Сколько рукопожатий сделают 9 человек

девять друзей пожали друг другу руки сколько всего было рукопожатий, решение плиз по действиям

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Решите экономическую задачу.

Для ужина Насте надо купить пачку макарон, литр апельсинового сока, 300

300 граммов сыра и 10

10 ароматизированных свечек. Настя хочет купить весь набор в одном магазине. Ознакомьтесь с условиями покупки товаров в различных магазинах и ответьте на вопросы.

Магазин «Ух»Магазин «Ах»Магазин «Ох»Макароны продаются в пачках, каждая стоит 100

100 монет. При покупке более 5

5 пачек – скидка 50 %.

Апельсиновый сок продаётся в упаковках по пол-литра и стоит 40

40 монет за упаковку.

Сыр продаётся на развес, можно выбрать любое его количество. Стоимость сыра – 500

500 монет за килограмм.

Комплект из двух ароматизированных свечек стоит 5

5 монет.Макароны продаются в пачках, каждая стоит 80

Апельсиновый сок продаётся в упаковках по полтора литра и стоит 100

100 монет за упаковку.

Сыр продаётся в упаковках по 100

100 граммов и стоит 30

30 монет за упаковку.

Ароматизированные свечки стоят по 2

2 монеты за штуку. При покупке 4

4 свечек одна достаётся бесплатно.Макароны продаются в пачках, каждая стоит 90

Апельсиновый сок продаётся в литровых упаковках и стоит 70

70 монет за упаковку.

Сыр продаётся в упаковках по 500

500 граммов и стоит 300

300 монет за упаковку.

10 ароматизированных свечек стоит 30

Если общая сумма покупки без учёта скидки превышает 400 монет, применяется скидка 10 %.

В каком магазине Насте выгоднее всего приобрести всё необходимое для ужина?

Сколько монет потратит Настя при покупке в этом магазине?

Сколько монет сэкономила бы Настя, если бы решила покупать товары по самым низким ценам в разных магазинах?

1 Укажи пары равносильных уравнений

a. 3х – 6 = 0 и 3х=6

b. 5(х+2) = 20 и х+2=5

c. 7х : 9 = 4 и 5+2х = 5

d. 2х +4 =7 и 5 + 2х = 2

a

b

c

d

2Даны уравнения: Какие из уравнений имеют единственный корень?

a

b

c

d

e

f

g

3 Даны уравнения: Какие из уравнений не имеют кореней?

a

b

c

d

e

f

g

4Выбрать записи, являющиеся уравнением:

a

b

c

d

5. Даны уравнения: Какие из уравнений имеют бесконечное множество корней?

a

b

c

d

e

f

g

6 . Завершить высказывание: корнем уравнения ах = 26 является число 1/3, если а=

7 Выбрать уравнения, корнем которых является число 5

a

b

c

d

8 При решении уравнения коэффициент при х оказался стертым. Восстановите его.

Урок алгебры по теме "Элементарные факты теории графов. Лемма о рукопожатиях". 9-й класс

Назад Вперёд

Цели урока:

  • образовательные: передать систему математических знаний по теме «элементарные факты теории графов», выработать умения решать основные типы математических задач, связанные с графами, формировать умения анализировать, выдвигать гипотезы и предположения, строить доказательства, переносить знания в новые ситуации;
  • развивающие: создать условия для развития следующих компетенций:
    1. уверенность в себе;
    2. самостоятельность мышления, оригинальность;
    3. критическое мышление;
    4. готовность работать над чем-либо спорным и вызывающим беспокойство;
    5. способность принимать решения;
    6. персональная ответственность;
    7. способность слушать других людей и принимать во внимание то, что они говорят;
  • воспитательные: воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Дидактическое обеспечение:

  • Презентация Power Point, карточки для рефлексии.

Время занятия: 1 урок (45 минут).

Ход урока.

I. Организационный момент (приветствие, постановка цели урока, заполнение журнала в части указания отсутствующих на уроке).

Слайд 1.

II. Историческая справка. Мотивация.

Итак, как вы все знаете, 1ая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Ещё в 1736 году в одном из своих писем итальянскому математику и инженеру Мариони он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов. Но при решении этой задачи сам Эйлер не использует термин «граф». Только через 200 лет, в 1936 году, этот термин был предложен венгерским математиком Денешом Кёнигом в его работе «Теории конечных и бесконечных графов». В начале 20 века наряду с термином «граф» употреблялись и другие: карта, комплекс, диаграмма, сеть, лабиринт и т.п. В настоящее время, термин «граф» считается устоявшимся, хотя в прикладной математике, наряду с ним употребляется и термин «сеть» (сети Петри, нейронные сети и т.д.).

Слайд 2.

Я предлагаю рассматривать тему сегодняшнего занятия через призму задач.

III. Актуализация знаний и их практическое применение.

Давайте рассмотрим достаточно известную задачу о космическом сообщении (была использована в программе летней школы Дилемма – 2010 для 3 группы 6 класса, г.Казань, приведена в [3], [4]): между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?.

Слайд 3.

Собственно, при решении этой задачи возникают понятия графа (определим неформально так схему, состоящую из точек и соединяющих эти точки отрезки прямых или кривых), его вершин и ребер. В приведенном примере также применяется связность (в данной задаче получаем граф, состоящий из двух несвязных компонент). По ходу решения прошу учащихся озвучить соответствующие определения. Именно наглядное представление условий задачи в виде графа позволяет сразу дать ответ о невозможности сообщения между Землей и Марсом.

Следующая задача о конях известна в различных вариациях и была использована в программе летней школы Дилемма – 2010 для учащихся 1, 2 групп 6 класса, г.Казань, а также приведена в [1], [3], [4] книгах. Сформулируем ее следующим образом: В углах доски 3´3 стоят четыре коня: сверху белые, снизу черные. Можно ли их переставить за несколько ходов так, чтобы одноцветные кони стояли в противоположных углах доски?

Слайд 4.

При решении этой задачи «всплывает» такое понятие, как изолированная вершина, т.е. вершина, из которой не исходит ни одного ребра. Это 5ая клетка доски. Для решения задачи это понятие не используется. Здесь мы опять-таки используем понятие связности графа, соответствующего условию задачи: он является несвязным и состоит из двух «частей», одна из которых является изолированной вершиной. Движение коней возможно только по вершинам графа, соединенным ребрами. И, т.к. разноцветные кони не могут «перешагнуть» друг через друга (не возможно разместить в одной клетке доски два коня одновременно), то получаем отрицательный ответ на вопрос задачи.

Следующая задача о расстановке чисел приведена в [3], [4]: можно ли выписать в ряд цифры от 0 до 9 так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих цифр делилась либо на 5, либо на 7, либо на 13?

Слайд 5.

Данная задача – яркий представитель еще одного класса задач, в которых можно использовать графы: задачи на расстановки чисел или каких-то других элементов в определенном порядке.

Решение. За вершины графа примем цифры 0, 1, 2, …, 9. Если сумма двух рядом стоящих цифр делится либо на 5, либо на 7, либо на 13, то соединим соответствующие вершины ребром. Получим граф.

Перебором находим одно из возможных решений: 0 – 7 – 3 – 4 – 6 – 1 – 9 – 5 – 8 – 2.

Обратить внимание учащихся, что приведённый ответ не является единственным.

Задачи о дорогах между 100 городами и о количестве песен взяты из [1], [3], [4] и решаются они по одному и тому же принципу.

Слайд 6.

Задача о дорогах между 100 городами. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

Задача о количестве песен на концерте. На концерте каждую песню исполняли двое артистов, и никакая пара не выступала вместе более одного раза. Всего было 12 артистов, каждый выступил по 5 раз. Сколько песен было спето?

Считать ребра графа легче, чем дороги или песни: ребра можно нарисовать, разрезать на части (т.е. рассмотреть их концы) и т.п. Именно свойство наглядности и обуславливает широкое распространение графов.

В обеих задачах этого слайда возникает понятие степени (или порядка) вершины, т.е. количества ребер, исходящих из этой вершины. В соответствии с этим понятием вершины делят на четные и нечетные.

Следующая задача о дорогах между 15 городами [1], [5], [6] с неявным использованием понятия «степень вершины» сформулирована следующим образом: В стране 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее чем с семью другими. Докажите, что из любого города можно добраться в любой город (возможно, проезжая через другие города).

Слайд 7.

При доказательстве обратить внимание учащихся на тот момент, что чертить граф не всегда удобно (слишком много вершин), но можно представить его мысленно.

Следующая задача «на 10 девчонок по статистике 9 рябят»: на дискотеке каждый мальчик танцевал ровно с десятью девочками, а каждая девочка – ровно с девятью мальчиками. Кого больше: мальчиков или девочек?

Слайд 8.

Если эту задачу из [4] книги переформулировать в равносильную, но с другим сюжетом, то решение становится очевидным: к празднику было куплено несколько тортов, и каждый был разрезан на 9 кусков. Каждому пришедшему досталось по 10 кусков. Чего было меньше: тортов или пришедших? Здесь сразу ясно, что каждому досталось по 10/9 торта, то тортов было больше.

Решение следующей задачи предлагаю сама, для того, чтобы подвести учащихся к формулировке и доказательству леммы о рукопожатиях.

Задача: Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько рукопожатий было сделано?

Слайд 9.

Решение. Пусть каждому из 5 молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию – ребро графа, соединяющее соответствующие вершины.

В построенном графе ровно 10 ребер, которые и соответствуют 10 рукопожатиям.

На самом деле задачу о рукопожатиях из [2] проще решить исходя из логических соображений: всего 5 человек и каждый пожал руку 4ым, но ведь если один пожал руку другому, то и другой пожал руку первому, т.е. число рукопожатий равно 5·4:2 = 10.

Применительно к теме «Графы», при разборе данной задачи полезно записать сначала понятия неполного и полного графа. Графы, в которых построены не все возможные ребра называются неполными. Во всех рассмотренных ранее задачах речь шла о неполных графах. Если же в графе для любой вершины найдется ребро, соединяющее эту вершину со всеми другими, отличными от данной, то такой граф считается полным. Если данную задачу переформулировать в равносильную на языке графов, то требуется узнать число ребер в полном графе из 5 вершин.

Из рассмотренной задачи о рукопожатиях естественным образом возникает обобщение на полный граф из n вершин. Число ребер в нем выражается приведенной формулой.

Слайд 10.

Кроме того, рассмотрим и некоторые очевидные закономерности для графов [2], [4].

  • Количество ребер в полном графе с n вершинами определяется как число неупорядоченных пар, составленных из n точек без повторений, т.е. число сочетаний без повторений из n элементов по 2: .
  • Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая на 1 меньше числа вершин этого графа.
  • Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа (закономерность справедлива для любого графа, не только полного, и носит название леммы о рукопожатиях).
  • Число нечетных вершин любого графа четно (следствие из леммы о рукопожатиях).

А теперь будем решать задачи с использованием приведенных закономерностей.

Слайды 11 – 24.

Рассмотрим задачу о вассалах короля из [1], [6]: у короля 19 баронов-вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассального баронства 1, 5 или 9 соседних баронств?

Решение базируется на том факте, что при построении графа, соответствующего условиям задачи получаем противоречие со следствием леммы о рукопожатиях о четном количестве нечетных вершин графа.

Задача: докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь ребер.

Доказательство. Если у многогранника 4 вершины, то это тетраэдр, имеющий 6 ребер (каждая из 4·3:2=6 пар вершин соединена не более, чем одним ребром).

Пусть число вершин многогранника n ³ 5. В каждой вершине многогранника сходится по крайней мере три грани, т.е. из каждой вершины многогранника выходит не меньше, чем 3 ребра.

Значит всего ребер не меньше, чем , что и требовалось доказать.

При решении задачи о 9 отрезках на плоскости из [2], [6], как и в задаче о вассалах короля используется следствие леммы о рукопожатиях.

Задача: Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Решение. Построим граф, 9-тью вершинами которого будут отрезки. Две вершины соединим ребром только в том случае, если соответствующие отрезки пересекаются, т.е. степень каждой вершины по условию задачи должна равняться 3. Но ранее доказали, число нечетных вершин любого графа четно.

Ответ: нет, не возможно.

Задача о мышах: в норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?

При решении задачи о мышах из [6] используются не только логические рассуждения, но и признак делимости на 3.

Задача об абонентах в системе связи с некоторыми модификациями приведена в [2], [6]: В системе связи, состоящей из 2013 абонентов, каждый абонент связан ровно с n другими. Определите все возможные значения n.

Для решения этой задачи используется понятие степени вершины и лемма о рукопожатиях.

Задача: Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? (Укажите все возможные решения)

В задаче о друзьях Пети из [6] используется в неявном виде понятие степени вершины. В ходе решения этой задачи обнаруживается факт о возможности двух различных случаев, приводящих к разным ответам. Так как ситуации равновозможные, то в ответ записывает оба случая.

Задача: на плоскости нарисовано несколько точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что из каждой точки выходит не более k отрезков. Докажите, что точки можно покрасить в k + 1 цвет таким образом, чтобы любые две точки, соединенные отрезком, были покрашены в разные цвета.

В задаче о покраске точек [1], [6] используем индукцию.

И последняя задача на сегодня из [1], [6] имеет уровень сложности 6 из 7. Для ее решения необходимо будет использовать понятие степени вершины и лемму о рукопожатиях.

Задача: Гидры состоят из голов и шей (любая шея соединяет ровно две головы). Одним ударом меча можно снести все шеи, выходящие из какой-то головы A гидры. Но при этом из головы A мгновенно вырастает по одной шее во все головы, с которыми A не была соединена. Геракл побеждает гидру, если ему удастся разрубить ее на две несвязанные шеями части. Найдите наименьшее N, при котором Геракл сможет победить любую стошеюю гидру, нанеся не более, чем N ударов.

Решение. Перейдем к графу, в котором головы – вершины, шеи – ребра, а удар по шеям, выходящим из головы A назовем инвертированием вершины A.

Тогда, если есть вершина X степени не больше 10, то достаточно инвертировать ее соседей, и она отделится, т.е. эта вершина не будет соединена с остальными вершинами графа. Если есть вершина, соединенная со всеми вершинами, за исключением n (n £ 9 ), то нужно инвертировать сначала эту вершину, а затем те n вершин, с которыми она вначале не была соединена, и тогда эта вершина отделится. Если же для каждой вершины есть хотя бы 11 вершин, соединенных с ней, и хотя бы 10, не соединенных с ней, то всего вершин не меньше 22, и ребер не меньше, чем 22·11:2 = 121 > 100.

Приведем пример гидры, которую нельзя разрубить за 9 ударов: две группы по 10 голов и 100 шей, соединяющих все пары голов из разных групп. Заметим, что состояние ребра между вершинами A и B не изменилось (т.е. оно осталось, если было вначале, и не появилось, – иначе) Û вершины A и B отрубали в сумме четное число раз. Поэтому порядок отрубания вершин неважен, и бессмысленно отрубать вершину два раза.

Пусть по этой гидре нанесено не более 9 ударов. Тогда в каждой группе осталось по не отрубленной голове, и поэтому есть шея из одной группы в другую; более того, все не отрубленные головы образуют связное множество.

С другой стороны, каждая не отрубленная голова связана со всеми отрубленными в своей группе. Поэтому, если в каждой части отрублено хотя бы по голове, то гидра осталась связной. Если же все отрубленные головы в одной части, то гидра тоже осталась связной: любая не отрубленная голова в этой части связана со всей другой частью и со всеми отрубленными.

Ответ: 10 ударов.

Если найдется учащийся, сумевший решить эту задачу самостоятельно или с незначительными подсказками, то стоит оценить его положительно сразу же.

V. Домашнее задание.

К следующему уроку придумайте и решите по 3 задачи каждый на сегодняшнюю тему.

VI. Подведение итогов. Рефлексия.

Я рада, что вы все работали хорошо. А теперь вспомните основные моменты нашего урока.

Чему вы научились во время занятия? Учащиеся отвечают.

Сегодня за работу у доски получают оценки…, а также хочу отметить и поощрить за активную работу устно:…

Ребята, обратите внимание, у вас у каждого есть картинки с жестами. Оставьте перед уходом мне на столе тот, что соответствует вашим ощущениям от урока. Если не стесняетесь, то подпишите свою карточку.


Рисунок 5


Рисунок 6

Упр.723 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Изображение 723. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано.

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Сколькими способами 9 человек могут обменяться рукопожатием

Сколькими способами 9 человек могут обменяться рукопожатиями

Ответ:

8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320

Пошаговое объяснение:

Ну, как-то так

НАЙТИ: График функции.

1) х ≠0 — область определения.

При х> 0 получаем Y=1 — х

1)22+3=25(км/ч)-скорость по течению
2)2,5*25=62,5 (км)-прошел по течению
3)22-3=19(км/ч)-скорость против течения
4)3,2*19=60,8(км)-прошел против течения
5)62,5+60,8=123,3(км) прошел всего теплоход
Ответ:123,3 км

Ответ: 1) в 1 целую 7/18 раза; 2) в 8 раз.

Пошаговое объяснение:

Решение:

Пусть положительное число 1 (единица), тогда:

60% = 0,6 = 3/5 части.

1) (5/6)÷(3/5)=(1 7/18) (раз). В 1 целую 7/18 раза, 5/6 положительного числа больше чем 60% этого числа.

2) (1/6)÷(1/48)=8 (раз). В 8 раз, 1/48 положительного числа меньше 1/6 этого числа.

Задачи комбинаторики.

Чтобы научиться быстро бегать, нужно много бегать. Чтобы научиться хорошо решать сложные задачи, нужно решать много простых задач. И то, и другое надо делать с умом. Последовательно тренировать определенные группы мышц, и постепенно вникать в смысл математических выражений.

Давайте рассмотрим несколько очень простых задач, сравнивая их между собой. Сравнение поможет нам понять и запомнить, как выбрать нужную формулу для подсчёта числа вариантов в той или иной ситуации. А чтобы никто не усомнился в том, что задачи действительно простые, я взяла за основу Сборник тестовых заданий к учебнику Н.Я. Виленкина и др. «Математика. 5 класс». Конечно, для пятиклассников это задания высокого уровня сложности «С», но они справляются. Дело в том, что эти задачи можно решить как простым перебором вариантов, тем быстрее, чем выше уровень обобщения, так и по формулам комбинаторики. Старшеклассникам рекомендую повторить формулы и правила комбинаторики, если вы попали на эту страницу из поисковика, миновав теорию.

Итак,
— внимательно читаем условия 2-ух задач из одной строки таблицы;
— решаем обе задачи любыми доступными способами (желательно не одним);
— открываем ответы нажатием на зеленые кнопки и сравниваем их со своими ответами;
— открываем решения и комментарии к ним нажатием на желтые кнопки.

Помните, что ваше решение не обязательно должно совпадать с моим, достаточно, чтобы оно было логичным и позволяло получить верный ответ.

Задачи и решения.

Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось
6·5 = 30 карточек.

В одном рукопожатии равноправно участвуют два человека. 6 друзей объединялись в группы по 2 без учёта порядка следования. Такие группировки (выборки) называются сочетаниями. Число сочетаний определяем по формуле
С6 2 = 6!/2!/(6 — 2)! = 6!/2!/4! = 5·6/2 = 15.
о вычислениях подробнее

Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.
С9 2 = 9!/2!/(9 — 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.

Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек — 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)

Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле
А9 2 = 9!/(9 — 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.
о формуле подробнее

Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле
P6 = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.

Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков («готовите стулья») и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов («рассаживаете гостей»). Число перестановок из 5 определяем по формуле
P5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования — сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.
С5 2 = 5!/2!/(5 — 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.

На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования — размещения. Число размещений определяем по формуле
А10 3 = 10!/(10 — 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.

Задача 5a Задача 5b В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить? Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?

Выбираем три блюда: первое, И второе, И третье. Едим каждое блюдо отдельно (независимо друг от друга). Следовательно, можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Из 2-ух первых блюд одно можно выбрать 2-мя способами, из 6-ти вторых одно можно выбрать 6-тью способами, из 4-ёх третьих одно — 4-мя способами.
2·6·4 = 48.

Чем отличается салат от описанного ранее обеда? Обед едим последовательно, а салат перемешиваем. Выбранные овощи в салате равноправны, очередность их попадания в общее блюдо не важна. Значит наши выборки это сочетания из 6 по 3.
С6 3 = 6!/3!/(6 — 3)! = 6!/3!/3! = (4·5·6)/(1·2·3) = 20.

Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми — 7-ю способами. Применяем правило умножения
4·7 = 28.

Выбираем одну ручку И два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из 4-ёх можем выбрать 4-мя способами, два блокнота из 7-ми — ? способами.
Чтобы определить сколько способов выбора 2-ух блокнов из 7-ми, воспользуемся формулой для числа сочетаний, т.к. для нас несущественно в каком порядке это было сделано.
С7 2 = 7!/2!/(7 — 2)! = 7!/2!/5! = 6·7/2 = 21.
Теперь применяем правило умножения
4·21 = 84.

Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди.
P7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.

Задача такая же, как о гостях и стульях, но обратите внимание, насколько быстро растет число вариантов при увеличении числа переставляемых предметов.

На каждом барабане можно выбрать 1-ну цифру из 10-ти 10-тью способами и независимо от других, поэтому применяем правило умножения:
10·10·10·10 = 10000.

Можно также считать, что нужно разместить 10 цифр на 4-ёх местах с повторениями. В комбинаторике существует раздел «Выборки с повторениями» (см. подробнее). В данном случае нам нужна формула для размещений. Число размещений с повторениями определяется как n k , где n — количество элементов для выбора (здесь n = 10 цифр), k — объём выборки или количество возможных повторов одного элемента (здесь k = 4, одна и та же цифра может быть установлена на всех четырех барабанах). Таким образом, искомое число вариантов
10 4 = 10000.

Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
P3 = 3! = 1·2·3 = 6.

Если цифры могут повторяться, то по разрядам их можно размещать независимо от друг от друга. Значит можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Одну цифру из трёх для разряда сотен можно выбрять 3-мя способами, И одну цифру из тех же трёх для разряда десятков — 3-мя способами, И одну из трёх для разряда единиц — 3-мя способами. Общее число вариантов
3·3·3 = 27.

Задача 9a Задача 9b Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 7 и 3? Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).

Трёхзначное число из двух цифр неизбежно будет содержать повторения, поэтому можно воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями, как в задаче 7b. Здесь количество элементов для выбора n = 2 цифры, количество возможных повторов одного элемента k = 3 раза, цифра в трёхзначном числе может повториться трижды, например, 777. Таким образом, искомое число вариантов
2 3 = 8.

Но можно и проще, так как эта задача полностью аналогична задаче 8b. Также используем И-правило, выбирая одну из 2-ух цифр независимо для каждой из трёх позиций,
2·2·2 = 8.

В свою очередь, в задаче 8b можно было воспользоваться формулой для числа размещений с повторениями: 3 3 = 27. Дело в том, что формула как раз выводится с применением И-правила и теми же рассуждениями, какие описаны в решении этих задач.

Классический случай размещений: выбираем из 3-ёх элементов без повторов и размещаем на 2-ух позициях — в разряд десятков и в разряд единиц. Число размещений определяем по формуле
А3 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Искомое число должно оканчиваться цифрой 3, так как 4, 6 и 8 делятся на 2 без остатка. Поэтому позиция единиц у нас уже занята, и остается разместить 3 цифры на 2-ух позициях — десятков и сотен. Число размещений из 3 по 2 определяем по формуле
А3 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Сначала определим, сколько всего можно составить групп из 4-ёх заданных цифр по 3 с учётом порядка следования и без повторений.
А4 3 = 4!/(4 — 3)! = 4!/1! = 1·2·3·4/1 = 24.
Но не все эти группы будут трёхзначными числами. Те из них, которые начинаются с цифры 0, по существу, — двузначные числа.
Сколько таких групп? Если на первом месте стоит 0, то на позициях десятков и единиц располагаются 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Определяем число размещений из 3 по 2
А3 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Вычитая из общего числа вариантов лишние, получим
24 — 6 = 18.

Четными будут числа, оканчивающиеся на 4 ИЛИ на 6. Поэтому подсчитаем количество вариантов, заканчивающихся на одну из этих цифр, а затем воспользуемся правилом сложения (ИЛИ-правилом), чтобы определить общее число вариантов.
Если число оканчивается 4-кой, то на позициях сотен и десятков могут находиться любые 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Число размещений из 3 по 2
А3 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Также получается, если число оканчивается 6-кой: А3 2 = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 = 12.

Так же, как в предыдущем случае рассмотрим отдельно числа, заканчивающиеся 4-кой и 6-кой, а затем воспользуемся правилом сложения вариантов.
Пусть позиция единиц у нас занята цифрой 4. В этот раз в позиции десятков может стоять любая из четырёх заданных цифр (4 варианта) И в позиции сотен любая из этих же 4-ёх цифр (4 варианта), всего 4·4 = 16.
Если число оканчивается на 6, теми же рассуждениями получаем еще 16 вариантов.
Всего 16 + 16 = 32.

Заметим, что не только в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра, но цифры вообще не могут повторяться, иначе задача не имела бы смысла. В число дробей входили бы, например, 2/3, 2/33, 2/333, 2/3333 и т.п. Таких вариантов бесконечное число.
Далее заметим, что текст «с использованием цифр» может быть понят неоднозначно: с использованием всех трёх или с выбором из них. Здесь рассмотрим более общий случай — с выбором. Выборка не может состоять меньше, чем из двух цифр, чтобы хватило и на числитель, и на знаменатель.
Дроби бывают правильные, в которых знаменатель больше числителя, например, 4/23, и неправильные, в которых числитель больше знаменателя, например, 23/4. Таким образом, возможны такие виды дробей */* ИЛИ **/* ИЛИ */**, где звёздочкой обозначено место для одной из заданных цифр. Подсчитаем число вариантов для каждого вида дроби отдельно, а затем сложим результаты в соответствии с ИЛИ-правилом.
Случай */* определяется числом размещений из 3 по 2, так как используем не все заданные цифры и важен порядок следования (например, сравните 4/3 и 3/4).
А3 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Случай */** определяется числом перестановок из 3, так как для такой дроби нужно использовать все заданные цифры. Дроби будут различаться только расположением цифр по позициям.
P3 = 3! = 1·2·3 = 6.
Случай **/* аналогичен предыдущему, также определяется числом перестановок из 3. P3 = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 + 6 = 18.

Если вы получили ответ 12, а не 18, обязательно разберитесь почему. Это иначе понятое условие задачи? Забыты неправильные дроби? Ошибка в комбинаторике?

Комментарии.

O формуле для числа сочетаний.
Как известно, деление может быть обозначено разными символами: __ , /, :
Косую черту и двоеточие удобно использовать для записи формулы в одну строку, что здесь и сделано для экономии места в таблице. Горизонтальную черту используют для записи дроби. Если формулу для числа сочетаний записать дробью, то хорошо видно, как она сокращается.

O формуле для числа размещений.
Формулу для числа размещений иногда записывают дробью с факториалами, а иногда строкой — группой сомножителей. Разумеется, оба варианта переходят друг в друга в результате преобразований. На мой взгляд, обе формулы хорошо запоминаются, первая — потому, что компактнее, вторая — потому, что хорошо произносится: «начинаем с n и записываем m сомножителей».

Выборки с повторениями.
В школьном курсе основное внимание уделяется классическим типам выборок. В комбинаторике также выведены формулы для выборок с повторениями, но в них нет необходимости для решения задач вашего уровня трудности. Достаточно просто разумных соображений и знания основных формул и правил. Привожу здесь формулы для выборок с повторениями только для того, чтобы вы знали о их существовании и при желании могли использовать для проверки своих ответов.

Здесь для сочетаний и размещений k — объем выборки, n — количество элементов множества, из которого выбираем.
Для перестановок n — количество переставляемых элементов, n1, n2, . nk — число повторений. Например, в слове «темперамент» 11 букв (n = 11), буква «т» повторяется дважды (n1 = 2), буква «е» — трижды (n2 = 3) и буква «м» — дважды (n3 = 2). Число возможных перестановок букв в этом слове 11!/2!/3!/2!

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *