Точки симметричных относительно абсцисс как это

График функции. Симметричное (зеркальное) отображение.

Этот тип преобразований необходимо проводить в случаем, когда присутствует «минус» перед коэффициентами k_1, (симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k₂ (симметрично отображаем график относительно оси oy). Когда знак «минус» отсутствует, то этот этап пропускается.

Говоря другими словами:

Когда функция принимает вид y = f (-x) выполняем симметричное отражение графика относительно оси ординат (0у).

Когда функция принимает вид y = — f (x) выполняем симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (0х).

Урок по теме "Симметрия на координатной плоскости"

Основные цели урока: тренировать способность к определению координат точек и построению точек по их координатам; выявить взаимосвязь между координатами точек симметричных относительно начала координат и повторить взаимосвязь между координатами точек симметричных относительно координатных осей.

Перед началом урока учитель собирает творческое домашнее задание: на альбомных листах учащиеся оформляли свои рисунки по координатам.

Ход урока

1. Самоопределение к деятельности.

– Я вижу у вас хорошее настроение и боевой настрой. Они нам очень пригодятся. Сегодня у нас пройдёт необычный урок – Морское путешествие. Дело в том, что вчера на сайте нашей школы появился сигнал бедствия от Робинзона Крузо. Он просит помочь ему построить парусник, на котором он смог бы вернуться домой. Чтобы спасти его, нам надо преодолеть большое расстояние. Давайте посмотрим на карту нашего путешествия.

Маршрут: Бухта знаний – Залив Исторический – Остров сокровищ – Школа Робинзона Крузо – Мыс Настроения – Бухта знаний.

– Итак, мы отправляемся в путь, но чтобы не сбиться с маршрута, преодолеть все рифы и подводные течения, нам необходимо внимательно следить за координатами нашего корабля. Давайте вспомним, какую тему мы недавно начали изучать? (Координатная плоскость).

– Чтобы преодолеть залив Исторический и не разбиться о его скалистые берега, давайте вспомним как давно появилось понятие координатной плоскости, и кто впервые ввёл его? ( Рене Декарт.)

– Что вам о нём известно? Тогда давайте обратимся к нашей энциклопедии.

– Из чего же состоит координатная плоскость?

Вызвать ученика. (Весь класс помогает: две пересекающиеся под прямым углом прямые – оси абсцисс и ординат, точка их пересечения – начало отсчёта, стрелочки – указывают положительное направление осей, единичный отрезок.) Ученик заполняет маркером пустые места на координатной плоскости. Оценка.

– Сколько углов образовалось при построении координатной плоскости? (четыре) Как они называются? (координатные углы или координатные четверти). Покажите, как они расположены.

Ученик нумерует маркером углы и указывает координаты точек в этих углах схематично с помощью знаков “+” и “-”.

– Как с помощью неравенств записать знаки координат точек в каждом из углов? Ученики обсуждают в парах и предлагают свои варианты, из которых выбирается верный.

– А каким углам принадлежат точки, лежащие на осях координат? (Никаким)

– Молодцы! А кто знает третье название координатных углов? (?)

– Ответить на этот вопрос нам поможет ребус:

– Какое слово зашифровано? (Квадрант). Что оно означает? (?) Снова обратимся к энциклопедии.

Записать новое слово в словарик.

– Мы много говорим о координатной плоскости. А для чего нужна координатная плоскость? (Строить точки по координатам и наоборот – находить координаты точек.)

– Назовите алгоритм построения точки в координатной плоскости. ( На оси абсцисс найти число х и провести через неё вертикальную пунктирную линию, отметить на оси ординат число у и провести через неё горизонтальную пунктирную линию; точка их пересечения и есть искомая точка, которая обозначается заглавной латинской буквой.)

– Молодцы. Я вижу вы хорошо усвоили теоретический материал. Давайте проверим ваши знания на практике. Тем временем мы приплыли к острову сокровищ, где спрятаны сокровища капитана Флинта. С их помощью мы добудем средства на строительство парусника. Приготовьте планшетки и маркеры. Устная работа (фронтально).

• Заполните пропуски в таблице. (дети пишут ответы на планшетках, учитель проверяет и записывает правильные ответы в таблицу на доске)

• Запишите координаты точек, в которых зарыты сокровища капитана Флинта и координатные четверти, в которых они расположены в порядке: синяя, красная, жёлтая.

(Ответы будут поочерёдно появляться на доске)

• Не выполняя построения, запишите координаты точек симметричных данным относительно:

оси абсцисс (синяя)
оси ординат (красная)

– Относительно начала координат (жёлтая)

Последнее задание вызовет затруднение.

– Почему возникло затруднение? (Не умеем строить точки симметричные относительно начала координат)

– Давайте попробуем выйти из этого затруднительного положения.

– Как вы думаете, над какой темой мы сегодня будем работать? (Симметрия на координатной плоскости относительно начала координат).

– Откройте тетради, запишите число, классная работа и тема урока “Симметрия на координатной плоскости относительно начала координат”.

– Как расположены на оси абсцисс числа 0,2 и -0,2? (Равноудалены от начала координат и симметричны относительно начала координат).

– Как расположены на оси ординат числа 0,3 и -0,3? (Равноудалены от начала координат и симметричны относительно начала координат).

– Какой можно сделать вывод? (Точки симметричны относительно начала координат).

– На чём основывался ваш вывод? (Так как первые и вторые координаты симметричны относительно начала координат, то точки симметричны относительно начала координат).

– Чем отличаются координаты точек симметричных относительно начала координат? (Они являются противоположными числами)

– Как в общем виде записать координаты точек симметричных относительно начала координат? Работа в группах – 1 минута.

Учитель выборочно опрашивает учащихся.

В результате приходят к выводу: (x; y) и (– x; – y).

Вывод появляется на доске в виде слайда.

– Запишите их в тетрадь.

– Давайте вернёмся к нашим кладам и отметим координаты точек, симметричных для них.

– Поднимите руку, кто построил верно? Кто допустил ошибку? В чём причина ошибки? (……)

Запишите координаты точек в тетрадь:

– Мы хорошо потрудились, но нам предстоит выполнить очень ответственное задание –строительство парусника. Давайте физически к этому подготовимся.

Расправьте плечи. Вдох. Выдох.

Да – опустить голову вниз, нет – голову назад.

Точка (6;0) – лежит на оси абсцисс – да.

Точка (0; -2) –лежит на оси абсцисс – нет.

Точка (0;0) –начало координат – да.

Ось абсцисс лежит в первой четверти – нет.

Ось ординат лежит в четвёртой четверти – нет.

Да –голову вправо, нет – голову влево.

Сегодня мы изучаем симметрию – да.

Абсциссу точки записывают второй координатой – нет.

Ординату точки записывают первой координатой – нет.

Координаты точки записывают в круглых скобках, через точку с запятой – да.

Мы приближаемся к острову Робинзона Крузо, где нам предстоит построить для него парусник.

– Запишите в тетрадях – самостоятельная работа ( Работа выполняется на миллиметровой бумаге – по вариантам. На листочках изображён один парусник, но в разных координатных четвертях: первый вариант – в первой координатной четверти, второй вариант – во второй).

Самостоятельная работа ( 8-10 мин.):

1. Постройте точки парусника, симметричные данному по заданным координатам

относительно оси ординат.

2. Запишите точки, симметричные точкам флага исходного парусника относительно начала координат в тетрадь.

– Сдайте работу на миллиметровой бумаге.

– Давайте сверим результаты.

– Поднимите руки, у кого такой же рисунок?

– У кого другой? Почему?

– Сравните координаты флага.

Учебник Математика 5 Петерсон Л.Г. Глава 3, параграф 4, п.1 № 177 (а) – построить четырёхугольник по координатам и построить ему симметричный относительно оси абсцисс; № 201 (а или б).

6.7.3. Осевая симметрия

Точки А и А₁ симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

m – ось симметрии.

Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.

Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.

Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l, k и s.

Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые: m, m_1, m₂, m_{3 .}

Задание. Построить точку А₁, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Ох.

Построить точку А₂, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.

Точка А₁(-4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Ох, так как ось Ох перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Ох абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.

Точка А₂(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось Оу перпендикулярна отрезку АА₂ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.

Осевая симметрия

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Осевая симметрия»

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии.

Ещё мы давали такое определение:

Точки и называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая называется осью симметрии.

Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NОN₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

.

.

Заменив отрезок равным ему отрезком , а отрезок – равным ему отрезком , получим, что .

Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N₁.

Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости.

В пространстве осевой симметрией с осью мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси .

Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М₁ с координатами x₁, y₁,z₁, симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ₁, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что и .

То есть , .

Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ₁ даёт нам, то что аппликаты точек М и М₁ равны .

Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства.

Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М₁ будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки и . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .

Получим, что .

Теперь давайте найдём расстояние между точками и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , , при осевой симметрии относительно координатных осей.

Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , , при осевой симметрии относительно оси Ох.

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Точка отобразится в точку .

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.