Что такое непериодическая функция

Свойства функций. График функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

ПРИМЕР 1. Функция y = x 2 (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 2. Функция y = – x 2 (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Монотонные и строго монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

ПРИМЕР 5. Функция y = x 2 (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

ПРИМЕР 6. Функция y = – x 2 (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ПРИМЕР 9. Функции y = x 2 и y = – x 2 являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g1 (x) является четной функцией, а функция g2 (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

Функцию g1 (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g2 (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

Периодические и непериодические функции. Период функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число называют периодом функции y = f (x) , если для любого числа числа x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T , достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T , а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Непериодическая функция f ( t) может рассматриваться как периодическая функция с бесконечным периодом, что позволяет в данном случае использовать указанный метод анализа при помощи ряда. Коэффициент сп становится при этом непрерывной функцией G ( w) частоты со.  [2]

Непериодическая функция может быть представлена на бесконечном интервале с помощью интеграла Фурье.  [3]

Непериодическая функция f ( x) не может быть разложена в ряд Фурье.  [4]

Непериодическую функцию также можно представить в виде ряда Фурье.  [5]

Непериодическую функцию можно рассматривать как предельный лучай периодической, у которой период Т стремится к бесконечности. Дсо между двумя соседними гармониками бу-ет стремиться к dco. Частота k ( a1 гармоники k должна ыть обозначена через со.  [6]

Непериодическую функцию также можно представить в виде ряда Фурье.  [7]

Непериодическими функциями называются все остальные функции, не удовлетворяющие указанному условию.  [8]

Рассматриваемая здесь непериодическая функция f ( t) ( рис. 16 — 1, в) выражается формулой ( 16 — 3) как совокупность гармонических колебаний бесконечного спектра частот.  [9]

Рассматриваемая здесь непериодическая функция f ( t) ( рис. 16 — 1 в) выражается формулой ( 16 — 3) как совокупность гармонических колебаний бесконечного спектра частот.  [11]

Рассматриваемая здесь непериодическая функция / ( О ( рис. 16 — 1, б) выражается формулой ( 16 — 3) как совокупность гармонических колебаний бесконечного спектра частот.  [12]

Представление непериодической функции в виде совокупности гармонических колебаний позволяет на основании спектральной характеристики судить о распределении энергии в спектре и оценивать значимость отдельных частотных полос этого спектра.  [13]

Для непериодических функций используются другие более сложные алгоритмы. Часто наиболее простым методом разделения непериодических выборок является использование нормальной вероятностной сетки.  [14]

Спектральное представление непериодических функций — интегральное преобразование Фурье.  [15]

Доказательства непериодичности функций

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt $, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt $, то получится, что $\sin(\sqrt+\sqrt)=0$, откуда $\sqrt+\sqrt=n\pi$, $1+\sqrt=n\sqrt$, $1+k+2\sqrt=n^2\pi$, $2\sqrt=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.

Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Основные элементарные функции

Любую функцию можно изобразить на графике (рисунке) и наглядно определить многие её свойства. Этим пользуются люди, составляя графики движения транспорта, посещения соцсетей или просмотра видеороликов на канале.

Вспомним, что функция – это зависимость одной переменной от другой, а график функции – это представление данной зависимости на координатной плоскости.

С помощью графика функции можно изучать поведение функции: возрастает или убывает, имеет ли нули, на каких промежутках значения положительные, а на каких отрицательные, наибольшее и наименьшее значение, является ли симметричной относительно OY.

Теперь давайте рассмотрим основные элементарные функции.

Что же такое линейная функция?

Линейная функция – это функция вида y=kx+b, где k и b – известные числа, графиком которой является прямая.

y = kx + b, где
k – коэффициент
b – свободный член
x – переменная

С линейной функцией мы встречаемся, когда оплачиваем проезд в общественном транспорте.

Коэффициент и переменная определяют стоимость билета в зависимости от дальности поездки. Свободным членом может выступать доплата за комфортное место или за поезд-экспресс.

Пункт назначения Станция 200 км Станция 300 км Станция 400 км
Цена поездки в обычном вагоне (kx) 500 руб. 750 руб. 1000 руб.
Цена за вагон “Люкс” (kx + b) 750 руб. 1000 руб. 1250 руб.

Рассмотрим пример такой функции и ее график:
y = 2x + 3

Составим таблицу значений.

Теперь отметим найденные точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Полученный нами график является графиком данной линейной функции.

Также можно составить уравнение линейной функции самостоятельно при наличии графика.

Коэффициент b – это длина отрезка по оси OY, на который происходит сдвиг от начала координат (может быть отрицательным, если пересечение графика с осью Y в точке с отрицательным значением).

На графике найдем сначала коэффициент b , после определим координаты двух произвольных точек прямой и вычислим коэффициент k.

Подставим найденные коэффициенты в формулу линейной функции и получим
\(y = \fracx + 2\)

Свойства линейной функции:

  1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
  2. Область значений функции: E(y) = (-∞; +∞)
  3. Наименьшего и наибольшего значения не существует.
  4. Непериодическая.
  5. Возрастает при k > 0, убывает при k < 0.

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция вида y = ax 2 , где a – известное число и a ≠ 0, графиком которой является парабола.

y = ax 2 , где
a – известное число
a ≠ 0
x – переменная

Для примера построим график функции y = 2x 2

Параболой можно описать полет мяча в баскетбольную корзину.

Какой вид имеет парабола в зависимости от коэффициента a ?

При a > 0 – ветви параболы вверх

При a < 0 – ветви параболы вниз

Сдвиг параболы по оси Y

При c > 0 – сдвиг параболы вверх

При c < 0 – сдвиг параболы вниз

Сдвиг параболы по оси X

При n > 0 – сдвиг параболы вправо

При n < 0 – сдвиг параболы влево

Свойства квадратичной функции:

  1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
  2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
  3. При a > 0 – наименьшее значение y = 0.
    При a < 0 – наибольшее значение y=0.
  4. Непериодическая.
  5. На (-∞; 0] – убывает при a > 0 и возрастает при a < 0.
    На [0; +∞) — убывает при a < 0 и возрастает при a > 0.
  6. Нуль функции x=0.
  7. Четная (симметричная относительно OY).

Функция обратной пропорциональности

Функция обратной пропорциональности – это функция вида y = \(\frac\), где k – известное число и k ≠ 0, графиком которой является гипербола.

\(y = \frac\), где
k – известное число
k ≠ 0
x – переменная

Рассмотрим пример такой функции \(y = \frac\)

Как коэффициент k влияет на расположение гиперболы?

Гипербола при k > 0 – в первой и третьей плоскостях

Гипербола при k< 0 – во второй и четвертой плоскостях

Гипербола может также двигаться по оси X или по оси Y

Движение графика по оси Y

\(y = \frac+ n\) при k> 0

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно сделать вывод, что n = 3.

Движение графика по оси X

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

По графику выше можно сделать вывод, что c = 3.

Свойства функции обратной пропорциональности:

  1. Область определения: D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
  2. Область значений функции: E(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
  3. Наименьшего и наибольшего значений не существует.
  4. Непериодическая.
  5. При k > 0 убывает на (-∞;0) и (0; +∞).
    При k < 0 возрастает на (-∞; 0) и (0; +∞).
  6. Нулей нет.
  7. Нечетная.

Где же в реальной жизни мы можем встретить эту функцию?

Самый простой пример – движение автомобиля: чем выше его скорость, тем меньше времени потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня – это функция вида \(y = \sqrt\), где x ≥ 0 .

\(y = \sqrt\), где
x – переменная
x ≥ 0

В жизни такая функция часто используется для определения стороны квадрата при известной площади. Например: при проектировании дома или разбиения участка земли на квадраты.

Рассмотрим график такой функции.

Какие бывают сдвиги функции квадратного корня?

Сдвиг по оси Y

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно утверждать, что n = -2.

Сдвиг по оси X

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

Сделаем вывод, что для рисунка выше c = -2.

Свойства функции квадратного корня:

  1. Область определения: D(y) = [0; +∞)
  2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
  3. Наименьшее значение при y = 0.
  4. Непериодическая.
  5. Возрастает на всей области определения.
  6. Нуль функции x = 0.

Фактчек

  • Линейная функции y = kx + b.
  • Квадратичная функции y = ax 2 .
  • Функция обратной пропорциональности \(y = \frac\).
  • Функция квадратного корня \(y = \sqrt\).

Термины

Элементарная функция – это функция вида y = f(x) , где f(x) – это формула, содержащая конечное число арифметических операций.

Парабола – это незамкнутая линия, точки на которой равноудалены от оси ординат.

Проверь себя

Задание 1.
Определите какая из функций является линейной

  1. \(y = 2x^2 + \frac\)
  2. \(y = \sqrt\)
  3. \(y = \fracx + 3\)
  4. \(y = \frac\)

Задание 2.
Определите какая из функций является квадратичной

  1. y = 4(x — 1) 2
  2. y = 2x + 11
  3. \(y = \frac+ 1\)
  4. \(y = \sqrt + 3\)

Задание 3.
Определите какая функция является обратной пропорциональностью

  1. \(y = \frac+ 5\)
  2. \(y = \frac\)
  3. \(y = \sqrt\)
  4. y = x 2

Задание 4.
Определите какая функция является функцией квадратного корня

  1. y = x 2
  2. \(y = \sqrt — 4\)
  3. \(y = 6x + \frac\)
  4. y = 2x 2 + 3

Задание 5.
В какую сторону будет сдвиг у параболы y = (x + 4) 2 ?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *