясодержится не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решения, а внутри Предел числовой последовательности с примерами решения— все Предел числовой последовательности с примерами решения, начиная с некоторого номера Предел числовой последовательности с примерами решения, а значит, бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения.

Предел числовой последовательности с примерами решенияСначала рассмотрим случай Предел числовой последовательности с примерами решенияВозьмём Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения— некоторый член Предел числовой последовательности с примерами решения. Возьмём теперь Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как в Предел числовой последовательности с примерами решениясодержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения, то выберем Предел числовой последовательности с примерами решениятак что Предел числовой последовательности с примерами решенияи т.д. Пусть построены Предел числовой последовательности с примерами решениягде Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как в Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, то выберем Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениятак, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Таким образом, построена бесконечная последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения, причём Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решеният.е. Предел числовой последовательности с примерами решенияПо теореме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. а — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Для Предел числовой последовательности с примерами решенияили Предел числовой последовательности с примерами решениядоказательство аналогично. Например, для Предел числовой последовательности с примерами решениянужно брать Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решениявыбирать таким, что Предел числовой последовательности с примерами решеният.е. Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда по лемме 2.15 Предел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что если в любой Предел числовой последовательности с примерами решениясодержится бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, то отсюда ещё не следует, что вне Предел числовой последовательности с примерами решенияне более конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решения(вне Предел числовой последовательности с примерами решениятоже может быть бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения). Этим и отличается частичный предел от предела последовательности. В популярных изданиях для школьников раньше предел последовательности иногда назывался «ловушкой», а частичный предел — «кормушкой». Кормушек может быть много, а ловушка — только одна.

В примере 2.22 других частичных пределов, кроме 1 и — 1, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияне имеет. В самом деле, если Предел числовой последовательности с примерами решения, или Предел числовой последовательности с примерами решения, то существует окрестность а, в которой вообще нет членов Предел числовой последовательности с примерами решения.

Пример 2.23. Предел числовой последовательности с примерами решения(см. пример 2.18). Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то частичными пределами последовательности являются 0 и Предел числовой последовательности с примерами решения. Других частичных пределов последовательность не имеет (для других а существует окрестность, в которой вообще нет членов Предел числовой последовательности с примерами решения).

Пример 2.24. Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияТак как Предел числовой последовательности с примерами решениято частичными пределами последовательности являются Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решения; других частичных пределов последовательность не имеет.

Пример 2.25. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения— последовательность, в которую каким-то образом занумерованы все рациональные числа (это можно сделать в силу счетности множества Q). Так как в любой окрестности любого действительного числа а содержится бесконечно много рациональных чисел (если Предел числовой последовательности с примерами решения, то возьмём Предел числовой последовательности с примерами решенияесли Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения; в любом случае Предел числовой последовательности с примерами решенияи в любой Предел числовой последовательности с примерами решениясодержатся все Предел числовой последовательности с примерами решенияпри Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения), то а — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения. Аналогично, для Предел числовой последовательности с примерами решениявозьмём Предел числовой последовательности с примерами решения, для Предел числовой последовательности с примерами решениявозьмём Предел числовой последовательности с примерами решения. Итак, частичными пределами Предел числовой последовательности с примерами решенияявляются все действительные числа, а также символы Предел числовой последовательности с примерами решения.

Как мы знаем, ограниченная последовательность может расходиться, но при этом иметь частичные пределы (пример 2.22). Это не случайно, имеет место

Теорема 2.8 (Больцано-Вейерштрасса). Любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (т.е. имеет конечный частичный предел).

□Пусть для всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Разобьём отрезок Предел числовой последовательности с примерами решенияна 2 равных отрезка Предел числовой последовательности с примерами решения: выберем ту половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где содержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения(и там, и там конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решениябыть не может, так как тогда их всего было бы конечное число). Если и там, и там бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения—любая из половинок. В отрезке Предел числовой последовательности с примерами решениявыберем половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения(аналогично), в Предел числовой последовательности с примерами решения— половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решенияи т.д. На к-м шагу в Предел числовой последовательности с примерами решениявыберем половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения. Имеем последовательность вложенных отрезков Предел числовой последовательности с примерами решения, причём длина n-го отрезка равна Предел числовой последовательности с примерами решения— стремится к нулю по лемме 2.10.

По теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам Предел числовой последовательности с примерами решения. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решениядлина Предел числовой последовательности с примерами решения, то при Предел числовой последовательности с примерами решенияотрезок Предел числовой последовательности с примерами решенияцеликом принадлежит Предел числовой последовательности с примерами решения(см. рис. 2.10), значит, в Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме 2.7 с — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Теорема 2.9 (аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса для неограниченных последовательностей).

Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена сверху, то она имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена снизу, то она имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

□Докажем первую часть теоремы: вторая доказывается аналогично. Зафиксируем Е > 0. Так как Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решенияВ качестве нового Е в определении неограниченности сверху рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияАналогично, Предел числовой последовательности с примерами решенияи т.д. Мы выбрали бесконечно много различных членов последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениятаких, что Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме 2.7 Предел числовой последовательности с примерами решения— частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Итак, любая последовательность имеет частичный предел: ограниченная — конечный, неограниченная — равный Предел числовой последовательности с примерами решенияили Предел числовой последовательности с примерами решения.

Отмстим, что теорема Больцано-Вейерштрасса характерна именно для действительных чисел и выражает свойство их полноты (непрерывности). Её аналог — теорема 2.9 — выполняется и во множестве рациональных чисел.

Теорема 2.10 (о единственном частичном пределе). Пусть последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена и имеет единственный частичный предел а. Тогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится к числу а.

□Пусть для любого номера n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как для некоторой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияпредел Предел числовой последовательности с примерами решения, и Предел числовой последовательности с примерами решениядля всех к, то по теореме 2.2 Предел числовой последовательности с примерами решения. Докажем, что существует Предел числовой последовательности с примерами решения

Если это не так, то найдётся Предел числовой последовательности с примерами решения, вне которой имеется бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения. Пусть для определённости бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решенияимеется правее Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. на Предел числовой последовательности с примерами решения(см. рис. 2.11).

Предел числовой последовательности с примерами решения

На Предел числовой последовательности с примерами решениятоже может быть бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения. а может быть и нет. Не исключено даже, что Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме Больцано-Вейерштрасса, на Предел числовой последовательности с примерами решениясуществует частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения, отличный от а, что противоречит единственности частичного предела. Полученное противоречие показывает, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.15. Предельным множеством последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается множество всех сё частичных пределов (включая символы Предел числовой последовательности с примерами решения, если они являются частичными пределами).

Определение 2.16. Верхним пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения(обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения) называется точная верхняя грань её предельного множества, нижним пределом Предел числовой последовательности с примерами решения— точная нижняя грань её предельного множества. Если предельное множество содержит символ Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(соответственно Предел числовой последовательности с примерами решения). Если предельное множество состоит из единственного символа Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения(соответственно Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения).

Пример 2.26. Если Предел числовой последовательности с примерами решения(или Предел числовой последовательности с примерами решения, или Предел числовой последовательности с примерами решения), то Предел числовой последовательности с примерами решения(соответственно Предел числовой последовательности с примерами решения, или Предел числовой последовательности с примерами решения). Если Предел числовой последовательности с примерами решенияЕсли Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решенияЕсли Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.17. Для любой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияПри этом формально считается, что Предел числовой последовательности с примерами решения, и для любого действительного числа а выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения.

□Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияследует из определения 2.16. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, и неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияочевидно. Если Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена сверху и Предел числовой последовательности с примерами решения, то для любой подпоследовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияпри Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме 2.2 для любого частичного предела a выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, и по лемме 1.3 Предел числовой последовательности с примерами решения

Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решениядоказывается аналогично. ■

Лемма 2.18. 1) Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена сверху Предел числовой последовательности с примерами решения(т.е. конечен или равен Предел числовой последовательности с примерами решения);

2) последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена снизу Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(т.е. конечен или равен Предел числовой последовательности с примерами решения).

□Докажем первую часть леммы, вторая доказывается аналогично. Если Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решения, и утверждение леммы следует из леммы 2.17. Если Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена сверху, то по теореме 2.9 она имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения; значит, Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.11. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решенияконечны и совпадают. Тогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится к их общему значению.

□Из леммы 2.18 следует, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена сверху и снизу. Так как предельное множество состоит из единственного числа Предел числовой последовательности с примерами решения(по теореме Больцано-Вейерштрасса предельное множество непусто и никакого другого частичного предела, кроме а, быть не может), то Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена и имеет единственный частичный предел а. По теореме 2.10 существует Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.27. Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения, последовательность имеет частичные пределы 1 и —1. Легко видеть, что при всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. С другой стороны, для любого числа Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся нечетное число Предел числовой последовательности с примерами решениятакое, что Предел числовой последовательности с примерами решения(последнее неравенство имеет вид

Предел числовой последовательности с примерами решения

можно взять Предел числовой последовательности с примерами решенияЗначит Предел числовой последовательности с примерами решения(не достигается). Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Далее при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияПри нечётных n значения Предел числовой последовательности с примерами решения, поэтому наибольший член последовательности равен Предел числовой последовательности с примерами решения. Значит, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияНикакое число, большее 1, не может быть частичным пределом Предел числовой последовательности с примерами решения, так как в достаточно малой окрестности этого числа либо совсем нет членов последовательности, либо содержится единственный член (само это число). Поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.12. Верхний и нижний пределы числовой последовательности являются частичными пределами (таким образом, конечный верхний (нижний) предел является наибольшим (соответственно наименьшим) частичным пределом).

□ Пусть сначала Предел числовой последовательности с примерами решениягде X — предельное множество последовательности. Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Рассмотрим произвольное Предел числовой последовательности с примерами решения0 и выберем Предел числовой последовательности с примерами решенияВозьмем соответствующее Предел числовой последовательности с примерами решениятакое, что Предел числовой последовательности с примерами решенияЕсли р = а, то а — частичный предел, и всё доказано. Если же Предел числовой последовательности с примерами решения, то выберем Предел числовой последовательности с примерами решениятакое, что Предел числовой последовательности с примерами решения(см. рис. 2.12). В Предел числовой последовательности с примерами решениясодержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения, так как р — частичный предел. Поэтому на интервале Предел числовой последовательности с примерами решениябесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, значит, в Предел числовой последовательности с примерами решения— бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения0 — произвольно, то по критерию частичного предела а — частичный предел. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.18 последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениянеограничена сверху. По теореме 2.9 последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Наконец, если Предел числовой последовательности с примерами решения, то из определения 2.16 видно, что предельное множество содержит единственный символ Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решенияявляется частичным пределом (и просто пределом) Предел числовой последовательности с примерами решения

Случай нижнего предела рассматривается аналогично. ■

Критерий Коши сходимости последовательности

Определение 2.17. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается фундаментальной, если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(для любого положительного числа Предел числовой последовательности с примерами решениянайдётся номер по такой, что для любых двух номеров Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения.

Теорема 2.13 (критерий Коши). Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится Предел числовой последовательности с примерами решенияфундаментальна.

Предел числовой последовательности с примерами решенияПусть Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда для любых Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

значит, последовательность фундаментальна.

Предел числовой последовательности с примерами решенияПусть Предел числовой последовательности с примерами решения— фундаментальная последовательность. Докажем сначала, что она ограничена. При Предел числовой последовательности с примерами решения= 1 имеем

Предел числовой последовательности с примерами решения

Зафиксируем Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда при Предел числовой последовательности с примерами решениявыполнено неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

Таким образом, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена при Предел числовой последовательности с примерами решения. По лемме 2.3 последовательность ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет конечный частичный предел. В силу теоремы 2.10 о единственном частичном пределе достаточно доказать, что других частичных пределов последовательность не имеет. Пусть это не так, и последовательность имеет два различных частичных предела а и b (для определённости, а 0). Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениярасходится Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.29. Предел числовой последовательности с примерами решения(сходимость этой последовательности была установлена в примере 2.9 при помощи теоремы Вейерштрасса; теперь применим критерий Коши).

Предел числовой последовательности с примерами решения

Это выражение меньше Предел числовой последовательности с примерами решенияпри Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. при Предел числовой последовательности с примерами решения1.

Итак, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияПоследовательность сходится.

Отмстим, что номер Предел числовой последовательности с примерами решениядолжен зависеть только от Предел числовой последовательности с примерами решенияи ни в косм случае не должен зависеть от р.

Пример 2.30. Предел числовой последовательности с примерами решенияХотя внешне эта последовательность мало отличается от предыдущей, но она расходится.

Предел числовой последовательности с примерами решения

(в сумме р слагаемых, самое маленькое равно Предел числовой последовательности с примерами решенияВозьмём Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Итак, Предел числовой последовательности с примерами решенияПоследовательность расходится.

В качестве предостережения приведём неверное «доказательство» того, что эта последовательность сходится.

Имеем Предел числовой последовательности с примерами решенияпри всех Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Отсюда нельзя сделать вывод о фундаментальности последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, так как номер Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что при Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, зависит не только от Предел числовой последовательности с примерами решения, но и от р.

Пример 2.31. Если р — фиксированное натуральное число, Предел числовой последовательности с примерами решенияВ частности, Предел числовой последовательности с примерами решенияВерно ли, что из выполнения для любого Предел числовой последовательности с примерами решенияравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияследует сходимость Предел числовой последовательности с примерами решения?

Ответ: нет (рассмотреть последовательность из примера 2.30).

Доказательство Предел числовой последовательности с примерами решениякритерия Коши (необходимость) сохраняется во множестве рациональных чисел, доказательство Предел числовой последовательности с примерами решения(достаточность) характерно именно для действительных чисел. Сходимость фундаментальной последовательности выражает полноту (непрерывность) множества действительных чисел. Любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу, но не обязана сходиться к рациональному числу. Таким образом, фундаментальные последовательности рациональных чисел в теории действительных чисел играют ту же роль, что и сечения. Если фундаментальная последовательность рациональных чисел не имеет рационального предела, то она является такой же «дыркой» во множестве рациональных чисел, как и сечение III типа. Наличие таких дырок говорит о неполноте множества рациональных чисел. А вот во множестве действительных чисел таких «дырок» уже нет — любая фундаментальная последовательность сходится.

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть Х и Y – множества произвольной природы
и каждому элементу x Предел числовой последовательности с примерами решенияX поставлен в соответствие некоторый элемент
y Предел числовой последовательности с примерами решенияY. Такое соответствие называется функцией. Обозначим его f,
или f:X →Y , или Предел числовой последовательности с примерами решения. При этом множество Х называется
областью определения (f )D функции f , D(f )=X, а множество Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается областью значений
Предел числовой последовательности с примерами решениярис. 2.1.
Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.1
Предел числовой последовательности с примерами решения– множество всех неотрицательных чисел из R.
Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция f : N →R. При этом числа Предел числовой последовательности с примерами решенияиз области значений E(f) обозначаются: Предел числовой последовательности с примерами решенияЧисло Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается n-м членом последовательности. Для задания последовательности достаточно задать Предел числовой последовательности с примерами решения.
П р и м е р 2.2
Предел числовой последовательности с примерами решенияПодставив n=1, 2, 3, . получим Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.3. Число a называется пределом числовой последовательности
Предел числовой последовательности с примерами решениясуществует число Предел числовой последовательности с примерами решения, такое что Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияБолее коротко будем записывать это определение в видеПредел числовой последовательности с примерами решенияПоследовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела – расходящимися.
П р и м е р 2.3
Доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения
Доказательство
Пусть Предел числовой последовательности с примерами решенияРассмотрим цепочку эквивалентных неравенств
Предел числовой последовательности с примерами решения
Пусть N – натуральное число, большее Предел числовой последовательности с примерами решения, например Предел числовой последовательности с примерами решениятогда N удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.
У п р а ж н е н и е 2.1.

Доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения
Геометрически равенство Предел числовой последовательности с примерами решенияозначает, что Предел числовой последовательности с примерами решениявсе члены последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, начиная с номераПредел числовой последовательности с примерами решения, попадают в Предел числовой последовательности с примерами решения
окрестность Предел числовой последовательности с примерами решенияточки а (рис. 2.2).
Предел числовой последовательности с примерами решения

Например, для последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияиз примера 2.3, если
Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.4. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается ограниченной,
если Предел числовой последовательности с примерами решения, такое что Предел числовой последовательности с примерами решения
Теорема 2.1. (необходимый признак сходимости последовательности).
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство
Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последова-
тельности после номера N лежат в интервалеПредел числовой последовательности с примерами решения, далее доказательство очевидно.
Определение 2.5. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается бесконечно большой, если Предел числовой последовательности с примерами решения
Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел Предел числовой последовательности с примерами решения, и пишут Предел числовой последовательности с примерами решения
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть Предел числовой последовательности с примерами решениято пишут Предел числовой последовательности с примерами решения
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

Предел числовой последовательности с примерами решениято пишут Предел числовой последовательности с примерами решения

П р и м е р 2.4
Предел числовой последовательности с примерами решения
Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.
Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей
(убывающей), если Предел числовой последовательности с примерами решения

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.
Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если
Предел числовой последовательности с примерами решения
Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются
монотонными.

