Метод элементарных преобразований
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 2) прибавление одной строки (столбца) к другой; 3) перестановка двух строк (столбцов).
Метод элементарных преобразований заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований, учитывая свойства определителей, привести матрицу к треугольному виду.
Пример 2.5. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований, приведя их к треугольному виду:
Пример 2.6. Вычислить определитель:
Решение. Упростим данный определитель, а затем вычислим его:
Пример 2.7.Вычислить определитель .
Решение. Способ 1.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:
Способ 2.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:
Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований, путем приведения его к треугольному виду, является одним из самых распространенных методов. Это связано с тем, что он является основным методом при реализации вычислений определителей на ЭВМ. Точнее он является одной из модификаций метода Гаусса, который обычно используется при решении систем линейных уравнений.
Пример 2.8. Вычислить определитель методом Гаусса:
Решение. Рассмотрим первый столбец и выберем в нем ту строку, которая содержит 1. Если единиц нет, то нужно эту единицу создать при помощи элементарных преобразований: переставляя строки или столбцы, складывая или вычитая их друг с другом, умножая или деля их на какое-либо число (учитывая при этом, конечно свойства определителей). Возьмем за основу вторую строку и получим при помощи ее нули в первом столбце:
После этого на первую строку больше внимания не обращаем. Рассмотрим 2-й столбец. Здесь единиц нет, однако ее можно легко создать, например, если поменять местами 2-й и 3-й столбцы, или если от второй строки отнять четвертую. Далее повторяем предыдущую операцию, т.е. создаем нули во втором столбце:
Сейчас рассматриваем 3-й столбец, в котором уже имеется единица, при этом на первые две строки не обращаем внимание. Переставляем третью и четвертую строки и при помощи отмеченной единицы получаем нули в четвертой и пятой строках третьего столбца:
Осталось рассмотреть четвертый столбец. Вынесем общий множитель четвертой строки, равный 2, за знак определителя и поменяем местами две последние стоки. Далее воспользуемся тем, что 99 кратно 33:
В результате, получилась треугольная матрица. Для того чтобы вычислить определитель, осталось только перемножить элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали. Таким образом, получаем ответ: –2(–1)(–1)×1×33×4 = –264. à
Свойства определителя. Понижение порядка определителя
На втором уроке мы узнаем основные свойства определителя, а также научимся приёмам их эффективного вычисления. Если вы слабо ориентируетесь в теме, пожалуйста, начните с одной из древнейших статей сайта – Как вычислить определитель? Она поможет не только чайникам, но даже тем, кто впервые услышал слово «определитель». Минуло два года с тех пор, когда на сайте было всего десять страничек, и вот, после моего долгого-долгого путешествия в мир матана, всё возвращается на круги своя.
Представьте, что вам нужно вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам строки (столбца). Хотя чего тут представлять – нужно же =) Над ним можно сидеть 5 минут, а можно 2-3 минуты. Или даже в районе одной минуты. Время, которое вы потратите, зависит не только от вашего опыта, но и от знаний свойств определителей. Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат! «Ерунда, чего экономить на спичках, и так всё решим», – скажут некоторые. Допустим. И не допустим оплошностей 😉 Но как быть с достаточно распространённым на практике определителем 4-го порядка? Воевать с этим перцем придётся уже 10-20 минут. И это будет даже не бой, а бойня, поскольку очень велика вероятность вычислительной ошибки, которая «завернёт» вас на второй круг решения. А если определитель пятого порядка? Спасёт только понижение порядка определителя. Да, такие примеры тоже встречаются в контрольных работах.
Материалы данной страницы позволят значительно улучшить вашу технику решения определителей и упростят дальнейшее освоение высшей математики.
Эффективные методы вычисления определителя
В первую очередь коснёмся не свойств определителя, а как раз методов его рационального вычисления. Эти приёмы решения лежат на поверхности и понятны многим, но всё-таки остановимся на них подробнее. Предполагается, что читатель уже умеет достаточно уверенно раскрывать определитель третьего порядка. Как известно, данный определитель можно раскрыть 6 стандартными способами: по любой строке или любому столбцу. Казалось бы, без разницы, ведь ответ получится один и тот же. Но все ли способы одинаково легкИ? Нет. В большинстве случаев есть менее выгодные пути и более выгодные пути решения.
Рассмотрим определитель , который я обильно покрыл татуировками ещё на первом уроке. В той статье мы подробно, с картинками разложили его по первой строке. Первая строка – это хорошо и академично, однако нельзя ли быстрее достичь результата? В определителе есть ноль, и, раскрывая его по второй строке либо по второму столбцу, вычислений заметно поубавится!
Разложим определитель по второму столбцу:
На практике нулевые элементы игнорируются, и запись решения принимает более компактный вид:
Раскройте данный определитель по второй строке, используя укороченную запись.
Решение в конце урока.
Если в строке (либо столбце) два нуля, то это вообще настоящий подарок. Рассмотрим определитель . Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем:
Вот и всё решение!
Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид, например: – в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
Разложим его по первому столбцу:
В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали:
Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например:
Треугольные определители появляются в некоторых задачах линейной алгебры, и их решение чаще всего оформляют именно так.
А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули? Ответ, думаю, понятен. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в свойствах определителя.
Теперь представим, что долгожданные баранки не положены в новогодний подарок. Так давайте же распотрошим нехорошего Санта-Клауса!
Здесь нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь. Данный определитель оптимальнее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. При этом запись решения принимает весьма лаконичный вид:
Резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений:
Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где:
1) нулей побольше;
2) числа поменьше.
Естественно, это справедливо и для определителей высших порядков.
Небольшой пример для закрепления материала:
Вычислить определитель, раскрыв его по строке либо столбцу, используя при этом наиболее рациональный способ
Это пример для самостоятельного решения, оптимальное решение и ответ – в конце урока.
И ещё один важный совет: не комплексуйте! Не нужно «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте!
Свойства определителя
Насчитывается порядка десяти свойств определителя (смотрите учебники, справочники), однако реальное прикладное значение имеют только некоторые из них. И сейчас я попытаюсь в подробной и доступной форме поделиться практическим опытом использования данных свойств.
Рассмотрим старых знакомых первого урока: матрицу и её определитель .
На всякий случай повторю элементарное различие между понятиями: матрица – это таблица элементов, а определитель – это число.
При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется
Примечание: действие подробно разобрано на уроке Действия с матрицами.
Согласно свойству, определитель транспонированной матрицы равен тому же значению: . Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.
В ходу и более простецкая формулировка данного свойства: если транспонировать определитель, то его величина не изменится.
Запишем оба определителя рядышком и проанализируем один важный момент:
В результате транспонирования первая строка стала первым столбцом, вторая строка – вторым столбцом, третья строка – третьим столбцом. Строки стали столбцами, а результат не изменился. Из чего следует важный факт: строки и столбцы определителя равноправны. Иными словами, если какое-нибудь свойство справедливо для строки, то аналогичное свойство справедливо и для столбца! В действительности с этим мы уже давно столкнулись – ведь определитель можно раскрыть как по строке, так равноправно и по столбцу.
Не нравятся числа в строках? Транспонируйте определитель! Возникает только один вопрос, зачем? Практический смысл рассмотренного свойства невелик, но его полезно закинуть в багаж знаний, чтобы лучше понимать другие задачи высшей математики. Например, сразу становится ясно, почему при исследовании векторов на компланарность их координаты можно записать как в строки определителя, так и в столбцы.
Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,
то определитель сменит знак
! Помните, речь идёт об определителе! В самой матрице переставлять ничего нельзя!
Сыграем в кубик-рубик с определителем .
Поменяем первую и третью строку местами:
Определитель сменил знак.
Теперь в полученном определителе переставим вторую и третью строки:
Определитель ещё раз изменил знак.
Переставим второй и третий столбец:
То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный.
Игры играми, но на практике такие действия лучше не использовать. Толку от них особого нет, а вот запутаться и допустить ошибку несложно. Однако приведу одну из немногих ситуаций, когда в этом действительно есть смысл. Предположим, что в ходе решения некоторого примера у вас нарисовался определитель со знаком «минус»:
Раскроем его, скажем, по первой строке:
Очевидное неудобство состоит в том, что пришлось выполнять лишние реверансы – ставить большие скобки, а затем их раскрывать (кстати, крайне не рекомендую выполнять подобные действия «за один присест» устно).
Чтобы избавиться от «минуса», рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. Переставим, например, первую и вторую строки:
Теперь впереди помех нет, можно ехать дальше. Заядлых гонщиков ждёт кирпич: 29.
Выглядит стильно, но в большинстве случаев с отрицательным знаком целесообразнее разбираться другим способом (читайте дальше).
Рассмотренное действие опять же помогает лучше понять, например, некоторые свойства векторного произведения векторов или смешанного произведения векторов.
А вот это уже более интересно:
Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
. Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.
Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».
Встречаем очередного пациента: .
В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество.
Вынесем –1 из первой строки:
Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно. Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато.
Вынесем «минус» из второй строки:
Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца:
Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.
Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:
Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного и полученного определителей (верный ответ: –216).
На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и внесём минус:
Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в заключительном разделе), то, безусловно, стОит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только удлинит запись решения.
Однако если множитель велик, например, 13, 17 и т.п., то его, конечно, по-любому выгоднее вынести. Познакомимся с маленьким монстром: . Из первой строки вынесем –11, из второй строки вынесем –7:
Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на обычном калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или 4-го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется.
Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов
Это пример для самостоятельного решения.
Ещё пара полезных правил:
Если две строки (столбца) определителя пропорциональны
(как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю
Здесь пропорциональны соответствующие элементы первой и второй строки:
Иногда говорят, что строки определителя линейно зависимы. Так как при транспонировании величина определителя не меняется, то из линейной зависимости строк следует и линейная зависимость столбцов.
В пример можно вложить геометрический смысл – если считать, что в строках записаны координаты векторов пространства, то первые два вектора с пропорциональными координатами будут коллинеарны, а значит, все три вектора – линейно зависимы, то есть компланарны.
В следующем примере пропорциональны три столбца (и, к слову, три строки тоже):
Здесь второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице
Перечисленные свойства вполне можно использовать на практике. Но помните, повышенный уровень знаний иногда наказуем 😉 Поэтому, возможно, лучше раскрывать такие определители обычным способом (зная наперёд, что получится ноль).
Следует отметить, что обратное в общем случае неверно – если определитель равен нулю, то из этого ещё не следует, что его строки (столбцы) пропорциональны. То есть линейная зависимость строк/столбцов может быть и не явной.
Существуют и более очевидный признак, когда сразу можно сказать, что определитель нулевой:
Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю
«Любительская» проверка элементарна, раскроем определитель по первому столбцу:
Впрочем, результат не изменится, если раскрыть определитель по любой строке или любому столбцу.
Выжимаем второй стакан апельсинового сока:
Какие свойства определителей полезно знать?
1) Величина определителя не меняется при транспонировании. Свойство запоминаем.
2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы.
3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно). Используем там, где это выгодно.
4) Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
На протяжении урока неоднократно наблюдалась элементарная закономерность – чем больше в строке (столбце) нулей, тем легче вычислить определитель. Возникает вопрос, а нельзя ли нули организовать специально с помощью какого-нибудь преобразования? Можно! Познакомимся ещё с одним очень мощным свойством:
Понижение порядка определителя
Очень хорошо, если вы уже разобрались с методом Гаусса и имеете опыт решения систем линейных уравнений этим способом. Фактически сформулированное ниже свойство дублирует одно из элементарных преобразований.
Чтобы нагулять аппетит раздавим маленького лягушонка:
К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится
Пример: в определителе получим ноль слева вверху.
Для этого вторую строку мысленно либо на черновике умножим на 3: (–3, 6) и к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 3:
Результат записываем в первую строку:
Теперь в том же определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную (мысленно) на –2 (смотрим и считаем снизу вверх):
Результат записываем во вторую строку:
Обратите внимание: при элементарном преобразовании меняется ТА строка, к которой прибавляЮТ.
Сформулируем зеркальное правило для столбцов:
К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится
Возьмём за лапки животное и, используя данное преобразование, получим ноль слева вверху. Для этого мысленно либо на черновике умножим второй столбец на –3: и к первому столбцу прибавим второй столбец, умноженный на –3:
Результат запишем в первый столбец:
И, наконец, в определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный (мысленно) на 2 (смотрим и считаем справа налево):
Результат помещаем во второй столбец:
При элементарном преобразовании меняется ТОТ столбец, к которому прибавляЮТ.
Постарайтесь качественно переварить нижеследующий пример.
Отправим в суп подросшее земноводное:
Задача состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований понизить порядок определителя до второго порядка.
С чего начать? Сначала в определителе нужно выбрать число-«мишень». В качестве «мишени» почти всегда выступает единица либо –1. Смотрим на определитель и замечаем, что здесь даже выбор есть. Пусть числом-«мишенью» будет элемент : 
Примечание: смысл двойных подстрочных индексов можно узнать в статье Правило Крамера. Матричный метод. В данном случае индексы элемента говорят нам о том, что он располагается во второй строке, третьем столбце.
Идея состоит в том, чтобы получить два нуля в третьем столбце: 
Либо получить два нуля во второй строке: 
Во второй строке числа поменьше (не забываем золотое правило), поэтому выгоднее взять именно её. А третий столбец с числом-«мишенью» останется неизменным:
Ко второму столбцу прибавляем третий столбец:
Тут и умножать ничего не пришлось.
Результат записываем во второй столбец:
К первому столбцу прибавляем третий столбец, умноженный (мысленно) на –2:
Результат записываем в первый столбец, раскладываем определитель по второй строке:
Как мы понизили порядок определителя? Получили два нуля во второй строке.
Решим пример вторым способом, организуем нули в третьем столбце: 
Вторая строка с числом-«мишенью» останется неизменной:
К первой строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на –4:
Результат записываем в первую строку:
К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на 3 (смотрим и считаем снизу вверх):
Результат записываем в третью строку, определитель раскрываем по третьему столбцу:
Заметьте, что нет никакой необходимости переставлять строки или столбцы. Элементарные преобразования прекрасно работают как слева направо, так и справа налево. Как сверху вниз, так и снизу вверх.
Вычислить тот же определитель , выбрав в качестве числа-«мишени» элемент . Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и краткие комментарии в конце урока.
Иногда в определителе отсутствует единица либо –1, например: . В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную –1:
Результат записываем в первую строку:
! Внимание: НЕ НУЖНО из первой строки вычитать вторую строку, это значительно увеличивает вероятность ошибки. Только складываем! Поэтому к первой строке прибавляем вторую строку, умноженную –1. Именно так!
Единица получена, чего и требовалось достичь. Далее можно получить два нуля в первой строке либо в первом столбце. Желающие могут довести решение до конца (верный ответ: –176).
Стоит отметить, что готовая «мишень» чаще всего присутствует в исходном определителе, а уж для определителя 4-го порядка и выше дополнительное преобразование крайне маловероятно.
Порубим на гуляш несколько крупных жаб:
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера
Ничего страшного, если вы ещё не успели ознакомиться с методом Крамера, в этом случае можно просто посмотреть, как понижается порядок у определителя «четыре на четыре». Да и само правило станет понятно, если чуть-чуть вникнуть в ход решения.
Решение: сначала вычислим главный определитель системы:
Есть возможность пойти стандартным путём, разложив данный определитель по строке либо столбцу. Вспоминая алгоритм первого урока, и, используя придуманную мной матрицу знаков , раскроем определитель, например, по «классической» первой строке:
Не вижу вашего энтузиазма =) Безусловно, можно посидеть минут десять и аккуратно-внимательно родить правильный ответ. Но беда в том, что в дальнейшем предстоит вычислить ещё 4 определителя четвёртого порядка. Поэтому единственный разумный выход – понизить порядок определителя.
Единиц в определителе много, и наша задача выбрать лучший вариант. Вспоминаем золотое правило: в строке (столбце) нулей должно быть побольше, и числа – поменьше. По этой причине вполне подходит вторая строка либо четвёртый столбец. Четвёртый столбец выглядит привлекательнее, причём, там есть две единицы. В качестве «мишени» выбираем элемент : 
Первая строка не изменится. И вторая тоже – там уже необходимый ноль:
К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –1 (смотрим и считаем снизу вверх):
! Внимание ещё раз: Не нужно из третьей строки вычитать первую строку. Только складываем!
Результат записываем в третью строку:
К четвёртой строке прибавим первую строку, умноженную на 3 (смотрим и считаем снизу вверх):
Результат записываем в четвёртую строку:
(1) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Не забываем, что к элементу нужно добавить «минус» (см. матрицу знаков).
(2) Порядок определителя понижен до 3-го. В принципе, его можно разложить по строке (столбцу), но лучше отработаем свойства определителя. Вносим минус во вторую строку.
(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 7.
(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, тем самым ещё понижая его порядок до двух.
Заметьте, как сократилось решение! Главное, немного «набить руку» на элементарных преобразованиях, и такая возможность представится прямо сейчас. К тому же в вашем распоряжении есть калькулятор, который считает определители (в частности, его можно найти на странице Математические формулы и таблицы). С помощью калькулятора легко контролировать выполняемые действия. Получили определитель на первом шаге – и сразу проверили, равен ли он исходному определителю.
Итак, , значит, система имеет единственное решение.
Появился ещё один ноль и очень вкусно выглядит третья строка. При этом в качестве «мишени» выгоднее выбрать элемент , получив нули в третьей строке: 
Тут даже умножать ничего не надо:
Ко второму столбцу прибавим третий столбец: .
И к 4-му столбцу прибавим третий столбец: (смотрим и считаем справа налево)
(1) Раскрываем определитель по третьей строке. Порядок определителя понижен до трёх.
(2) Вносим «минус» в первый столбец.
(3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 5.
(4) Раскрываем определитель по второму столбцу, понижая порядок определителя до двух.
Так получается, что в рассматриваемых определителях у нас есть нули, в произвольной же задаче их может и не быть. Поэтому для разнообразия оставим нули в покое и раскроем определитель не очень выгодным способом. Выберем элемент и получим нули в первой строке: 
(1) К первому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –3. Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 8. К четвёртому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –1.
(2) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен до трёх.
(3) Ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на 5. К третьему столбцу прибавим первый столбец, умноженный на –2.
(4) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен до двух.
(5) Столбцы определителя пропорциональны, значит, он равен нулю.
Самостоятельно вычислить определители
и найти
Концовка решения и ответ на дне страницы. Ваш путь решения может отличаться от моего пути решения, важно, чтобы совпали ответы.
Выбор строки или столбца для преобразований нередко обусловлен не только числами, но и удобством решения с субъективной точки зрения. Кому-то удобнее решать по строкам, а кому-то по столбцам. У чайников особенно популярен выбор «мишени» в первой строке, поскольку процесс будет напоминать метод Гаусса.
Замечательный получается у нас комплексный обед, и пришло время десерта:
Это уже даже не жаба, это сам Годзилла. Возьмём заготовленный стакан апельсинового сока и посмотрим, как понижается порядок определителя. Алгоритм, думаю, понятен: с пятого порядка понижаем до четвёртого, с четвёртого – до третьего и с третьего – до второго:
(1) К первой, третьей, четвертой и пятой строкам прибавим вторую строку.
(2) Раскрываем определитель по 3-му столбцу. Порядок определителя понизился до четырёх.
(3) Из 4-го столбца выносим 2. Первую строку умножаем на –1, и чтобы определитель не изменился, ставим перед ним «минус». Данное преобразование выполнено в целях упростить дальнейшие вычисления.
(4) Ко второй и третьей строкам прибавим первую строку. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 3.
(5) Раскрываем определитель по 4-му столбцу. Порядок понижен до трёх.
(6) Раскрываем определитель по 2-му столбцу. Порядок понижен до двух.
(7) Выносим «минус» из 1-го столбца.
Всё вышло проще, чем казалось, у всех монстров есть слабые места!
Неутомимые читатели могут попробовать решить определитель пятого порядка каким-нибудь другим способом, благо, единиц в нём тьма.
Заходите, завтра в меню крокодилы!
Решения и ответы:
Задание 1: Решение:
Задание 2: Решение: определитель выгоднее вычислить по третьей строке:
Разложение по первому столбцу менее рационально – там числа больше, и вычисления чуть более громоздкие.
Задание 3: Решение:
(1) Из первой строки вынесли 13, из второй строки вынесли 2, из третьей строки вынесли 5.
(2) Из второго столбца вынесли –7.
(3) Разложили определитель по первому столбцу.
Задание 4: Решение: Понизим порядок определителя, получив нули во второй строке:
К первому столбцу прибавили второй столбец, умноженный на 2. К третьему столбцу прибавили второй столбец. Определитель раскрыли по второй строке.
Понизим порядок определителя, получив нули во втором столбце:
К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. Определитель раскрыли по второму столбцу.
Задание 5: Решение:
(1) К первой строке прибавим третью строку, умноженную на 3. Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на 5. К 4-й строке прибавим третью строку, умноженную на 2.
(2) Раскрываем определитель по первому столбцу.
(3) Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 9. К первому столбцу прибавим третий столбец.
(4) Раскрываем определитель по третьей строке.
(1) К первому столбцу прибавим второй столбец. К третьему столбцу прибавим второй столбец
(2) Раскрываем определитель по третьей строке.
(3) Вносим «минус» в первую строку.
(4) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 6. К третьей строке прибавим первую строку
(5) Раскрываем определитель по первому столбцу.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys
Методы вычисления определителей
При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей . Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя , что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.
I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.
III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.
При помощи элементарных преобразований можно упростить определитель, т.е. привести его к виду, удобному для вычислений.
Метод приведения определителя к треугольному виду
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к верхнему (или нижнему) треугольному виду (метод Гаусса). Отсюда следует, что любой определитель, используя перечисленные выше элементарные преобразования, можно привести к треугольному виду, а затем вычислить согласно п.3 замечаний 2.2.
Итак, метод состоит из двух шагов.
1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.
2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.
Пример 2.12. Вычислить определитель четвёртого порядка
Решение. 1. При помощи элементарных преобразований приведем матрицу к треугольному виду. Взяв элемент первой строки в качестве ведущего, все остальные элементы первого столбца сделаем равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к четвертой строке прибавим первую, умноженную на (-4):
Заметим, что при использовании этих элементарных преобразований III типа определитель не изменяется.
Умножим элементы второй строки на (-1), а элементы третьей строки — на 0,5, при этом, чтобы не нарушить равенство, надо полученный определитель разделить на , т.е. умножить на (-2):
В полученной матрице нужно сделать равными нулю элементы и второго столбца, стоящие ниже главной диагонали. Для этого берем в качестве ведущего элемента и прибавляем к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на 1 и на 7 соответственно:
Осталось сделать равным нулю элемент . К четвертой строке прибавим третью, умноженную на 2 (определитель при этом не изменится):
Получили определитель треугольного вида.
2. Вычислим определитель верхней треугольной матрицы, перемножая элементы, стоящие на главной диагонали :
Метод понижения порядка определителя
Этот метод также основан на элементарных преобразованиях определителя.
1. При помощи элементарного преобразования III типа нужно в одном столбце (или одной строке) сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.
2. Разложить определитель по этому столбцу (строке) и получить определитель меньшего порядка, чем исходный. Если его порядок больше 1, то следует перейти к п. 1, иначе вычисления закончить.
Пример 2.13. Вычислить определитель четвёртого порядка методом понижения порядка.
Решение. 1. В качестве ведущего элемента возьмем , а все остальные элементы второй строки при помощи элементарных преобразований сделаем равными нулю. Для этого ко второму столбцу прибавим четвертый, умноженный на (-3):
2. Разложим определитель по второй строке
Получили определитель третьего порядка.
Вынесем за знак определителя множитель (2) из второго столбца (точнее все элементы второго столбца умножим на 0,5 , а получившийся определитель умножим на 2):
Прибавим ко второму столбцу первый
Полученный определитель разложим по второму столбцу
Получили определитель 2-го порядка.
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2)
Разложим определитель по второй строке и заменим определитель первого порядка единственным его элементом
Результат совпадает с полученным в примере 2.7.
Метод изменения всех элементов определителя
При вычислении определителей бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число. Найдем формулы изменения определителя при этих преобразованиях.
Пусть дана квадратная матрица определитель умножается на число .
Рассмотрим теперь определитель матрицы получены из соответствующих элементов матрицы
Применяя свойство 7 к первому столбцу этого определителя, получаем сумму определителей
То же свойство применяем к каждому определителю ("раскладывая" второй столбец) и т.д. В итоге получим сумму слагаемых: определитель матрицы определителей вида
отличающихся от определителя матрицы
Следовательно, сумма всех таких определителей равна сумме алгебраических дополнений всех элементов матрицы , умноженной на
Окончательно получаем, что при увеличении всех элементов определителя на число
Пример 2.14. Вычислить определитель n-го порядка
Решение. Рассмотрим определитель диагональной матрицы
Искомый определитель получается прибавлением к каждому элементу определителя матрицы числа . Поэтому
Определитель диагональной матрицы
Осталось вычислить сумму алгебраических дополнений всех элементов матрицы при , так как дополнительный минор содержит нулевой столбец). Дополнительный минор диагонального элемента — это определитель диагональной матрицы, т.е.
Вычисление определителей с помощью рекуррентных уравнений
Этот метод заключается в том, что исходный определитель n-го порядка выражается через определители того же вида, но меньшего порядка. Получается рекуррентное уравнение
Решая это уравнение, находим формулу, выражающую определитель через определители и порядок
В последнюю формулу подставляем определители невысокого порядка, которые нетрудно вычислить каким-либо другим способом.
Замечание 2.6. Рекуррентным уравнением называется равенство вида , выражающее n-й член искомой числовой последовательности через . Методы решения таких уравнений рассматриваются в разд.
Пример 2.15. Вычислить определитель n-го порядка
Решение. Разложим определитель по первой строке
Первый из полученных определителей (n-l)-ro порядка обозначим , так как он имеет такой же вид, что и . Разложив последний определитель по первому столбцу, получим определитель того же вида, что и , но (n-2)-го порядка
Следовательно, искомый определитель удовлетворяет рекуррентному уравнению
Решение этого уравнения будем искать в виде , где в уравнение, получаем тождество
Подберем теперь коэффициенты так, чтобы при
Решая систему уравнений получаем . Следовательно, искомый определитель равен
Пример 2.16. Вычислить определитель Вандермонда
Решение. Рассмотрим определитель
который отличается от определителя Вандермонда последним столбцом, но совпадает с ним при . Раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем многочлен (n-1)-й степени действительной переменной
где старший коэффициент равен алгебраическому дополнению элемента
т.е. определителю — определителю Вандермонда (n-l)-ro порядка. Заметим, что при определитель равен нулю, так как он имеет два одинаковых столбца (свойство 4). Следовательно, — корень многочлена . То же самое можно сказать про числа . Все они являются корнями многочлена . Следовательно, этот многочлен имеет вид:
Подставляя в это равенство и учитывая, что , получаем рекуррентное уравнение
Записывая аналогичным образом и учитывая, что , получаем
Таким образом, определитель Вандермонда равен произведению всех разностей при .
12. Элементарные преобразования матрицы
Если размеры матрицы большие, то ранг матрицы вычисляют, пользуясь методом элементарных преобразований. Этот метод является универсальным и используется также для исследования и решения систем уравнений, вычисления определителей и обращения матриц.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие:
Перестановка строк (столбцов) матрицы;
Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;
Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.
Целью элементарных преобразований является приведение исходной матрицы к ступенчатой форме. Матрица называется ступенчатой, если для нее выполняются следующие условия:
Если какая – либо строка матрицы состоит из нулей, то и все последующие строки также состоят из нулей;
Если первый, отличный от нуля, элемент какой – либо строки расположен в одном из столбцов данной матрицы, то все элементы этого столбца, расположенные ниже, являются нулевыми.
Матрица из одной строки считается ступенчатой по определению.
Например, матрица является ступенчатой.
Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.
Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных матриц с нулевыми элементами.
Пример. Приведем к ступенчатому виду следующую матрицу: .
На первом шаге выполним следующие элементарные преобразования над матрицей : к элементам второй строки прибавим элементы первой строки и результат запишем во вторую строку; из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, а результат запишем в третью строку. В итоге матрица преобразуется к виду . На последнем шаге из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на 3, и запишем в третью строку, в результате чего получим ступенчатую матрицу:
Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство. Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комбинацию этих строк и приравняв ее нулевой строке. Покомпонентный анализ этой линейной комбинации показывает, что все числовые коэффициенты при строках, начиная с первой, последовательно обращаются в нули. По определению это означает линейную независимость ненулевых строк. Остальные строки ступенчатой матрицы нулевые, а добавление нулевой строки в систему ненулевых строк превращает новую систему в зависимую систему. Поэтому только ненулевые строки линейно независимы. По следствию 1 теоремы о базисном миноре это означает, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк, что и требовалось доказать.
Теорема (об элементарных преобразованиях).
Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.
Доказательство. При любых элементарных преобразованиях отличный от нуля определитель остается таковым. Поэтому любой найденный базисный минор останется базисным. Миноры более высокого порядка равны нулю и останутся таковыми при любых элементарных преобразованиях. Таким образом, теорема доказана.
На основе трех, приведенных выше теорем, формулируется метод элементарных преобразований: сначала исходная матрица приводится к ступенчатому виду, затем ранг исходной матрицы полагается равным числу ненулевых строк ступенчатой матрицы.
В рассмотренном выше примере матрица была приведена элементарными преобразованиями к ступенчатой матрице, имеющей три ненулевые строки. Это означает, что ранг исходной матрицы равен трем.
Исследуя систему уравнений общего вида, необходимо либо доказать, что она не имеет решений, либо, если она совместна, найти все возможные решения и представить их в компактной и наглядной форме. Для этого систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к более простому виду, позволяющему непосредственно увидеть решения или показать несовместность системы. При этом центральным понятием является равносильность двух систем. Две системы уравнений с одними теми же неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Например, системы и являются равносильными, так как каждая из них имеет одно и то же единственное решение .
Системы и также являются равносильными, поскольку каждая из них не имеет решений (множество решений пусто).
Элементарными преобразованиями системы линейных алгебраических уравнений называют следующие преобразования:
Перестановка местами любых двух уравнений;
Умножение любого уравнения системы на одно и то же число, отличное от нуля;
Сложение любых двух уравнений.
Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе.
Доказательство теоремы следует непосредственно из определения элементарных преобразований системы линейных уравнений общего вида.
Как видно из приведенных определений, элементарным преобразованиям системы полностью соответствуют элементарные преобразования строк так называемой
Расширенной матрицы системы , которая получается из матрицы коэффициентов системы добавлением — го столбца, состоящего из правых частей уравнений системы.