Что такое цифровой корень

Цифровой корень (повторяющаяся цифровая сумма) заданного большого целого числа

Цифровой корень положительного целого числа находится путем суммирования цифр целого числа. Если результирующее значение представляет собой одну цифру, то эта цифра является цифровым корнем. Если полученное значение содержит две или более цифр, эти цифры суммируются, и процесс повторяется. Это продолжается до тех пор, пока необходимо получить единственную цифру.
Задача по заданному номеру — найти его цифровой корень. Число входных данных может быть большим, и его невозможно будет сохранить, даже если мы используем long long int.
Спрошено в ACM-ICPC
Примеры :

Мы обсудили решение для чисел, которые могут поместиться в длинную и длинную его в посте ниже.
Нахождение суммы цифр числа до тех пор, пока сумма не станет однозначной
В этом посте обсуждаются аналогичные подходы для большого количества пользователей.

Способ 1

Находим цифровой корень 65785412
Шаги:

  1. Узнай все цифры числа
  2. Сложите все числа по одному
  3. Если окончательная сумма двузначная, добавьте еще раз, чтобы получилась однозначная цифра.
  4. Результат, полученный в виде одной цифры, является цифровым корнем числа

Пример:
Вход: 65785412
Найдите цифровой корень: (6 + 5 + 7 + 8 + 5 + 4 + 1 + 2) = 38 => 11 => (1 + 1) = 2
Выход: 6

Цифровой корень — Digital root

цифровой корень (также повторяющаяся цифровая сумма ) натурального число в заданном числовом основании — это (однозначное) значение, полученное с помощью итеративного процесса суммирования цифр, на каждой итерации с использованием результата предыдущей итерации для вычисления цифра сумма. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто однозначное число.

Содержание

  • 1 Формальное определение
    • 1.1 Пример
    • 2.1 Формула сравнения
    • 2.2 Использование минимальной функции
    • 2.3 Свойства

    Формальное определение

    Пусть n — натуральное число. Для базового b>1 1> , мы определяем сумму цифр F b: N → N : \ mathbb \ rightarrow \ mathbb > должно быть следующим:

    где k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 \ rfloor + 1> — количество цифр в числе в базе b , а

    — значение каждой цифры числа. Натуральное число n — это цифровой корень, если это фиксированная точка для F b > , которое происходит, если F b (n) = n (n) = n> .

    Все натуральное числа n — препериодические точки для F b > , независимо от основания. Это потому, что если n ≥ b , то

    F b (n) = ∑ i = 0 k — 1 di

    , потому что b>1 1> . Если n , то тривиально

    Следовательно, единственными возможными цифровыми корнями являются естественные числа 0 ≤ n , и нет никаких циклов, кроме фиксированных точек 0 ≤ n .

    Пример

    В базе 12 8 является мультипликативный цифровой корень по основанию 10 числа 3110, как для n = 3110

    d 0 = 3110 mod 12 0 + 1 — 3110 mod 1 2 0 12 0 = 3110 mod 12 — 3110 mod 1 1 = 2 — 0 1 = 2 1 = 2 = >> — 3110 > 2 ^ > >> = > — 3 110 >> > = > = > = 2> d 1 = 3110 mod 12 1 + 1 — 3110 mod 1 2 1 12 1 = 3110 mod 144 — 3110 mod 1 2 12 = 86 — 2 12 = 84 12 = 7 = >> — 3110 > 2 ^ > >> = > — 3110 > 2> > = > = > = 7> d 2 = 3110 mod 12 2 + 1 — 3110 mod 1 2 2 12 2 = 3110 мод. 1728 — 3110 мод. 1 44 144 = 1382 — 86 144 = 1296 144 = 9 = >> -3110 > 2 ^ > >> = > — 3110 > 44> > = > = > = 9> d 3 = 3110 mod 12 3 + 1 — 3110 mod 1 2 3 12 3 = 3110 mod 20736 — 3110 mod 1 728 1728 = 3110 — 1382 1728 = 1728 1728 = 1 = >> — 3110 > 2 ^ > >> = > — 3110 > 728> > = > = > = 1> F 12 (3110) = ∑ i = 0 4 — 1 di = 2 + 7 + 9 + 1 = 19 (3110) = \ sum _ ^ d_ = 2 + 7 + 9 + 1 = 19>

    Этот процесс показывает, что 3110 — 1972 в базе 12. Теперь для F 12 (3110) = 19 (3110) = 19>

    d 0 = 19 mod 12 0 + 1-19 mod 1 2 0 12 0 = 19 mod 12 — 19 мод 1 1 = 7-0 1 = 7 1 = 7 = >> — 19 > 2 ^ > >> = > — 19 >> > = > = > = 7> d 1 = 19 mod 12 1 + 1 — 19 mod 1 2 1 12 1 = 19 mod 144 — 19 mod 1 2 12 = 19 — 7 12 = 12 12 = 1 = >> — 19 > 2 ^ > >> = > — 19 > 2> > = > = > = 1> F 12 (19) = ∑ я = 0 2 — 1 di = 1 + 7 = 8 (19) = \ sum _ ^ d_ = 1 + 7 = 8>

    , показывая, что 19 равно 17 в базе 12. А поскольку 8 — это однозначное число в базе 12,

    Прямые формулы

    Мы можно определить корень цифры непосредственно для базы b>1 1> dr b: N → N _ : \ mathbb \ rightarrow \ mathbb > следующими способами:

    Формула сравнения

    Формула в базе b равно:

    В base 10 соответствующая последовательность имеет вид (sequence A010888 в OEIS ).

    Цифровой корень — это значение по модулю b — 1 , потому что b ≡ 1 mod b — 1, >,> и, следовательно, bk ≡ 1 k ≡ 1 mod b — 1, \ Equiv 1 ^ \ Equiv 1 >,> поэтому независимо от позиции значение n mod b — 1 > — 1> то же самое — ab 2 ≡ ab ≡ a mod b — 1 \ Equiv ab \ Equiv a >> — поэтому цифры могут быть добавлены осмысленно. В частности, для трехзначного числа n = a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 0 b ^ + a_ b ^ + a_ b ^ >

    dr b ⁡ (n) ≡ a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 0 ≡ a 1 (1) + a 2 (1) + a 3 (1) ≡ (a 1 + a 2 + a 3) mod b — 1 _ (n) \ Equiv a_ b ^ + a_ b ^ + a_ b ^ \ Equiv a_ (1) + a_ (1) + a_ (1) \ Equiv (a_ + a_ + a_ ) >> .

    Чтобы получить модульное значение по отношению к другим числам n , можно взять взвешенные суммы, где вес на k -й цифре соответствует значению bk > по модулю n . В с основанием 10 это проще всего для 2, 5 и 10, где старшие цифры исчезают (поскольку 2 и 5 делят 10), что соответствует известному факту, что делимость десятичного числа по отношению к 2, 5 и 10 можно проверить по последней цифре (четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8).

    Также следует отметить модуль n = b + 1 : поскольку b ≡ — 1 mod b + 1, >,> и, следовательно, b 2 ≡ (- 1) 2 ≡ 1 (mod b + 1), \ Equiv (-1) ^ \ Equiv 1 >,> взятие переменной суммы цифр дает значение по модулю b + 1 .

    Использование минимальной функции

    Это помогает увидеть цифровой корень положительного целого числа как позицию, которую он занимает по отношению к наибольшему кратному b — 1 меньше, чем само число. Например, в с основанием 6 цифровой корень 11 равен 2, что означает, что 11 является вторым числом после 6 — 1 = 5 . Аналогично, цифровой корень 2035 по основанию 10 равен 1, что означает, что 2035 — 1 = 2034 | 9 . Если число дает цифровой корень точно из b — 1 , то это число кратно b — 1 .

    Имея это в виду, цифровой корень положительного целого числа n может быть определен с помощью функции пола ⌊ x ⌋ , поскольку

    dr b ⁡ (n) = n — (b — 1) ⌊ n — 1 b — 1 ⌋. _ (n) = n- (b-1) \ left \ lfloor > \ right \ rfloor.>

    Свойства

    • Цифровой корень a 1 + a 2 + a_ > в базе b — это цифровой корень суммы цифрового корня из a 1 > и цифрового корня из a 2 > . Это свойство можно использовать как своего рода контрольную сумму, чтобы проверить правильность вычисления суммы.
    • Цифровой корень a 1 — a 2 -a_ > в базе b совпадает с разницей цифрового корня a 1 > и цифровой корень из a 2 > по модулю b — 1 .
    • Цифровой корень — n в базе b следующим образом:
    • Цифровой корень произведение ненулевых однозначных чисел a 1 ⋅ a 2 \ cdot a_ > в базе b задается Ведическим квадратом в основании b .
    • Цифровой корень a 1 ⋅ a 2 \ cdot a_ > в базе b — цифровой корень продукта цифрового корня a 1 > и цифровой корень из a 2 > .

    Аддитивная стойкость

    аддитивная стойкость подсчитывает, сколько раз мы должны суммируйте цифры, чтобы получить цифровой корень.

    Например, аддитивная стойкость 2718 в base 10 равна 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, а затем 1 + 8 = 9.

    Не существует ограничений на аддитивную стойкость числа в базе счисления b . (Доказательство: для данного числа n , постоянство числа, состоящего из n повторений цифры 1 на 1 больше, чем у n ). Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1. в базе 10:

    0, 10, 19, 199, 19999999999999999999999. (последовательность A006050 в OEIS )

    Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10 — 1 (то есть 1, за которой следует 2222222222222222222222 9). Для любого фиксированного основания сумма цифр числа пропорциональна его логарифм ; следовательно, аддитивная стойкость пропорциональна повторному логарифму.

    Пример программирования

    В приведенном ниже примере реализуется сумма цифр, описанная в определении выше, для поиска цифровых корни и аддитивные постоянства в Python.

    В популярной культуре

    Цифровые корни используются в западной нумерологии, но некоторые числа считаются имеющими оккультное значение (например, 11 и 22) не всегда полностью сводятся к одной цифре.

    Цифровые корни образуют важную механику в визуальной приключенческой игре Девять часов, девять человек, девять дверей.

    Цифровой корень натурального числа получается следующим образом

    Если мы сложим все цифры какого-либо числа, затем все цифры найденной суммы и будем повторять много раз, мы, наконец, получим однозначное число (цифру), называемое цифровым корнем данного числа. Например, цифровой корень числа 34697 равен 2 (3+4+6+9+7=29; 2+9=11; 1 + 1=2). Составим программу для нахождения цифрового корня натурального числа.

    program prim5;
    uses crt;
    var n, k, s: longint;
    begin
    clrscr;
    writeln(‘ число=’); readln(n);
    s:=n;
    <Пока сумма является двузначным числом.>
    while s>9 do
    begin
    k:=s;s:=0;
    <Вычисляем сумму цифр числа.>
    repeat
    S:=s+k mod 10; k:=k div 10;
    until k=0;
    end;
    writeln(‘ цифр. корень числа ‘,n, ‘ равен ‘,s);
    readln;
    end.

    Раскрытие тайны цифрового корня.

    Недавно мне посчастливилось подготовить задачу про цифровой корень на Russian Code Cup. В результате прорешивания, а также комментариев к разбору, я заметил, что, к сожалению, отнюдь не каждый осведомлен о свойствах данной функции. Я просто не мог остаться равнодушным к этой проблеме.

    Для начала рассмотрим определение цифрового корня, взятое с англоязычной Википедии с моим переводом:

    Цифровой корень натурального числа — это цифра, полученная в результате итеративного процесса суммирования цифр, на каждой итерации которого для подсчета суммы цифр берут результат, полученный на предыдущей итерации. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет получена одна цифра.
    Например цифровой корень 65,536 это 7, потому что 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25 и 2 + 5 = 7.

    Для начала заметим очевидное свойство ( dr(n) — цифровой корень числа n ):

    Дальше докажем следующий факт: Сумма цифр числа n имеет такой же остаток при делении на 9, как и число n .

    В доказательстве нам понадобится формула , докажем ее по индукции:
    База:
    Переход: .
    Нужно доказать . Просто распишем
    Таким образом мы доказали по индукции, что .

    Вернемся к основному доказательству. Пусть , тогда: n = a k·10 k + a k — 1·10 k — 1 + . a 1·10 + a 0 . По только что доказанной формуле: следовательно . Что и требовалось доказать.

    Теперь по только что доказанному утверждению понятно, что остаток при делении на 9 — инвариант относительно взятия цифрового корня, а поскольку сумма цифр числа меньше самого числа, если число больше 9, справедливы следующие две формулы:

    Эти две формулы можно собрать объединить формулой:

    Из этой формулы, например, следует периодичность цифрового корня.

    Любая задача про цифровой корень становится легче при знании этого несложного факта, надеюсь, что кому-нибудь этот пост покажется полезным.

    Поддержано грантом для одаренной молодежи А. А. Шалыто.

    Математические головоломки
    Топологические
    С отвлеченными числами
    Числовые
    Геометрические
    Еще головоломки
    Математический портал
    О портале "Математика. ру"
    mainmenu
    Математика в афоризмах
    Сущность математики
    Значение математики
    Изучение математики
    О красоте математики
    Элементарная математика
    Высшая математика
    Математические фокусы
    С картами
    С мелкими предметами
    Со снаряжением
    Исчезновение фигур
    Без обмана
    Занимательная арифметика
    Немного истории
    О цифрах и нумерации
    Потомок древнего абака
    Недесятичные системы
    Числовые диковинки
    Вечный календарь
    Числовые великаны
    Числовые лилипуты
    Путешествие
    Решение математических задач
    По высшей математике №1-100
    По высшей математике №101-200
    По высшей математике №201-300
    По высшей математике №301-400
    По высшей математике №401-500
    Задачи-головоломки

    Р. Курант, Г. Роббинс

    Дедукция, выраженная в адекватной математической форме, — необходимое основание индукции, которая дает нам новые обобщения и, следовательно, новые факты [314, с. 462].

    Цифровые корни

    Цифровые корни

    Если сложить все цифры некоторого числа, затем все цифры только что найденной суммы и так про­должать достаточно далеко, то получится одна единственная цифра, которая носит название цифрово­го корня первоначального числа. Быстрее всего можно получить цифровой корень при помощи так называе­мого «процесса отбрасывания девяток». Допустим, например, что мы хотим найти цифровой корень чи­сла 87345691. Сначала сложим цифры 8 и 7, будет 15; затем тут же складываем 5 и 1, получаем 6. Этот же результат получится, если вычесть или «исключить» из 15 девятку. Теперь прибавим 6 к следующей циф­ре, т. е. к тройке, получится 9. Девять плюс 4 дает 13 — число, которое после исключения девятки опять сводится к числу 4. Так же мы поступаем, пока не дойдем до последней цифры. Цифра 7, полученная этим путем, будет цифровым корнем заданного числа 87345691.

    Большое количество фокусов с числами основано на операции, которая приводит к числу, кажущемуся случайным, хотя в действительности имеющим своим цифровым корнем девятку. Если производилась имен­но такая операция, можно предложить зрителю об­вести кружком любую цифру ответа (за исключением нуля), а остальные цифры назвать в любом порядке. После этого показывающий может объявить отмечен­ную цифру. Для этого ему нужно просто складывать называемые зрителем цифры, вычитая по ходу дела девятки; таким образом, при объявлении последней цифры он уже будет знать цифровой корень совокуп­ности записанных им чисел. Если этим корнем ока­жется девятка, то была отмечена кружком эта же цифра. В остальных случаях, чтобы получить отме­ченную цифру, нужно вычесть найденный цифровой корень из девятки. Вот некоторые из многих опера­ций, которые приводят к числам, цифровой корень ко­торых равен 9.

    1. Напишите число (оно может быть сколь угодно большим) и переставьте его цифры в любом порядке; вычтите меньшее из этих чисел из большего.

    2. Напишите какое-нибудь число, сложите все его цифры и вычтите полученную сумму из первоначаль­ного числа.

    3. Напишите какое-нибудь число. Найдите сумму его цифр, умножьте ее на 9 и сложите результат с пер­воначальным числом. Напишите какое-нибудь число, умножьте его на 9 или на число, кратное девяти. (Все числа, крат­ные девяти, имеют своим цифровым корнем девятку, и обратно, все числа, имеющие своим цифровым кор­нем девятку, кратны девяти.)

    4. Напишите какое-нибудь число, сложите два чи­сла, полученных из него путем любой перестановки цифр, и возведите полученный результат в квадрат.

    Если вы хотите еще более затемнить метод полу­чения чисел, цифровой корень которых равен 9, вы можете перед существенным в этом методе действием вводить произвольные числа и операции. Например, можно предложить зрителю записать количество ме­лочи в его кармане, умножить это число на число людей в комнате, прибавить к результату самый знаме­нательный год в его жизни и т. д. и, наконец, умно­жить результат на 9. Ясно, что только последнее дей­ствие имеет отношение к делу. Как только получено число, цифровой корень которого равен 9, вы можете предложить зрителю обвести какую-нибудь цифру результата кружком и показывать фокус, как это было описано выше.

    Нумерология: никакого гадания, только теория чисел

    В данной статье речь пойдёт о таких понятиях теории чисел, как цифровой корень и ведический квадрат.

    Данная статья ничего не говорит о нумерологии, кроме того, что это псевдонаучная концепция.

    Цель данной статьи: показать математические закономерности вокруг вычисления цифрового корня и его связь с циклическими числами.

    Введение

    Несколько дней назад я решил написать незатейливую статью про нумерологическое сложение. Моей целью было показать, что даже такая незамысловатая операция может иметь большое количество интересных закономерностей. Многие из этих закономерностей я нашёл ещё в школьное время, когда скучал на уроках географии. При внимательном рассмотрении я нашёл больше закономерностей, чем ожидал, и это привело меня назад к моей любимой теме full reptend prime.

    После я внимательно изучил то, что нашёл, узнал, что многие из этих понятий уже существуют, и решил переписать статью заново, чтобы опираться на общеизвестные понятия. Помимо известных понятий я добавил собственные визуализации, чтобы сделать чтение немного более увлекательным.

    Сумма цифр и цифровой корень

    Цифровой корень натурального числа в заданной системе счисления — это значение, получаемое итеративным расчётом суммы цифр, где на первой итерации происходит расчёт суммы цифр натурального числа, а на каждой следующей — расчёт суммы цифр результата предыдущей итерации. Операция выполняется до тех пор, пока вычисленное значение не становится меньше заданной системы счисления, т.е. до тех пор, пока оно не равняется одной-единственной цифре.

    Аддитивная стойкость натурального числа — это количество итераций, на которых нужно применить операцию суммы цифр, для того чтобы получить цифровой корень.

    Пример: Цифровая сумма числа 142857 равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

    Цифровая сумма числа 27 равна 2 + 7 = 9

    Как следствие, цифровой корень числа 142857 = 9, аддитивная стойкость 142857 = 2.

    Код для вычисления цифрового корня в произвольной системе счисления на языке Python:

    Применение цифровой суммы

    Цифровые суммы применялись при расчёте контрольных сумм для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручного счета, Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил использовать суммы 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, в качестве формы генерации случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к гауссову распределению.

    Цифровая сумма двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или численность населения. Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы.

    Улучшение алгоритма вычисления цифрового корня

    При расчёте цифрового корня можно воспользоваться небольшой хитростью: если значение не равно нулю, и не равно основанию системы счисления — 1, можно получить значение цифрового корня просто операцией взятия остатка от деления на основание системы счисления — 1.

    Свойства цифрового корня

    Операция сложения

    Сделаем небольшую таблицу, для того чтобы изучить закономерности, каким образом вычисляется цифровой корень суммы двух чисел:

    Таблица для анализа операции цифрового корня суммы двух чисел.

    Таблица для анализа операции цифрового корня суммы двух чисел.

    Код для построения таблицы суммы:

    Как можно увидеть, цифровой корень суммы чисел равен цифровому корню суммы цифровых корней этих чисел:

    Операция вычитания

    Формула похожа на предыдущую, однако совпадает не полностью.

    Приведем контрпример: 455 — 123 = 332.

    Как можно отметить, выражение 4 — 6 не даёт в результате 8, потому формулу сложения нужно модифицировать, чтобы она работала для операции вычитания:

    Операция умножения

    Выведем вариацию таблицы умножения, для того чтобы исследовать эту операцию:

    Расчет цифрового корня от двух множителей

    Расчет цифрового корня от двух множителей

    Код для вывода таблицы умножения:

    Запишем значения для каждого множителя:

    1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

    2) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9]

    3) [3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9]

    4) [4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9]

    5) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9]

    6) [6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9]

    7) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9]

    8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9]

    9) [9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9]

    Можно увидеть, что последовательности разбиваются на пары 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5. В каждой из пар сохраняется та же самая последовательность, но они представляют собой реверсированные копии друг друга, за исключением последнего элемента, который связан с множителем, равным основанию системы счисления — 1.

    Также отметим, что при умножении на основание системы счисления -1 цифровой корень будет равен основанию системы счисления — 1. При умножении на 1 значение цифрового корня второго множителя сохраняется.

    Последовательности для множителей 1, 2, 3, 4. Они же являются зеркальными для 8, 7, 6, 5.

    Последовательности можно рассмотреть как множество всех возможных замкнутых фигур с количеством точек, равным основанию системы счисления — 1, начиная с правильного n-угольника. Исключением является множитель, который не является взаимно простым с основанием системы счисления — 1, в данном случае это 3 и 6.

    Для нахождения последовательности любой линии можно записать формулу:

    Если записать эти значения как множество пересечений всех множителей, мы получим в результате ведический квадрат.

    Ведический квадрат для десятичной системы счисления.

    Ведический квадрат для десятичной системы счисления.

    Подмножество данного ведического квадрата формирует собой латинский квадрат. Чтобы получить его, нужно вычеркнуть элементы, равные основанию системы счисления — 1.

    Приведение ведического квадрата к латинскому квадрату в десятичной системе счисления.

    Приведение ведического квадрата к латинскому квадрату в десятичной системе счисления.

    В результате мы получим:

    Подмножество ведического квадрата, составляющее латинский квадрат в десятичной системе счисления.

    Подмножество ведического квадрата, составляющее латинский квадрат в десятичной системе счисления.

    Если переставить некоторые из его строчек местами, мы получим последовательность циклических чисел. О том, каким образом должны быть осуществлены перестановки строчек, будет рассказано ниже при исследовании других операций с цифровым корнем.

    Ниже приведена ещё одна картинка ведических квадратов для систем счисления 100 и 1000. Белым отмечены самые большие значения клеток — соответствующие основанию системы счисления — 1, черным — самые маленькие, соответствующие 1.

    Ведические квадраты для систем счисления 100 и 1000.

    Ведические квадраты для систем счисления 100 и 1000.

    Теперь вернемся к произведению. Цифровой корень произведения одиночных цифр в заданной системе счисления вычисляется при помощи соответствующего ведического квадрата.

    Для вычисления цифрового корня произведения двух чисел, которые содержат больше одной цифры, для начала нужно вычислить цифровой корень каждой из этих цифр, и после этого воспользоваться ведической площадью.

    Операция деления

    Рассмотрим те числа, которые дают при делении непериодические дроби, это 2, 5, 4, 8.

    Для того чтобы быть уверенными, что мы не допускаем ошибок, воспользуемся уже выведенными правилами и умножим результат деления на 1000; так как цифровой корень 1000 равен 1, то произведение будет иметь тот же самый цифровой корень.

    Таблица деления для делителей, которые взаимно просты с десятичной системой счисления.

    Таблица деления для делителей, которые взаимно просты с десятичной системой счисления.

    Тут бросаются в глаза несколько закономерностей. Число 9 не только при умножении, но и при делении приводит к значению цифрового корня, равному 9. Интересное происходит также с числами 3 и 6, эти числа как при умножении, так и при делении дают абсолютно одинаковые значения цифрового корня.

    Запишем в таблицу череду делений:

    2) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 5

    4) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 7

    5) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 2

    8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9] — Эта последовательность встречалась в множителе 8

    Операция деления для цифрового корня определена только для делителей, которые не являются взаимно простыми с основанием системы счисления.

    Операция возведения в степень

    Таблица возведения в степень:

    Таблица возведения в степень в десятичной системе счисления.

    Таблица возведения в степень в десятичной системе счисления.

    Здесь мы можем наблюдать цикличность.

    При внимательном рассмотрении других систем счисления можно сделать вывод, что эта череда связана с формированием остатков от деления, и таким образом она связалась с моим любимым классом простых чисел — full reptend prime.

    Для того чтобы пояснить это, рассмотрим операции возведения в степень в других системах счисления. Забегая вперед, скажу: наиболее интересными будут являться такие степени счисления, которые равны p^n + 1, где p — это простое число, а n — натуральное.

    Рассмотрим систему счисления 8, череда его значений будет равна [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Именно такие же остатки от деления мы получаем при делении числа в десятичной системе счисления.

    Деление 1 на 7 в столбик. Здесь мы можем наблюдать остатки от деления [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Деление 1 на 7 в столбик. Здесь мы можем наблюдать остатки от деления [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Последовательность полученная при возведении в степень, в восьмеричной системе счисления.

    Это свойство связано с тем, что вычисление цифрового корня можно осуществить при помощи альтернативной формулы расчета цифрового корня:

    Ещё визуализации

    Приведём ниже визуализации для операции возведения в степень для разных систем счисления, все они будут связанны с паттернами, образующимися в рациональных дробях 1/P, где P — это full reptend prime.

    Остатки от деления, найденные в 6 системе счисления, связанные с числом 5. Остатки от деления, найденные в 10 системе счисления, связанные с квадратом числа 3. Остатки от деления, найденные в 12 системе счисления, связанные с числом 11. Остатки от деления, найденные в 14 системе счисления, связанные с числом 13. Остатки от деления, найденные в 18 системе счисления, связанные с числом 17. Остатки от деления, найденные в 20 системе счисления, связанные с числом 19. Остатки от деления, найденные в 26 системе счисления, связанные с квадратом числа 5. Остатки от деления, найденные в 28 системе счисления, связанные с кубом числа 3.

    Теперь приведём несколько картинок из ведических квадратов, принцип их формирования очень прост, потому ограничимся небольшим количеством:

    Замкнутая фигура из 6 системы счисления, связана с числом 5. Замкнутые фигуры из 8 системы счисления, связанные с числом 7. Замкнутые фигуры из 12 системы счисления, связанные с числом 11.

    Образование циклических чисел при помощи ведической площади и остатков от деления

    После того как мы получили латинский квадрат из ведического квадрата, пронумеруем его строки последовательно:

    Пронумерованный латинский квадрат.

    Пронумерованный латинский квадрат.

    Теперь мы можем переставить строки на основании череды остатков от деления, таким образом мы получим последовательность циклических чисел. Напомню, остатки от деления были равны [1, 3, 2, 6, 4, 5]. В результате у нас получится следующая картина:

    Перестановки в пронумерованном латинском квадрате, в результате мы получили циклическое число.

    Перестановки в пронумерованном латинском квадрате, в результате мы получили циклическое число.

    Как можно наблюдать, первый столбец теперь представляет собой циклическое число 142857.

    Выводы

    Несмотря на плохую репутацию нумерологии, операции суммы цифр и цифрового корня имеют пусть не широкое, но всё же практическое применение.

    Например, с помощью цифрового корня можно сформировать множество замкнутых n-вершинных звезд, многие из которых очень любят современные рок\метал группы 🙂

    Пентаграмма - в представлении не нуждается :) Уроборос тут не случайно, о нем в следующей статье!Пентаграмма — в представлении не нуждается 🙂 Уроборос тут не случайно, о нем в следующей статье! Tool предпочитают 8 систему счисления, связанную с простым числом 7.Tool предпочитают 8 систему счисления, связанную с простым числом 7. Slipknot тяготеют к десятеричной системе счисления, связанной с квадратом числа 3.Slipknot тяготеют к десятеричной системе счисления, связанной с квадратом числа 3.

    Как можно видеть, многие метал группы тоже любят теорию чисел!

    Но лично я для своей метал группы решил выбрать анимированный логотип, составленный из одновременной визуализации периодических дробей, образованных из 90 рациональных дробей 1/91..90/91:

    Почему я выбрал число 91, которое является произведением 7 и 13? Речь об этом пойдет в следующей статье 🙂

    Если у кого-то есть дополнительная информация об описанных выше понятиях, пожалуйста присылайте её в комментарии, я буду очень благодарен!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *