Решение нелинейных уравнений методом хорд в MS Excel
Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».
Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.
- обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
- развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
- воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Программа Turbo Pascal;
- Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.
I. Организационный момент
Учитель объявляет тему и цели урока.
II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»
Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления
- Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
- Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
- Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
- Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
- Какое действие в алгоритме повторяется?
- Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема
IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP
Задания для учащихся первой группы
Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001
Задания для учащихся второй группы
Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.
V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»
VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд
Трансцендентные уравнения? «Подбор параметра» в Excel!
Нелинейные, трансцендентные уравнения функции одной переменной – это уравнения вида f (x) = 0, в которых нельзя найти алгебраическими методами корни. Функция f (x) – это, как правило, достаточно сложная и громоздкая функция, содержащая в своем составе.
. тригонометрические, логарифмические, степенные и иные нелинейные функции с различной глубиной вложенности. Например: f (x) = sin (3,14^x) + cos (x) = 0. Уравнения такого вида решаются численными методами.
В этой статье я постараюсь доступно и кратко рассказать и показать на примерах, как и когда такие задачи возникают и как их сегодня быстро и просто можно решать в Excel.
Чуть-чуть истории и теории.
Вы задумывались когда-нибудь — откуда и зачем в головах людей, живших в XVI…XVII веках, родились понятия дифференциалов, производных, интегралов? Объяснение, в общем-то, достаточно простое и понятное – эти ученые искали аналитические пути решения прикладных практических задач. И успешно находили.
Мне сегодня видится приблизительно такая «лестница» с качественными «ступенями инструментов» математики для решения практических и научных задач, которую изобрело человечество:
1. Арифметика — сложение, вычитание, умножение, деление.
2. Алгебра – применение элементарных функций (степенной, логарифмической, тригонометрической, …) и алгебраических уравнений функции одной переменной.
3. Гауссовские системы линейных уравнений.
4. Численные методы решения трансцендентных уравнений.
5. Численные методы решения систем трансцендентных уравнений функций нескольких переменных.
6. Дифференцирование и интегрирование функций одной переменной.
7. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных.
8. Системы дифференциальных и интегральных уравнений.
9. Масса разнообразных новых и старых специальных методик и подходов мне не известных и известных, но, безусловно, существующих и работающих.
Предлагаю остановиться и разобраться с достаточно высокой четвертой ступенью «лестницы».
Для численного решения нелинейных уравнений успешно применяются: метод половинного деления, метод простых итераций, метод хорд, метод касательных Ньютона, комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона. Для чего ученые-математики придумали множество различных методов решения трансцендентных уравнений? Они старались упростить и ускорить процесс расчетов. Надо помнить и понимать, что у них компьютеров не было, и расчеты выполнялись вручную.
Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки — они подробно описаны в литературе, и углубляться в них мы не будем. Скажу только, что из вышеперечисленных методов мне на практике довелось использовать все. При решении различных (в основном геометрических и теплотехнических) задач по разным причинам было удобно использовать то один, то другой подход. Метод Ньютона хорош своей быстрой сходимостью и простотой формулы. Комбинированный метод секущих-хорд на основе итерационной формулы Ньютона не требует нахождения производных, быстро «сходится», и главное – не требует анализа функции на сходимость. Метод половинного деления медленно сходится, но не требует никакого предварительного анализа функции.
Трансцендентные уравнения. Два метода решения в Excel.
Если у вас на компьютере нет программы MS Excel, то расчеты можно выполнить в программе OOo Calc из бесплатного пакета Open Office.
Задач, которые требуют для получения ответа составления и решения трансцендентных уравнений, вокруг нас очень много. Это — задачи и физики, и теплотехники, и астрономии, и элементарной геометрии в обычной жизни… Инженерам-конструкторам и программистам в повседневной работе необходимо уметь составлять и быстро решать численными методами нелинейные уравнения. На мой взгляд — это один из критериев профессионализма. Более того, уравнения, которые решаются аналитически, сегодня иногда гораздо проще и быстрее при наличии вычислительной техники решить численными методами, поэтому нужно уметь это делать.
Вычисление угла зацепления зубчатой передачи методом Ньютона (методом касательных)
Рассмотрим пример из статьи «Расчет геометрии зубчатой передачи». Необходимо найти угол зацепления зубчатой передачи atw . Я обещал в той статье рассказать, как это делается. Выполняю обещание.
Если расстояние между центрами колеса и шестерни не задано, то угол зацепления можно вычислить путем решения трансцендентного уравнения:
inv ( atw )=tg ( atw ) — atw =2* xs *tg ( a )/( z2 + T * z1 )+ tg ( at ) — at
Подставив данные из примера, рассмотренного в вышеупомянутой статье, получим после преобразований следующее уравнение:
inv ( atw )=0,020910
f ( atw )=tg ( atw )— atw -0,020910=0
Используем метод Ньютона, потому что взять производную представленной выше функции элементарно просто, а итерационная формула очень проста и компактна:
f’( atw )=1/(cos ( atw ))^2—1
atw (i+1) = atw i — f ( atw ) i/ f’( atw ) i
Открываем файл Excel и начинаем работу.
Исходные данные будем традиционно писать в ячейки со светло-бирюзовой заливкой. Результаты расчетов будем считывать в ячейках со светло-желтой заливкой.
1. Инволюту угла зацепления inv( atw ) заносим
в ячейку D3: 0,020910
2. Значение угла зацепления в нулевом приближении atw 0 в радианах записываем
3. Итерационную формулу atw (i+1)= atw i— f( atw )i/ f’( atw )i заносим
в D5: =D4- (TAN (D4) -D4-$D$3)/(1/(COS (D4))^2-1) =0,591706
atw 1= atw 0- (tg ( atw 0) — atw 0- inv ( atw ))/(1/(cos ( atw 0))^2-1)
и копируем в ячейки D6… D14
4. Видим, что уже после шестой итерации угол зацепления atw в радианах вычислен с нулевой абсолютной и относительной ошибкой:
atw =D13- (TAN (D13) -D13-$D$3)/(1/(COS (D13))^2-1) =0,389140
Решение найдено, расчет в Excel завершен!
Решение задачи ландшафтного дизайна с помощью сервиса «Подбор параметра» в Excel
Задача:
Вдоль отмостки стены дома длиной 14 метров необходимо разбить цветник в виде сегмента круга площадью ровно 16 квадратных метров. На сколько метров цветник будет отстоять от края отмостки по центру стены? Каким радиусом необходимо выполнить границу цветника?
1. Длину отмостки стены дома — хорды сегмента круга x в метрах записываем
в ячейку D17: 14,000
2. Площадь цветника – сегмента круга S в квадратных метрах вписываем
в D18: 16,000
3. Предположительное произвольное (не нулевое) значение центрального угла сегмента a в радианах пишем
в D19: 1,000
Трансцендентное уравнение a / sin( a /2 ) -2*cos ( a /2) — (8* S / x ^2) *sin( a /2)=0 вводим
в объединенную ячейку E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2)
Включаем сервис «Подбор параметра» в Excel: «Сервис» – «Подбор параметра». Пишем в появившемся окне все как на рисунке слева и нажимаем кнопку OK.
В появившемся новом окне видим, что решение найдено, снова нажимаем на кнопку OK.
Считываем искомое значение центрального угла сегмента a в радианах
в D19: 0,950057
При этом видим, что значение трансцендентного уравнения равно нулю; считываем
в объединенной ячейке E19F19: =D19/SIN (D19/2) -2*COS (D19/2) — (8*D18/D17^2)*SIN (D19/2) =0
4. Радиус наружной границы цветника – радиус сегмента круга r в метрах рассчитывается
в D20: =D17/2/SIN (D19/2) =15,305
r = x /2/sin( a /2)
5. Максимальная ширина цветника – высота сегмента круга h в метрах рассчитывается
в ячейке D21: =D20*(1-COS (D19/2)) =1.695
h = r *(1- cos( a /2))
Ответы получены, вторая задача успешно решена!
Я не приводил вывода использованных формул потому, что это не по теме поста, и, думаю, с геометрией и тригонометрией вы легко разберетесь. Будут вопросы – обращайтесь.
Чтобы получать информацию о выходе новых статей вам нужно подписаться на анонсы в окне, расположенном вверху страницы. Введите адрес своей электронной почты и нажмите на кнопку «Получать анонсы статей». С этого момента к вам на почтовый ящик будет приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.
Краткие выводы
1. Итерационными численными методами удобно и быстро можно решать трансцендентные уравнения и громоздкие нелинейные алгебраические.
2. При написании расчетных модулей программ в Excel, если нежелательны лишние остановки по ходу вычислений, можно использовать вставки блоков с классическими методами решения нелинейных уравнений или макросов с вызовом инструмента «Подбор параметра».
3. Использование инструмента «Подбор параметра» в Excel является сегодня, безусловно, наиболее оптимальным и эффективным методом решения нелинейных, трансцендентных уравнений функций одной переменной, а также проведения анализа типа «Что будет? Если…».
Умение применять в работе сервис «Подбор параметра» существенно повышает ваш уровень, как специалиста вообще, так и как пользователя Excel – в частности.
Тема. Решение нелинейных уравнений и систем в электронных таблиц MS Excel.
Цель работы. Изучение возможностей электронных таблиц MS Excel для решения нелинейных уравнений и систем, приобретение навыков работы с компонентом Поиск решения в электронных таблицах.
Задание. Найти корни полинома (табл. 9), решить уравнение (табл. 10) и систему уравнений (табл. 11).
Таблица 12. Варианты заданий
| № | уравнение | № | уравнение |
Таблица 13. Варианты заданий
| № | уравнение | № | уравнение |
Таблица 14. Варианты заданий
| № | Система уравнений | № | Система уравнений |
| 20- |
Рекомендации к выполнению лабораторной работы. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти корни полинома .
Для начала решим уравнение графически. Известно, что графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, т.е. такое значение x,при котором функция обращается в ноль.
Проведем табулирование полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. Функцию зададим формулой В2=A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104.На графике видно (рис. 17), что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином третьей степени имеет не более трех вещественных корней, то графическое решение поставленной задачи найдено и определены интервалы[37], на которых находятся корни данного полинома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8].
Теперь можно найти корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис®Подбор параметра[38].В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Пусть это будут -0.9, 0.3 и 0.7. Введем эти значения в диапазон А14:А16, и вычислим для них значения функции по формуле
В14 =A14^3-0,01*A14^2-0,7044*A14+0,139104,
которую скопируем в ячейки В15 и В16 при помощи маркера заполнения.
Рис. 18. Решение уравнения
После ввода начальных приближений и значений функции можно обратиться к пункту меню Сервис®Подбор параметраи заполнить диалоговое окно так как показано на рис. 19.
В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения[39]. В поле Значение вводим правую часть уравнения, а в поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную[40]. После нажатия кнопки ОКпоявится диалоговое окноРезультат подбора параметра с сообщением об успешном завершении поиска решения и приближенное значение корня будет помещено в ячейку А14. Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16.
Рис. 19. Подбор параметра
Пример 2.Решить уравнение .
Проведем локализацию корней нелинейного уравнения. Для этого представим его в виде , т.е. или , и решим графически. Графическим решением уравнения будет точка пересечения линий и .
Построим графики и . Для этого в диапазон А3:А18 введем значения аргумента. Значение функции определим формулой В3=EXP(A3), а значение : С3=(2*A3-1)^2(рис. 20).
Рис. 20. Решение уравнения
На графике видно, что линии и пересекаются дважды, т.е. данное уравнение имеет два решения. Одно из них тривиальное и равно нулю. Для второго можно определить интервал изоляции корня: и уточнить его методом последовательных приближений. Введём начальное приближение в ячейку Н17=1.5, и зададим само уравнение:
I17 =EXP(H17)-(2*H17-1)^2.
Далее воспользуемся пунктом меню Сервис®Подбор параметраи заполним диалоговое окно Подбор параметра. В поле Установить в ячейкевводим адрес функции I17. В поле Значение вводим правую часть уравнения, т.е. ноль. Поле Изменяя значения ячейки заполняется адресом переменной Н17. Результатпоиска решения будет выведен в ячейкуН17.
Пример 3. Решить систему уравнений
В MS Excel есть очень удобная операция – Поиск решения(рис. 21). Вообще говоря, она предназначена для решения задач оптимизации. Применим ее для решения системы уравнений, сведя задачу к задаче отыскания минимума функции.
Пусть в ячейках D1 и D2[41] хранятся начальные значения переменных x1 и x2. В ячейки E1и E2 введем уравнения системы:
E1=2*D1-3*D2+4, E2=D1+D2-4.
В качестве функции цели введем формулу
F1=E1^2+E2^2[42].
Рис. 21. Поиск решения системы уравнений
Обратимся к решающему блоку с помощью команды Сервис®Поиск решения и заполним диалоговое окно, так как показано на рис. 1.33[43]. Далее нажмем кнопку Выполнить и получаем решение системы в ячейках D1 и D2:
[31] Чтобы добавить пустой столбец можно воспользоваться командами Вставка®Столбецили Добавить ячейки…®столбец.
[32] Функции СУММ и СРЗНАЧ можно ввести с клавиатуры или при помощи Мастера функций
[33] Маркер автозаполнения – черная точка в нижнем правом углу ячейки. При установке курсора в маркер автозаполнения он принимает вид черного перекрестия.
[34] Данные можно вводить, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.
[35] В ячейке А1 первое значение аргумента, т.е. 5. В ячейке А2 – второе, оно равно -4,5. Выделяем диапазон А1:А2, устанавливаем курсор в маркер автозаполнения и удерживая левую кнопку мыши заполняем ячейки до А21. Последнее значение аргумента равно 5.
[37] Такие интервалы называют интервалами изоляции корней.
[38] Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций (например, 0,00001 и 1000) задаются на вкладке Сервис®Параметры.
[39] Уравнение должно быть записано так, чтобы его правая часть не содержала переменную.
[40] Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке.
[41] Ячейки не заполняются и по умолчанию равны нулю. При желании можно решить задачу графически и ввести в качестве начальных приближений значения близкие к корням.
[42] Сумма квадратов заданных функций.
[43] Иначе говоря, необходимо найти минимум функции в ячейке F1, изменяя значения переменных из ячеек D1 и D2.
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Лабораторная работа информатика и математика
Решение многих задач приводит к исследованию сложных математических моделей. При этом в большинстве случаев не удается получить точных аналитических решений. Тогда используют численные методы. Решение, полученное численными методами, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Ее источниками являются: неполное соответствие математической модели реальной задаче: погрешность исходных данных; погрешность самих численных методов; погрешности округления.
Цель и содержание
Целью данной лабораторной работы является овладение практическими навыками решения нелинейных уравнений численными методами средствами программ MS Excel и MathCAD .
Аппаратура и материалы
Лабораторная работа проводится в компьютерном классе на IBM -совместимых персональных ЭВМ с использованием программ MS Excel и MathCAD .
Указания по технике безопасности
Для выполнения лабораторной работы студент должен:
1. Перед включением ПЭВМ подготовить рабочее место, убрать ненужные для работы предметы; обо всех замеченных технических неисправностях сообщить преподавателю. Запрещается включать устройства при неисправных заземлении или кабелях питания; пользоваться поврежденными розетками, рубильниками и другими электроустановочными приборами.
2. После получения разрешения преподавателя включить ПЭВМ и приступить к работе. Запрещается производить подключение или отключение различных периферийных устройств. Запрещается работать, если при прикосновении к корпусам оборудования ощущается действие электрического тока.
3. После выполнения задания и получения разрешения преподавателя необходимо закрыть активные приложения, корректно завершить работу ПЭВМ и отключить питание.
4. Привести в порядок рабочее место, и после получения разрешения преподавателя покинуть помещение.
Теоретическое обоснование
Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.
Часто возникающей задачей при решении нелинейных уравнений является поиск приближенных значений корней. Многие уравнение, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами.
Пусть дано уравнение
f ( x )=0, (1)
где функция f(x) – некоторая заданная функция.
Решить уравнение (1) значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней.
Методика и порядок выполнения работы
Прежде чем начать выполнение лабораторной работы, внимательно прочтите задание на лабораторную работу и просмотрите примеры выполнения работы. После этого запустите сначала программу MathCAD , выполните все вычисления, необходимые для выполнения лабораторной работы, и сохраните файл с вычислениями. Затем запустите программу MS Excel, выполните все вычисления, необходимые для выполнения лабораторной работы, и также сохраните файл с вычислениями. После того, как студент выполнил все вычисления, он может приступить к формированию отчета по лабораторной работе.
Задание. Согласно данному преподавателем варианту необходимо:
1. Решить заданное уравнение с помощью графического метода в программе MathCAD .
2. Решить заданное уравнение с помощью вычислительного блока Given / Find в программе MathCAD .
3. Решить заданное уравнение с помощью метода подбора параметра в программе MS Excel.
Методика выполнения задания
Графический метод. Р ассмот рим в MathCAD графический метод, используемый для поиска приближенн ых значений корней нелинейных уравнений.
В качестве примера возьмем уравнение
Чтобы определить, сколько корней оно имеет, проведем ло кализацию корней данного уравнения, т.е. определим и выде лим отрезки, на каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. Один из способов решения данной проблемы – построение графика функции F ( x ), т.е. графический метод. Для большей наглядности вводится две функции f ( x )= 4(1-х 2 ) и g ( x )= е х , и строятся графики этих функций (рисунок 1).
Рисунок 1 – Графики функций f ( x ) и g ( x )
Из графика, представленного на рисунке 1, видно, что графики функций f ( x ) и g ( x ) пересекаются в двух точках, распо ложенных внутри интервалов [–2;0] и [0;2]. На каждом из этих отрезков корень можно найти, воспользовавшись опцией root ( f ( x )- g ( x ), x , a , b ), где а и b – начальная и конечная точки отрезка локализации.
Окончательно, результат решения нелинейного уравнения с помощью графического метода представлен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Графическое определение отрезков локализации и поиск корней уравнения с помощью графического метода
Таким образом, корнями нелинейного уравнения (2) являются два корня: и .
Рассмотрим также вычислительный блок Given / Find , используемый для решения нелиней ного уравнения.
Вычислительный блок Given / Find . При использовании вычислительного блока Given / Find неизвестному значению необходимо присвоить начальное значение. Неизвестной является значение переменной х, поэтому именно она является аргументом встроенной функции Find (х), решающей нелинейное уравнение. После этого, чтобы численным методом решить нелинейное уравнение, следует после ключевого слова Given записать нелинейное уравнение. Затем необходимо записать функцию Find (х), поставить знак «=», после чего на экране появится значение корня нелинейного уравнения.
Решим уравнение (2), задав начальное зна чение х0>0, например . Для этого обозначим блок решения словом Given , введем уравнение с помощью булевского оператора «=» и найдем корень уравнения с помощью опции Find (рисунок 3).
Рисунок 3 – Поиск положительного корня уравнения с помощью функции Find
Второй корень уравнения можно получить, выбрав отрицательное начальное значение х0 , например (рисунок 4).
Рисунок 4 – Поиск отрицательного корня уравнения с помощью функции Find
Метод подбора параметра. Рассмотрим, как на рабочем листе при помощи подбора параметра в MS Excel можно находить корни нелинейного уравнения с одним аргументом. В качестве базового примера рассмотрим следующее уравнение:
Для нахождения корней их первоначально надо локализовать, т.е. найти интервалы, на которых эти корни существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположный знак. С целью нахождения интервалов, на концах которых функция изменяет знак, необходимо построить ее график или ее протабулировать. Например, протабулируем наш полином на интервале [–2; 2] с шагом 0,4. С этой целью:
1. Введите в ячейку А2 значение -2, а в ячейку A3 – значение -1,6.
2. Выберите диапазон А2:АЗ, расположите указатель мыши на маркере заполнения этого диапазона и протяните его на диапазон А4:А12. Аргумент протабулирован.
3. В ячейку В2 введите формулу: =4*(1–А2^2)–2,72^А2.
4. Выберите ячейку В2. Расположите указатель мыши на маркере заполнения этой ячейки и протяните его на диапазон В3:В12. Функция также протабулирована.
Результаты табуляции представлены на рисунке 5.
На рисунке 6 видно, что функция меняет знак на интервалах [–1; –0,8] и [0,5; 1], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень. Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то они все локализованы.
Рисунок 5 – Результаты табуляции
Рисунок 6 – График функции
Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:
1. установите точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого выберите команду Сервис→Параметры и на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры задайте относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000, соответственно.
2. Отведите на рабочем листе ячейку под искомый корень, например, С2. Эта ячейка будет играть двойную роль. До применения подбора параметра в ней находится начальное приближение к корню уравнения, а после применения – найденное приближенное значение корня.
Корень при помощи подбора параметра находим методом последовательных приближений, поэтому в ячейку С2 надо ввести значение, являющееся приближением к искомому корню. В нашем случае первым отрезком локализации корня является [-1; -0,8]. Следовательно, за начальное приближение к корню разумно взять среднюю точку этого отрезка -0.9.
Отведите ячейку, например, D2, под функцию, для которой ведется поиск корня. Причем, вместо неизвестного, у этой функции должна указываться ссылка на ячейку, отведенную под искомый корень. Таким образом, в ячейку D2 введите формулу =4*(1-C2^2)-2,72^C2.
Аналогично надо поступить с другим искомым корнем:
Отвести ячейку СЗ под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,6. а в ячейку D3 ввести следующую формулу =4*(1-C3^2)-2,72^C3.
Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения:
1. Выберите команду Сервис→Подбор параметра. На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра.
2. В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку D2 (рисунок 7). В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня с помощью подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную.
3. В поле Значение введите 0. Здесь указывается значение из правой части уравнения.
4. В поле Изменяя значение ячейки введите С2. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную.
Рисунок 7 – Локализация корней уравнения и диалоговое окно
5. Нажмите кнопку ОК.
На экране отображается окно Результат подбора параметра (рисунок 8) с результатами работы команды Подбор параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку С2. В данном случае оно равно -0,950483819.
Затем необходимо провести все операции для поиска второго корня. На экране отображается окно Результат подбора параметра (рисунок 9) с результатами работы команды Подбор параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку С3. В данном случае оно равно 0,703322024.
Окончательно, результат решения нелинейного уравнения с помощью метода подбора параметра представлен на рисунке 10.