Что такое дифференциал в интеграле

Как решать интегралы: примеры решения

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл представляет собой аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

График функции

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь. Таким образом, пояснение для интеграла заключается в следующем: интеграл является площадью какой-то фигуры, расположенной под линией функции.

Данное понятие относится к определенному интегралу. Он определен на отрезке между точками а и b. В верхней части в качестве ограничения выступает некоторый график функции, как представлено на рисунке:

График функции 2

Математическая запись интеграла:

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю. Записать это можно с помощью уравнения:

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

График функции 3

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

Физический смысл интеграла

Свойства, которыми обладает определенный интеграл:

  1. Когда функции f и g интегрируются на интервале [a, b], то для любых чисел \(\alpha\) и \(\beta (\alpha \in R,\ \beta \in R)\) функция \(\varphi(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)\) также интегрируема на отрезке [a, b]. Справедливо равенство: \(\int\limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x) dx + \beta \int\limits_a^b g(x) dx.\label\)
  2. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция \(\varphi(x) = f(x)g(x)\) также интегрируема на этом отрезке.
  3. В том случае, когда функция f(x) интегрируема на отрезке \(\Delta = [a, b]\) она интегрируема на любом отрезке \(\Delta_ \subset \Delta.\)
  4. При функции f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] и a < c < b, будет работать формула: \(\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int\limits_c^b f(x) dx\)
  5. При функции f, интегрируемой на отрезке [a, b] и если \(c_, c_, c_\) являются любыми точками данного интервала, то \(\int\limits_>^> f(x) dx = \int\limits_>^> f(x) dx + \int\limits_>^> f(x) dx\)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

  1. Константу можно выносить за знак интеграла: \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)
  2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: \(\int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)
  3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: \(\bigg (\int f(x) dx \bigg )’ = f(x)\)
  4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: \(\int F'(x) dx = F(x) + C\)
  5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: \(\int df(x) dx = f(x) + C\)

Таблица интегралов для студентов

Такие формулы позволяют упростить решение многих задач. Основные интегралы:

Что такое дифференциал в интеграле

Теорема 1. Дифференциал интеграла с переменным верхним пределом совпадает с подынтегральным выражением

Формулу (1) можно записать точнее

Проверим это равенство. Мы имеем (§ 320):

Дифференцируя, получаем (1а).

Замечание. Из формулы (1) получаем:

т. е. производная интеграла по верхнему пределу совпадает с подынтегральной функцией. Это предложение можно высказать еще и в такой форме.

Теорема 2. Интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции (§ 293).

Пояснение формулы (1). Площадь (рис. 342) выражается интегралом . Когда возрастает на площадь получит приращение Это приращение разбивается на прямоугольник и криволинейный треугольник Площадь прямоугольника равна она пропорциональна а площадь треугольника имеет высший порядок относительно (на рис. 342 она меньше чем Значит, подынтегральное выражение есть дифференциал интеграла (§ 230).

Пояснение формулы (2). Если скорость точки в момент времени то есть (§317, п. 1) путь пройденный точкой за время, отделяющее момент от начального момента а:

Вот что такое интеграл очень прекрасно понимаю, а дифференциал.

Дифференциал функции у (х) в точке х0 равен y'(x0)*dx,
где y'(x0) — производная в точке х0, а dx — приращение х.
Он приближенно равен приращению функции у (х)
на отрезке dx.
А дифференциал, который принято писать в обозначении
интеграла, только по внешнему виду совпадает с тем, что
написано выше. Интегралы можно писать вообще без знака
дифференциала, это просто удобная традиционная условность.

Химик, ты делаешь ошибку, пытаясь системно искать в математике аналогии из реального мира. В данном случае они есть. Но вообще высшая математика к примеру оперирует сущностями для которых вообще нет места в реальном мире. И интеграл не всегда олицетворяет площадь или координаты движения. Это может быть работа за время или объём жидкости протёкшей через трубу и т. д.

Ну да ладно. Вот тебе для твоего случая. Если ты идёшь со скоростью 2 км. в час. то твоё уравнение скорости будет y=2. Это скорость. Если проинтегрируем то посчитаем количество скорости. Это будет уравннение движения. y=2dx. Тоесть на каждую единицу времени x ты смещаешся на 2 единицы расстояния.

Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) = F ( g ( x ) ) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f ( g ( x ) ) d ( g ( x ) ) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

d ( C ) = 0 d ( x n ) = n x n — 1 d x d ( ln ( x ) ) = d x x d ( log n x ) = d x x l n ( n ) d ( e x ) = e x d x d ( a x ) = a x ln ( a ) d x d ( sin x ) = cos x d x d ( cos x ) = — sin x d x d ( t g x ) = d x 1 + x 2 d ( c t g ) — d x sin 2 x d a r c sin x = d x 1 — x 2 d a r c cos x = — d x 1 — x 2 d a r c t g x = d x 1 — x 2 d a r c t g x = — d x 1 — x 2

Таблица производных основных элементарных функций

∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , p ≠ — 1 ∫ 0 · d x = C ∫ a x · d x = a x ln a + C , a ≠ 1 ∫ e x · d x = e x + C ∫ d x x = ln x + C ∫ cos x · d x = sin x + C ∫ sin x · d x = — cos x + C ∫ d x cos 2 x = t g x + C ∫ d x sin 2 x = — c t g x ∫ d x 1 — x 2 = a r c sin x + C ∫ d x 1 + x 2 = a r c t g x + C ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a a r c t g x a + C ∫ d x a 2 — x 2 = a r c sin x a + C ∫ d x x 2 — a 2 = 1 2 a ln x — a x + a + C ∫ d x x 2 ± a = ln x + x 2 ± a + C ∫ d x sin x = ln 1 — cos x sin x + C ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + C

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin ( x 2 ) d ( x 2 ) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = — cos x + C , значит, ∫ sin ( x 2 ) d ( x 2 ) = — cos ( x 2 ) + C .

Ответ: ∫ sin ( x 2 ) d ( x 2 ) = — cos ( x 2 ) + C

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d ( ln x ) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = — d ( cos x ) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = — ∫ d ( cos x ) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что — ∫ d ( cos x ) cos x = — ln cos x + C 1 = — ln cos x + C , где C = — C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = — ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d ( x 3 ) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d ( x 3 ) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d ( x 3 ) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g ( t ) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g ( x 3 ) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g ( x 3 ) + C

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 — 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d ( x + 1 ) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x ( x + 1 ) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + ( x + 1 ) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 — 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 ‘ d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 — d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 — d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 — d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 — 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 — 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 — 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z — 1 2 d z — 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z — 1 2 d z — 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 — 1 2 + 1 z — 1 2 + 1 — 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 — 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 — 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 — 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 — 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *