Как найти отношение площадей кругов

Решаем задачи по геометрии: Другие задачи на окружность

Теорема 1. Площадь круга радиуса r равна πr2.
Теорема 2. Площадь сектора круга радиуса r, ограниченного двумя радиусами этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна
Теорема 3. Площадь сегмента круга радиуса r, ограниченного хордой этого круга и дугой окружности, имеющей угловую величину α, равна

Теорема 4. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:
AB = BC, ∠ABO = ∠OBC.

Теорема 5. В любом четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:
AB + CD = AD + BC,\

и наоборот, если в некотором выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 6. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC.

Теорема 7. В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника:
AK = p.

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 6. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,
CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p – BC.

Доказательство теоремы 7. Пусть окружность касается продолжения стороны AB треугольника ABC в точке K, стороны BC этого треугольника в точке L, продолжения стороны AC — в точке M.

Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y, CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:

Следовательно, AK = p.

Статья опубликована при поддержке IT-школы «Академгородок». Курсы программирования предлагают различные программы обучения для детей и взрослых. Графический дизайн (Photoshop), web-дизайн, SMM, Sony Vegas, блогерство, HTML, CSS, JS, JavaScript, Scratch, создание web-сайтов, Frontend разработчик, а также компьютерная грамотность, подготовка по математике и физике для учащихся 5-11 классов. Школа предлагает Вам удобный график обучения, мобильную и перестраиваемую программу под уровень группы, проектная форма обучения и индивидуальный подход к каждому обучающемуся, доступные цены. Подробную информацию Вы сможете узнать на сайте курсов: https://bb.webschool.kiev.ua.

Решения задач

Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найти BC, если известно, что AC = 1, а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E, F.

Решение. Так как вписанный четырехугольник AFDE симметричен относительно прямой AD, то диаметром описанной около него окружности является отрезок AD, а прямая BC — касательной к этой окружности, проведенной в точке D.
Пусть AE = x, тогда EC = 1 – x, BD = DC = y. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:
CA∙CE = CD2 ⇔ 1 – x = y 2 .
Следовательно,

Задача 2. В окружность вписан треугольник со сторонами 7, 24 и 25. Вычислить площадь кругового сегмента, стянутого хордой длины 7.

Решение. Пусть в данном треугольнике ABC AB = 24, BC = 7, AC = 25. Так как верно равенство 7 2 + 24 2 = 25 2 , то треугольник ABC — прямоугольный (угол B — прямой), центр O окружности, описанной около этого треугольника, является серединой гипотенузы AC, а радиус этой окружности равен 12,5. Пусть ∠ BAC = α. Из треугольника ABC получаем, что

Тогда ∠BOC = 2α, и площадь сегмента окружности, стянутого хордой BC, равна

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC угол между равными сторонами AB и AC равен Из вершин треугольника ABC на его стороны опущены высоты AA 1 , BB 1 , CC 1 . Через точки A, B 1 и C 1 проведена окружность O, а через точки B, A 1 и C 1 — окружность O 1 . Найти отношение площади круга O к площади общей части кругов O и O 1 .

Решение. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, Q и Q 1 — центры окружностей O и O 1 соответственно, R и R 1 — их радиусы. Рассмотрим четырехугольник AC 1 HB 1 . Так как его противолежащие углы AC 1 H и AB 1 H равны то окружность O является описанной около этого четырехугольника, а ее центр Q есть середина отрезка AH. Аналогично, окружность O 1 описана около четырехугольника BA 1 HC 1 , а ее центр Q 1 есть середина отрезка BH. Пусть R = 1, тогда

Так как угол AB 1 B — прямой, то угол ABB 1 равен и

Общая часть кругов O и O 1 есть объединение двух непересекающихся сегментов круга O и круга O 1 . Вычислим отдельно площадь каждого из этих сегментов. Дуга C 1 H сегмента круга O имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Дуга C 1 H сегмента круга O 1 имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Искомое отношение равно

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся стороны BC. Найти длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Решение. Пусть D, E, F — соответственно середины сторон AB, AC и BC треугольника ABC, O — центр данной окружности, G — точка касания окружности с отрезком BC. Так как центр окружности, проходящей через точки D и E, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE, который является также серединным перпендикуляром к отрезку BF, то BG = GF = 1, а GC = 3. Пусть H — вторая точка гипотенузы AC, лежащая на окружности. Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC, найдем длину гипотенузы AC:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:

Задача 5. Вне прямого угла с вершиной C, на продолжении его биссектрисы взята точка O так, что С центром в точке O построена окружность радиуса 2. Найти площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Решение. Пусть K и M — точки пересечения окружности со сторонами угла. Разобьем фигуру, площадь которой надо найти, на сегмент MK и треугольник CMK и найдем площади S 1 и S 2 этих частей. Сначала вычислим площадь сегмента. Рассмотрим треугольник OCK, в нем

Применим к этому треугольнику теорему синусов:

Площадь сегмента MK равна

Вычислим теперь площадь треугольника CMK. Применив снова к треугольнику OCK теорему синусов, получим, что

Значит, площадь треугольника CMK равна

Следовательно, искомая площадь равна

Задача 6. В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании α вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Определить радиус второй окружности.

Решение. Обозначим через B вершину, а через AC — основание данного треугольника. Пусть M и T 1 — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, O 1 и r 1 — соответственно центр и радиус этой окружности. Пусть также вторая окружность с центром O 2 и радиусом r 2 касается первой окружности в точке T, а стороны AB — в точке T 2 . Так как треугольник ABC — равнобедренный, то точки B, O 2 , T, O 1 и M лежат на одной прямой, являющейся высотой этого треугольника. Радиус r 1 найдем из прямоугольного треугольника AO 1 M:

Найдем отношение r 1 : r 2 . Заметим, что треугольники BO 1 T 1 и BO 2 T 2 подобны, поэтому верно равенство

где Продолжая полученное равенство, получаем, что

Задача 7. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису угла в точках C и D. Длина хорды AB равна длина хорды CD равна Найти радиус окружности.

Решение. Пусть Q — вершина прямого угла, O — центр данной окружности, OM и ON — перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые QC и QB соответственно. Обозначим через R радиус данной окружности, через K — точку касания окружности со стороной угла, через L — точку пересечения прямых KO и QC. Применим к треугольнику AON теорему Пифагора:

Из построения вытекает, что четырехугольник OKQN является прямоугольником, а треугольники KLQ и LMO — прямоугольными и равнобедренными. Имеем:

Применив теперь к треугольнику DMO теорему Пифагора, получим, что

откуда R 2 = 2 или Геометрический смысл имеет лишь значение
Ответ:

Задача 8. На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй — внешним образом,
а также касается отрезка AB. Найти радиус третьей окружности.

Решение. Обозначим через O и Q соответственно центры первой и третьей окружностей, через C — точку касания первой и третьей окружностей, через D — точку касания второй и третьей окружностей, а через K — точку касания третьей окружности и отрезка AB. Пусть r — радиус малой окружности.
Так как центры касающихся окружностей и точка их касания лежат на одной прямой, то
OQ = R – r, а AQ = R + r. Применим к треугольнику AKQ теорему Пифагора:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику OQK, получим:

Задача 9. В плоском четырехугольнике ABCD длина стороны AB равна длина стороны AD равна 14, длина стороны CD равна 10. Известно, что угол DAB — острый, причем синус его равен косинус угла ADC равен Окружность с центром в точке O касается сторон AD, AB и BC. Найти длину отрезка BO.

Решение. Опустим перпендикуляры BM и CN из точек B и C на прямую AD. Так как угол DAB острый, точка M лежит с той же стороны относительно точки A, что и D.

Из треугольника ABM находим:

поэтому точка M лежит между A и D. Из того же треугольника ABM можно найти

Аналогично, cos ∠ADC < 0, поэтому угол ADC — тупой. Следовательно, точка D лежит между точками A и N. Из треугольника CDN находим:

Отметим, что BM < CN. Опустим перпендикуляр BP из точки B на отрезок CN. Рассмотрим треугольник BCP, в нем

Применим к треугольнику BPC теорему Пифагора:

Применив теперь теорему косинусов к треугольнику ACD, получим

Применив теорему косинусов к треугольнику ABC, найдем угол ABC:

Пусть ∠BAD = α, ∠ABC = β. Рассмотрим треугольник ABO. Так как окружность касается сторон AD, AB, BC, то ее центр O находится в точке пересечения биссектрис углов BAD и ABC. Значит,

Для нахождения длины отрезка BO воспользуемся теоремой синусов:

Вычислим входящие в это выражение значения:

(косинус положителен, так как угол острый);

Задача 10. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = α, ∠BCA = β, AC = b. На стороне BC взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки B и D проведена окружность, касающаяся стороны AC или ее продолжения за точку A. Найти радиус этой окружности.

Решение. Пусть K — точка касания прямой AC с окружностью, CD = x, тогда BD = 3x. Произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату касательной, проведенной к окружности из той же точки, следовательно, верно равенство CK2 = CDжCB = 4×2, откуда
CK = 2x. Для нахождения x применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Применим к треугольнику KDC теорему косинусов:

Рассмотрим треугольник BCK, в нем BC = 4x, KC = 2x, ∠BCK = β. Применив к этому треугольнику теорему косинусов, получим:

Треугольник BDK вписан в данную окружность. Поэтому искомый радиус — это радиус описанной около треугольника BDK окружности. Найдем его по формуле

Площадь треугольника BDK вычислим по формуле Герона:

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В параллелограмме ABCD с углом A, равным 60°, проведена биссектриса угла B, пересекающая сторону CD в точке E. В треугольник ECB вписана окружность радиуса r. Другая окружность вписана в трапецию ABED. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

С-2. Из точки A проведены секущая и касательная к окружности радиуса R. Пусть B — точка касания, а D и C — точки пересечения секущей с окружностью, причем точка D лежит между A и C. Известно, что BD — биссектриса угла B треугольника ABC и ее длина равна R. Найдите расстояние от точки A до центра окружности.

С-3. В трапеции ABCD известны основания, AD = 39, BC = 26, и боковые стороны: AB = 5 и CD = 12. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки A и B и касается стороны CD или ее продолжения.

С-4. В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две окружности одинакового радиуса r, касающиеся друг друга внешним образом. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину A с серединой F стороны CD, а центр второй окружности находится на отрезке, соединяющем вершину C с серединой E стороны AB. Первая окружность касается сторон AB, AD и CD; вторая окружность касается сторон AB,
BC и CD. Найдите AC.

С-5. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Определите радиус r, если
AB = 12, R = 8.

С-6. В прямоугольном секторе AOB из точки B как из центра проведена дуга OC (C — точка пересечения этой дуги с дугой AB) радиуса BO. Окружность S 1 касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, а окружность S 2 касается дуги AB, прямой OA и окружности S 1 . Найдите отношение радиуса окружности S 1 к радиусу окружности S 2 .

С-7. Сторона AB квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем все остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной CK, проведенной из вершины C к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности?

С-8. В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны a, угол ABC равен 120°. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке D. Вторая окружность имеет центром точку B и проходит через точку D. Найдите площадь той части вписанного круга, которая находится внутри второго круга.

С-9. Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Определите основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны c и d (c < d).

С-10. Круг радиуса 6 лежит внутри полукруга радиуса 24 и касается середины диаметра полукруга. Найдите радиус меньшей окружности, касающейся заданных круга, полукруга и диаметра полукруга.

С-11. Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены две общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен r. Расстояние от точки A до центра окружности большего радиуса равно 6r. Точка A делит отрезок касательной, заключенный между точками касания, в отношении 1 : 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

С-12. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найдите площадь треугольника.

С-13. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка OC равна 5.

С-14. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина стороны AB равна 1,
а величина угла OAB равна 60°. Найдите площадь общей части кругов, описанных около треугольников ABO и BOC.

С-15. В равнобедренный треугольник ABC (в котором AB = BC) вписана окружность радиуса 3.
Прямая p касается этой окружности и параллельна прямой AC, но не совпадает с ней. Расстояние от точки B до прямой p равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон AB и BC.

С-16. В окружность радиуса вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD является диаметром, а угол BAD равен Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P такой, что AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.

С-17. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

С-18. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 45°, причем прямая CD касается окружности, описанной около треугольника ABD. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

С-19. В круге с центром O хорда AB пересекает радиус OC в точке D, причем угол CDA равен Найдите радиус окружности, касающейся отрезков AD, DC и дуги AC, если AC = 2 и

С-20. В четырехугольнике ABCD расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и CD, а другая — сторон AB, AD и CD. Прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках M и N и касается обеих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если периметр четырехугольника MBCN равен 2p, сторона BC равна a и разность радиусов окружностей равна r.

С-21. На стороне BC треугольника BCD взята точка A таким образом, что BA = AC, ∠CDB = α, ∠BCD = β, BD = b. Пусть CE — высота треугольника BCD. Окружность проходит через точку A и касается стороны BD в точке E. Найдите радиус этой окружности.

С-22. В треугольнике ABC сторона AB равна 4, угол A равен 30°, угол B равен 130°. На стороне AB как на диаметре построен круг. Найдите площадь части круга, лежащей внутри треугольника.

С-23. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен Окружность радиуса касается лучей, образующих угол ACB, и вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите тангенс угла ABC, если площадь треугольника ABC равна а наибольшей из его сторон является сторона AC.

С-24. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, а BC = 3.

С-25. Две окружности с центрами A и B и радиусами соответственно 2 и 1 касаются друг друга. Точка C лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка AB. Найдите площадь S треугольника ABC, если известно, что S > 2.

С-26. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D. Найдите величину угла ABC, если известно, что AE = 1, BD = 3.

С-27. Отношение длин двух пересекающихся окружностей равно Общая хорда этих окружностей стягивает в меньшей из них дугу в Найдите стягиваемую этой хордой дугу большей окружности.

С-28. В угол с вершиной A величиной в 60° вписана окружность с центром в точке O. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C. Отрезок BC пересекается с отрезком AO в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AM : MO = 2 : 3 и BC = 7.

Площадь круга, сектора

Разделим окружность на возможно большее число равных частей, все полученные точки деления соединим с центром окружности, а соседние — друг с другом хордами.

Таким образом получим ряд равных равнобедренных треугольников (черт. 339).

Площадь каждого треугольника равна ah /₂, где а — основание его, h — высота.

Обозначив через S&#146 сумму площадей всех полученных треугольников, получим формулу:

Сумма площадей всех треугольников (S&#146) весьма близка к площади круга (S), сумма оснований всех треугольников (an) весьма близка к длине окружности (C), а высота (h) каждого треугольника весьма близка к радиусу (r) круга.

Если пренебречь незначительными различиями в размерах, то получим формулу площади круга:

После преобразования получим $ S_ <кр>= \frac<2\pi r \cdot r> <2>$, или S_кр = π r 2 ; а обозначив через D диаметр круга, получим:
$$ S_ <кр>= \frac<\pi D^2> <4>$$

Примечание. В формуле $S_ <кр>= \frac<2>$ поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах доказывается, что равенство $S_ <кр>= \frac<2>$ не приближённое, а точное.

Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник.

Пусть площадь этого многоугольника будет q, периметр — р, апофема — а.

По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:

Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину C окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному 1 /₂С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:

т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.

Так как С = 2πR, то

т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.

Следствие. Площади кругов относятся, как квадраты радиусов или диаметров.

Действительно, если K и K₁ будут площади двух кругов, a R и R₁ — их радиусы, то

Площадь сектора

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На чертеже 340 сектор AOB заштрихован.

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Получаем формулу:
$$ S = \frac<\pi r^2 n> <360>$$ где S — площадь сектора.

Площадь круга

Существует множество сложных задач о площади круга и его частей: секторов, сегментов, пересечений.

После прочтения этой статьи они станут для тебя простыми!

А еще посмотри задачи на окружности (ЕГЭ 16) из нашего курса подготовки.

Площадь круга — коротко о главном

Основные формулы:

Правило нахождения нестандартной части круга:

Непонятную фигуру нужно разделить на несколько стандартных (сектор, сегмент, треугольник и т.д.), потом посчитать площадь каждой стандартной фигуры и сложить все площади.

Площадь круга — подробнее

$ \displaystyle \ S=\pi <^<2>>$,

$ \displaystyle R$ — радиус,
$ \displaystyle \pi $ – число $ \displaystyle \approx 3,1415$

Производит впечатление? Представляешь, сколько времени математики думали, пока не додумались, что…

…площадь круга радиуса $ \displaystyle R$ ровно (!) в $ \displaystyle \pi $ раз больше площади квадрата со стороной $ \displaystyle R$.

Ну вот, а теперь – площадь части круга.

Площадь сектора круга

Смотри на картинку, это такая «хорошая» часть круга.

Подробнее о радианах смотри в теме «Окружность. Вписанный угол».

Площадь сегмента круга

А это «плохая» часть круга – опять смотри на картинку:

$ \displaystyle \ S_ <сегмента>\displaystyle=\frac<1><2><^<2>>(\alpha -\sin \alpha )$,

Площадь других частей круга

Иногда бывает, что нужно посчитать площадь какой-нибудь странной части круга. Эта часть может не быть ни сектором, ни сегментом.

Давай рассмотрим два примера.

Пример 1

Окружности радиусов $ \displaystyle 2$ и $ \displaystyle 4$ пересекаются по хорде, равной $ \displaystyle 2$.

Найти площадь общей части кругов.

Решение:

Обрати внимание, что общая часть кругов состоит из двух сегментов: красного и голубого.

Найдем площадь голубого сегмента.

Для этого нужно посмотреть на окружность с центром $ \displaystyle <_<1>>$.

$ \displaystyle \Delta A<_<1>>B$ — правильный $ \displaystyle \quad \Rightarrow \ \angle A<_<1>>B=\frac<\pi ><3>\,\, (<<60>^<\circ >>)$.

Если не помнишь, как считается площадь правильного треугольника, загляни в тему «Равносторонний треугольник».

А вот найти $ \displaystyle \angle A<_<2>>B$ уже сложнее.

Придется применять теорему косинусов!

Пример 2

На стороне $ \displaystyle AB$ треугольника $ \displaystyle ABC$ как на диаметре построена окружность.

Найти площадь общей части треугольника и круга, если $ \displaystyle AB=4$, $ \displaystyle \angle A=30<>^\circ $, $ \displaystyle \angle B=140<>^\circ $.

Решение:

Проведем $ \displaystyle OD$.

Опять наша непонятная фигура разделилась на две стандартные:

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Перед вами вебинары, связанные с окружностями и 16 заданием ЕГЭ.

ЕГЭ 16 математика. Метод вспомогательной окружности. Из реального ЕГЭ 2016 года

Метод вспомогательной окружности — это очень классный метод, но, к сожалению, он не всегда очевиден.

Иногда в задаче нет даже намёка ни на какие окружности, но тем не менее, если догадаться её на рисунке достроить, решение становится в разы проще!

Как минимум, сразу же становятся равными друг другу очень неочевидные углы — те, которые опираются на одну дугу, но без окружности увидеть это было бы нереально сложно. Либо произведения отрезков хорд равны друг другу.

Это очень крутой и удобный метод — но нужно понимать, в каких ситуациях он применяется, ведь далеко не всегда нужно на и без того сложный рисунок лепить ещё и окружность.

ЕГЭ 16 Планиметрия Статград март 2021

Задача №16 из мартовского статграда на планиметрию ничем не удивляет: снова окружность и пропорциональные отрезки в ней, прямоугольные треугольники, вот это всё.

Скучно… Раз-два, и ответ готов!

Но погодите-ка, а почему у нас с вами ответ получился разный? И вроде бы оба делаем всё правильно…

На уроках нашего курса я рассказывал о таких задачах, но их уже давненько не попадалось на ЕГЭ, и все уж думали, что ушла эпоха. Конечно, никакого парадокса в этой задаче нет, нужно всего лишь (ха-ха) быть очень внимательными:)

Смотрите видео, и узнаете, в чём же особенность этой задачи, как её правильно решать и оформлять, а также – как ничего не упустить на экзамене и не потерять баллы!

ЕГЭ 16. Планиметрия. Окружности. Задача из олимпиады Физтеха 2020

Планиметрия и окружности! Куда же деться от них в 16 задаче на ЕГЭ?

Те, кто ходил на наш курс подготовки, посвященный 16 задаче, знают, что окружности в задачах на планиметрию попадаются чаще всего.

Иногда вписанные. Иногда описанные. С разными вписанными или описанными фигурами. Иногда одна окружность . Иногда две. Они касаются друг друга или пересекаются друг с другом.

Никуда не деться от окружностей — остается только научится их решать и получать удовольствие от красивых задач!

В этом видео мы разберём, что бы вы думали? Задачу 16 из ЕГЭ?

Нет! Пойдём дальше — разберём задачу из олимпиады Физтеха прошлого года.

Стойте, не разбегайтесь! Олимпиады далеко не всегда бывают сложными (особенно, если вы прошли наш курс по 16-й задаче).

Эта задача вполне себе ЕГЭ-шного уровня. Про окружности и прямоугольные треугольники. Готовьтесь и “разминайте” свои теоремы Пифагора, теорему синусов и прочих косинусов.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий курсов

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель :

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Сережа
07 апреля 2019
Как рассчитать площадь треугольника с криволинейной (выпуклой дугой) гипотенузой? Размеры катетов и дуги известны.

Алексей Шевчук
04 сентября 2019
Сережа, проведи прямую гипотенузу, таким образом ты разобьёшь фигуру на 2 части. Вычисли площадь каждой из них, потом сложи.

Роберт
23 ноября 2019
Как найти площадь усеченной полу окружности?

Алексей Шевчук
24 ноября 2019
Роберт, разрежьте её на два сектора и треугольник, посчитайте площадь каждой части, потом сложите.

Владислав
26 января 2020
Как найти площадь наложенных друг на друга секторов, с центрами внутри одной окружности?

Алексей Шевчук
27 января 2020
Владислав, не совсем понятно, это секторы одной окружности, то есть с общим центром? Или центры не совпадают?

Нодир Юлдашев
09 июня 2020
Алексей, как можно посчитать, сколько процентов площади первого круга затмил второй круг исходя из того, сколько части диаметра первого круга затмил второй круг? Сейчас почитал про предстоящее кольцеобразное солнечное затмение 21 июня 2020 года и мне стало интересно. Диаметры кругов могут немножко отличаться из-за периодического изменения расстояния до Солнца и до Луны (в максимуме этого затмения видимый диаметр Солнца будет 31′ 28,4″ (0,524(5)°), а Луны — 30′ 48″ (0,51(3)°)). https://heavens-above.com/SolarEclipse.aspx?jdmax=2459021.77865012 (вкладка «Местные условия»)

Алексей Шевчук
09 июня 2020
Нодир, можно. Углы, которые здесь написаны, пропорциональны диаметрам (а значит, и радиусам) кругов. Отношение площадей равно квадрату отношения радиусов или диаметров (если поделить две формулы площади круга друг на друга, пи сокращается). Делим угловой диаметр Луны на Солнца, возводим в квадрат. Числа должны быть переведены в единицы измерения одного типа, например, в граусы: (0,513 / 0,525)^2 = 0.977^2 = 0.955 = 95.5%

Нодир Юлдашев
09 июня 2020
Алексей, спасибо за ответ, это тоже запомню, я хотел спросить о частичном затмении, которое у нас можно будет наблюдать. Луна подойдёт к Солнцу справа (с запада) и начинает его закрывать. В максимальной фазе Луна закроет 0,652 части диаметра Солнца (это величина (магнитуда) затмения) и 56,4% его площади (это максимальная фаза, %) (нижнюю часть Солнца). Центр Луны через центр Солнца у нас не пройдёт. Потом будет двигаться дальше налево (на восток) и выйдет из солнечного диска. Хотел поинтересоваться, а можно ли составить формулу для вычисления процента площади затмения исходя из величины (магнитуды) затмения. Я сам не школьник, я бухгалтер, и мне просто стало интересно. ��

Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов» если из центра первого круга эта хорда видна под углом 60 а из

В 14:31 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал следующим образом: Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов» если из центра первого круга эта хорда видна под углом 60 а из центра второго — под углом 90

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

решение задания по геометрии

НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.

Исакова Малика Юрьевна — автор студенческих работ, заработанная сумма за прошлый месяц 50 660 рублей. Её работа началась с того, что она просто откликнулась на эту вакансию

ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!

Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.

Деятельность компании в цифрах:

Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.

Ответы на вопросы — в этот раздел попадают вопросы, которые задают нам посетители нашего сайта. Рубрику ведут эксперты различных научных отраслей.

Полезные статьи — раздел наполняется студенческой информацией, которая может помочь в сдаче экзаменов и сессий, а так же при написании различных учебных работ.

Красивые высказывания — цитаты, афоризмы, статусы для социальных сетей. Мы собрали полный сборник высказываний всех народов мира и отсортировали его по соответствующим рубрикам. Вы можете свободно поделиться любой цитатой с нашего сайта в социальных сетях без предварительного уведомления администрации.

Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.