Неберущиеся интегралы как решать

Неберущиеся интегралы

В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж «сложной» структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются неберущимися.

Итак, интеграл $\int f\left(x\right)dx =F\left(x\right)+C$ относится к неберущимся, если функция $F\left(x\right)$ не является элементарной.

1. Интеграл Пуассона $\int e^{-\frac{x^{2} }{2} } dx =\sqrt{2\pi } \; \Phi \left(x\right)+C$

Функция $\Phi \left(x\right)$ называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике.

Интеграл Пуассона широко применяется в теории вероятности.

2. Интегральный синус $\int \frac{\sin x}{x} dx ={\rm Si}\left(x\right)+C$

3. Интегральный косинус $\int \frac{\cos x}{x} dx ={\rm Ci}\left(x\right)+C$

4. Интегральная экспонента $\int \frac{e^{x} }{x} dx ={\rm Ei}\left(x\right)+C$

5. Интегральный логарифм $\int \frac{dx}{\ln x} ={\rm Li}\left(x\right)+Cx>0$

Этот интеграл нашел свое применение в теории чисел.

6. Интегралы Френеля:

$\int \sin \frac{\pi x^{2} }{2} dx =S\left(x\right)+C \text{ };\text{ } \int \cos \frac{\pi x^{2} }{2} dx =C\left(x\right)+C \text{ };\text{ } \int \frac{\sin x}{\sqrt{x} } dx \text{ };\text{ } \int \frac{\cos x}{\sqrt{x} } dx$

Применяются в физике.

Первooбразные для указанных функций хорошо изучены, для них составлены пoдpобныe таблицы значений для различных значений аргумента .

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. Например, «Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы можно найти, не используя рекомендуемую подстановку , а применив искусственный прием:

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

Вряд ли стоит вычислять интеграл

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

Заметив, что числитель «Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы является производной знаменателя , легко получить:

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции «Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы является также элементарной функцией, говорят, что «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или «его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл «Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы , так как не
существует элементарной функции, производная от которой была бы равна . Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое: значение в приложениях:

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

— интеграл Пуассона (теория вероятностей),

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

— интегральный логарифм (теория чисел),

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

— интегралы Френеля (физика),

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

— интегральные синус и косинус,

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

— интегральная показательная функция.

Первообразные от функции «Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы и других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента .

«Берущиеся» и «Неберущиеся» интегралы

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Помощь студентам в учёбе lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal lfirmal

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Неберущиеся интегралы

Из основных правил дифференцирования следует, что производная произвольной элементарной функции вновь является функцией элементарной. Существенно, что операция нахождения первообразной таким свойством не обладает, т.е. сущеуствуют элементарные функции, первообразные которых не являются элементарными функциями. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции — неинтегрируемыми в конечном виде. Например, $$ \begin \int e^\mathrmx, \int \sin \mathrmx, \int \cos \mathrmx, \\ \int \frac\mathrmx, \int \frac \mathrmx, \int\fracx> – \end $$ «неберущиеся», т.е. не существует такой элементарной функции %%f(x)%%, что %%f'(x)%% равняется одной из перечисленной выше функций.

Все методы интегрирования, рассмотренные в данном разделе, применяемые для нахождения интегралов от элементарных функций, вновь приводят к элементарным функциям. Поэтому указанные «неберущиеся» интегралы не могут быть найдены с помощью методов данного раздела. Однако это не означает, что указанные интегралы не существуют и их невозможно найти.

Неберущиеся интегралы

Неберущимся интегралом называется такой интеграл, который нельзя выразить через простые функции и данные функции неинтегрируемы и поэтому он неизвестен.

Данные неберущиеся интегралы нельзя найти аналитическим методом, лишь только приближенно, воспользовавшись существующими численными методами вычисления определенных интегралов, например, метод Симпсона, метод трапеций, метод прямоугольников

Список неберущихся интегралов:

интегральный синус или интеграл Френеля:

интегральный косинус или интеграл Френеля:

интегральный логарифм:

4. неберущиеся эллиптический интеграл первого рода:

эллиптический интеграл 5. неберущиеся интеграл вероятности или Пуассона (данная функция часто применяется в теории вероятностей для вычисления функции Лапласа):