Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть один прямой угол? Ответ обоснуйте.
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Прямоугольник
Пункты 1 и 2 определения прямоугольника эквивалентны.
Доказательство
Действительно, если в параллелограмме есть один прямой угол, то все остальные его углы тоже прямые (так как противоположные стороны параллельны).
Обратно, если в четырехугольнике все углы прямые, то его противоположные стороны параллельны, и, следовательно, это параллелограмм.
Замечание
Прямоугольник наследует все свойства параллелограмма.
Свойство прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Докажем, что $AC=BD$.
Поскольку прямоугольник – это частный случай параллелограмма ,то $BC=AD$.
Тогда треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DAB$ равны по первому признаку ($BC=AD$, $AB$ – общая, $\angle A = \angle B=90^\circ$).
Следствие
Диагонали прямоугольника разбивают его на четыре равнобедренных треугольника.
Замечание
Полезно понимать следующую картинку про прямоугольник. (все равные углы, все равные отрезки).
Признак прямоугольника
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором $AC=BD$.
Докажем, что этот параллелограмм – прямоугольник.
Действительно, треугольники $\tri ABC$ и $\triangle DAB$ равны по третьему признаку ($BC=AD$, $AC=BD$, $AB$ – общая).
Тогда $\angle A=\angle B$. Но поскольку $\angle A+\angle B=180^\circ$, то $\angle A=\angle B=90^\circ$.
Теорема
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.
Доказательство
Пусть прямая $CO$ пересекает окружность в точке $D$.
Тогда $OA=OB=OC=OD$, так как это радиусы окружности.
Значит диагонали четырехугольника $ABCD$ точкой пересечения делятся пополам, а значит это параллелограмм.
Кроме того диагонали равны, а значит это прямоугольник, то есть $\angle C=90^\circ$.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Частным случаем прямоугольника является квадрат.
Свойства прямоугольника
1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
Помимо этого:
2. Стороны прямоугольника являются его высотами.
3. Диагонали прямоугольника равны.
4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки параллелограмма
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.
3. Все углы параллелограмма равны.
Площадь прямоугольника
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Если угол параллелограмма прямой
ABCD — параллелограмм (по условию) и у него все углы прямые (по доказанному).
Следовательно, ABCD — прямоугольник (по определению).
Что и требовалось доказать.
Таким образом, если известно, что хотя бы один угол параллелограмма прямой, то остальные его углы — также прямые и он является прямоугольником.