П р и м е р 2.5

Предел числовой последовательности с примерами решенияимеемПредел числовой последовательности с примерами решения– возрастающая последовательность.
2. ПоследовательностьПредел числовой последовательности с примерами решенияпоследовательных приближений к числу Предел числовой последовательности с примерами решения– неубывающая последовательность.
Теорема 2.2. (достаточный признак сходимости последовательности).
Монотонная ограниченная последовательность сходится.
П р и м е р 2.6
Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения. Она монотонно возрастает
и ограничена, следовательно – сходится: Предел числовой последовательности с примерами решения
e – трансцендентное число, служащее основанием натурального лога-
рифма: Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.7. Суммой, разностью, произведением, частным последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решениябудем называть последовательности, n-й член
которых равен соответственно: Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.3. Пусть последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениясходятся и Предел числовой последовательности с примерами решения– постоянное число. ТогдаПредел числовой последовательности с примерами решения
Доказательство
Докажем, например, формулу Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения
сходится, то она ограничена, то есть Предел числовой последовательности с примерами решениячисло Предел числовой последовательности с примерами решения, такое что Предел числовой последовательности с примерами решения. Пусть
Предел числовой последовательности с примерами решения
Так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится, то Предел числовой последовательности с примерами решения, такой что при Предел числовой последовательности с примерами решения
Так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится, то Предел числовой последовательности с примерами решениятакой что при Предел числовой последовательности с примерами решения
(считаем, что 0≠ b; если 0= b, то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).
Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда из (2.3) при n >N следует Предел числовой последовательности с примерами решениячто и требовалось доказать.
Определение 2.8. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решениятогда последовательность называется бесконечно малой. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно малые последовательности. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается неопределенностью видаПредел числовой последовательности с примерами решения. Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности видаПредел числовой последовательности с примерами решения

П р и м е р 2.7
Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.8
Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.9

Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.10

Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно малая Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно большая
Предел числовой последовательности с примерами решения
б. Пусть последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно большая Предел числовой последовательности с примерами решениятогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно малая.
П р и м е р 2.11
Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.9. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет предел при Предел числовой последовательности с примерами решения, если
Предел числовой последовательности с примерами решения
Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому
определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.
Из определения 2.9 следует, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– расходящаяся
(не имеет предела), если Предел числовой последовательности с примерами решения(2.4)

Числовая последовательность и ее предел

Понятие числовой последовательности

Определение 2.1. Если каждому натуральному числу Предел числовой последовательности с примерами решенияпоставлено в соответствие число Предел числовой последовательности с примерами решениято говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения

Числа Предел числовой последовательности с примерами решенияэлементы или члены последовательности, Предел числовой последовательности с примерами решенияобщий или Предел числовой последовательности с примерами решенияй член последовательности. Последовательность обозначают как Предел числовой последовательности с примерами решенияили Предел числовой последовательности с примерами решенияили задают с помощью Предел числовой последовательности с примерами решенияго члена.

Частным случаем последовательности являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Пример 2.1. Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениячто при всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняются неравенства

Предел числовой последовательности с примерами решения

При этом говорят, что число Предел числовой последовательности с примерами решенияограничивает последовательность снизу, a Предел числовой последовательности с примерами решения— сверху.

Определение 2.2′. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается ограниченной, если Предел числовой последовательности с примерами решениятакое, что для Предел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что не всякая последовательность ограничена.

Пример 2.2. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена снизу 0, сверху Предел числовой последовательности с примерами решенияпоследовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияограничена снизу 1.

Определение 2.3. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается неограниченной, если для Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.3. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияне ограничена.

Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.

Определение 2.4. Если из некоторого бесконечного подмножества членов последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияобразована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в Предел числовой последовательности с примерами решениято она называется подпоследовательностью Предел числовой последовательности с примерами решенияи обозначается Предел числовой последовательности с примерами решенияпричем Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.5. Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решенияназывают последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениячлены которых образованы по следующим правилам:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Произведением последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияна число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 2.6. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается бесконечно большой последовательностью (ББП), если для Предел числовой последовательности с примерами решения(сколь бы большим его ни взяли) Предел числовой последовательности с примерами решениятакой номер, что для Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что если последовательность бесконечно большая, то она является неограниченной, но не наоборот, т. е. неограниченная последовательность не обязательно будет ББП.

Определение 2.7. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается бесконечно малой последовательностью (БМП), если для Предел числовой последовательности с примерами решениятакой номер, что для Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.4. Предел числовой последовательности с примерами решения— ББП, Предел числовой последовательности с примерами решения— БМП.

Теорема 2.1. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения— ББП, и все ее члены отличны от нуля Предел числовой последовательности с примерами решениято последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениябудет БМП; и обратно, если Предел числовой последовательности с примерами решения— БМП, Предел числовой последовательности с примерами решениято последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения— ББП.

Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения— ББП. Рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решенияи положим Предел числовой последовательности с примерами решенияСогласно определению ББП, для этого Предел числовой последовательности с примерами решениябудет Предел числовой последовательности с примерами решениятакой номер, что для Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

т. е. для Предел числовой последовательности с примерами решениячто Предел числовой последовательности с примерами решенияА это и означает, что

Предел числовой последовательности с примерами решения— БМП.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Свойства БМП

1. Алгебраическая сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

2. Произведение любого конечного числа БМП есть БМП.

3. Произведение ограниченной последовательности на БМП есть БМП.

Следствие 2.1*. Произведение БМП иа число есть БМП.

Сходящиеся последовательности

Определение 2.8. Число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияесли для Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения(2.1)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Из (2.1) рассмотрим условие Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последние неравенства означают, что при Предел числовой последовательности с примерами решенияэлемент последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениядолжен находиться в интервале Предел числовой последовательности с примерами решенияНапомним, что данный интервал называется Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестностыо точки Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.8′. Число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияесли для Предел числовой последовательности с примерами решенияначиная с которого все члены последовательности принадлежат Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестности точки Предел числовой последовательности с примерами решенияГеометрический смысл предела последовательности: Предел числовой последовательности с примерами решенияесли вне любой Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Пример 2.5. Доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение. Согласно условию, требуется доказать, что число «1» является пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениядля Предел числовой последовательности с примерами решениянужно указать номер Предел числовой последовательности с примерами решенияначиная с которого для всех членов последовательности будет выполнено Предел числовой последовательности с примерами решеният. е.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Из неравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияполучаем Предел числовой последовательности с примерами решенияТаким образом, для Предел числовой последовательности с примерами решенияполагая Предел числовой последовательности с примерами решенияполучаем, что для Предел числовой последовательности с примерами решениябудет выполнено Предел числовой последовательности с примерами решенияЗаметим, что величина Предел числовой последовательности с примерами решенияпредставляет собой целую часть выражения Предел числовой последовательности с примерами решениятогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Поэтому для выполнения условия Предел числовой последовательности с примерами решенияпри Предел числовой последовательности с примерами решенияполагаем Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.2. Числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет своим пределом число «а» тогда только тогда, когда

Предел числовой последовательности с примерами решения

где Предел числовой последовательности с примерами решениячлены БМП Предел числовой последовательности с примерами решения

Необходимость. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решенияОбозначим Предел числовой последовательности с примерами решенияПолучим Предел числовой последовательности с примерами решеният. е. Предел числовой последовательности с примерами решения— БМП.

Достаточность. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решениягде Предел числовой последовательности с примерами решения— БМП. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решеният. e. Предел числовой последовательности с примерами решения

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет предел Предел числовой последовательности с примерами решениято, начиная с некоторого номера Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решеният. е. члены последовательности сохраняют знак числа Предел числовой последовательности с примерами решения

5. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решенияи, начиная с некоторого номера Предел числовой последовательности с примерами решения

выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решениятогда Предел числовой последовательности с примерами решения

6. Пусть для последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениявыполнены неравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда Предел числовой последовательности с примерами решения

7. Если последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениясходятся и Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

7.1. Предел числовой последовательности с примерами решения

7.2. Предел числовой последовательности с примерами решения

7.3. Предел числовой последовательности с примерами решения

7.4. Предел числовой последовательности с примерами решения

Таким образом, согласно свойству 7, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

На основании свойства 2 можно получить условие расходимости последовательности.

Следствие 2.2*. Если из последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияможно выделить две подпоследовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениясходящиеся к Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решенияне имеет предела.

Пример 2.6. Доказать, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияне имеет предела.

Решение. Выделим из исходной последовательности две подпоследовательности :

Предел числовой последовательности с примерами решения

Так как Предел числовой последовательности с примерами решениято исходная последовательность не имеет предела.

Замечание 2.1. Обратное к свойству 3, вообще говоря, не верно, т. е. ограниченная последовательность может не быть сходящейся.

Определение 2.9. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается:

— возрастающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

— неубывающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

— убывающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

— невозрастающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

Все указанные последовательности называются также монотонными, а возрастающая и убывающая последовательности — строго монотонными.

Теорема 2.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Необходимость. Согласно свойству 3, всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Достаточность. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решениямонотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность, т. е. Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениятакое, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Рассмотрим числовое множество Предел числовой последовательности с примерами решениясостоящее из элементов данной последовательности. Это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет точную верхнюю грань Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда, по определению Предел числовой последовательности с примерами решенияТак как Предел числовой последовательности с примерами решения— точная верхняя грань множества элементов последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениято для Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что Предел числовой последовательности с примерами решенияи так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениянеубывающая, то при Предел числовой последовательности с примерами решения

Таким образом, Предел числовой последовательности с примерами решеният. е. Предел числовой последовательности с примерами решенияА это и означает, что число Предел числовой последовательности с примерами решения— предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Аналогично доказывается случай монотонно невозрастающей последовательности.

Замечание 2.2. На основании данной теоремы можно доказать существование предела последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияа именно Предел числовой последовательности с примерами решения

где Предел числовой последовательности с примерами решения(число Эйлера) — иррациональное число, Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.4* (Больцапо-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение 2.10. Совокупность отрезков Предел числовой последовательности с примерами решенияобразует систему вложенных отрезков, если выполнены следующие условия:

Предел числовой последовательности с примерами решения(2.2)

Система вложенных отрезков будет системой стягивающихся отрезков, если

Предел числовой последовательности с примерами решения(2.3)

Теорема 2.5 (Кантора). Всякая последовательность вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку, принадлежащую всем отрезкам.

Из (2.2) следует, что монотонные последовательности концов отрезков Предел числовой последовательности с примерами решенияи Предел числовой последовательности с примерами решениясходятся, причем из равенства (2.3):

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Из теоремы 2.3 следует, что общей точкой, принадлежащей отрезкам Предел числовой последовательности с примерами решенияявляется

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.7. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения
Решение.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ответ. Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.8. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.9. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ответ: Предел числовой последовательности с примерами решения4

Пример 2.10. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ответ: Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел последовательности и функция

Число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывают пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияесли для любого Предел числовой последовательности с примерами решениясуществует номер члена последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениятакой, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Если числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Число Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается пределом функции Предел числовой последовательности с примерами решенияв точке Предел числовой последовательности с примерами решенияесли для любого положительного числа Предел числовой последовательности с примерами решенияможно указать такое положительное число Предел числовой последовательности с примерами решениячто для всех значений Предел числовой последовательности с примерами решенияиз промежутка Предел числовой последовательности с примерами решениякроме, возможно, самой точки Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Если каждая из функций Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет предел в точке Предел числовой последовательности с примерами решениято в этой точке существуют пределы функций Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решенияи имеют место равенства:
Предел числовой последовательности с примерами решения

Сформулированные свойства правильны также для пределов последовательностей и для предела на бесконечности.

Предел числовой последовательности с примерами решенияпервый замечательный предел.

Функция Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается непрерывной в точке Предел числовой последовательности с примерами решенияесли существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Функция Предел числовой последовательности с примерами решенияназывается непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция в этой точке называется разрывной.

Теорема (Больцано—Коши). Если функция Предел числовой последовательности с примерами решениянепрерывна на Предел числовой последовательности с примерами решенияи на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале Предел числовой последовательности с примерами решенияобязательно существует точка Предел числовой последовательности с примерами решениятакая что Предел числовой последовательности с примерами решения

Производной функции f(x) в точке Предел числовой последовательности с примерами решенияназывают предел отношения приращения функции в точке Предел числовой последовательности с примерами решенияк приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует,

Предел числовой последовательности с примерами решения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *