Как из полярной системы координат перейти в декартовую

5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.

О — полюс, ρ — полярный радиус, φ — полярный угол

Переход от полярной системы координат к декартовой

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) ее прямоугольные координаты вычисляются по формулам:

x1=ρ*cosφ

y1=ρ*sinφ

Переход от декартовой системы координат к полярной

6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О’ относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол  (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

x = х’ cos  — y sin ,у = x’ sin  — у’ cos .

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы x = х’ cos  — y sin  + а, у = х’ sin  + y cos  + b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол .

Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе

7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.

Теорема об инвариантности порядка алгебраической линии

Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.

Действительно, пусть в аффинной системе координат уравнение имеет вид (3.4): Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):

где — координаты вектора переноса начала координат , а — элементы матрицы перехода базиса к новому . Подставим эти выражения в одночлен :

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных , степень которого не больше, чем . Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен , степень которого не превосходит степени исходного многочлена . Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.

Полярные координаты

Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат, которая невероятно удобна для решения целого спектра практических задач. И через считанные минуты, не успевши опомниться, вы уже будете уверенно ориентироваться в полярных координатах!

Полярная система координат

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно зафиксировать начало координат и задать единичный координатный вектор . Точка называется полюсом, а луч , сонаправленный с вектором – полярной осью. Графический шаблон – проще некуда, одна точка, один вектор, одна линия:

На практике вместо вектора можно где-нибудь в углу указать масштаб, например: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки). По возможности, старайтесь выбирать именно такую, удобную во многих отношениях метрику.

А теперь сама мякотка:

Полярный радиус и полярный угол точки

Любая отличная от начала координат точка плоскости однозначно определяется своим расстоянием от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком :

Для самого полюса , а угол не определён. Не напоминает ли это вам кое-что из темы Комплексные числа? 😉

Число называют полярным радиусом точки или первой полярной координатой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому полярный радиус любой точки . Первую полярную координату также обозначают греческой буквой («ро»), но я привык к латинскому варианту, и в дальнейшем буду использовать его.

Число называют полярным углом данной точки или второй полярной координатой. Полярный угол стандартно изменяется в пределах (так называемые главные значения угла). Однако вполне допустимо использовать диапазон , а в некоторых случаях и вовсе возникает прямая необходимость рассмотреть все значения угла от нуля до «плюс бесконечности». Рекомендую, кстати, привыкнуть к радианной мере угла, поскольку оперировать градусами в высшей математике считается не комильфо.

Пару называют полярными координатами точки . Из легко найти и их конкретные значения. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету: , следовательно, сам угол: . По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: , значит, полярный радиус:

Различные точки в полярных координатах

Один пингвин хорошо, а стая – лучше :

Отрицательно ориентированные углы я на всякий случай отметил стрелками, вдруг кто-то из читателей ещё не знал об этой ориентации. При желании можно «прикрутить» к каждому из них 1 оборот ( рад. или 360 градусов) и получить, к слову, удобные табличные значения:

Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Предчувствую вопрос: «почему недостаток и зачем вообще нужны какие-то отрицательные углы?» В математике ценятся самые короткие и рациональные пути. Ну а уж с точки зрения физики направление вращения зачастую имеет принципиальное значение – каждый из нас пытался открыть дверь, дёргая ручку не в ту сторону =)

Порядок и техника построения точек в полярных координатах

Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Трудностей не возникает с точками, у которых полярные углы составляют , в нашем примере это точки ; особых хлопот также не доставляют значения, кратные 45 градусам: . Но как правильно и грамотно построить, скажем, точку ?

Потребуется клетчатый листок бумаги, карандаш и следующие чертёжные инструменты: линейка, циркуль, транспортир. В крайнем случае, можно обойтись одной линейкой, а то… и вовсе без неё! Читайте дальше и вы получите ещё одно доказательство, что эта страна непобедима =)

Построить точку в полярной системе координат.

Прежде всего, нужно выяснить градусную меру угла . Если угол малознаком или вас есть сомнения, то всегда лучше воспользоваться таблицей либо общей формулой перевода радианов в градусы. Итак, наш угол составляет (или ).

Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Обладателям круглого инструмента не составит труда отметить 240 градусов, но с большой вероятностью у вас на руках будет полукруглая версия девайса. Проблема полного отсутствия транспортира при наличии принтера и ножниц решается рукоделием.

Откладываем полярный угол с помощью транспортира

Есть два пути: перевернуть листок и отметить 120 градусов, либо «прикрутить» пол оборота и рассмотреть противоположный угол . Выберем взрослый способ и сделаем отметку в 60 градусов:

То ли транспортир лилипутский, то ли клетка гигантская =) Впрочем, чтобы отмерить угол масштаб не важен.

Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку:
Чертим направление полярного угла
С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Берём циркуль и по линейке устанавливаем его раствор в 3 единицы, чаще всего, это, конечно же, сантиметры:
Откладываем полярный радиус с помощью циркуля
Теперь аккуратно устанавливаем иглу на полюс, и вращательным движением выполняем небольшую засечку (красный цвет). Искомая точка построена:
Искомая точка построена
Можно обойтись без циркуля, приложив линейку непосредственно к построенной прямой и отмерив 3 сантиметра. Но, как мы увидим позже, в задачах на построение в полярной системе координат типична ситуация, когда нужно отметить две или бОльшее количество точек с одним и тем же полярным радиусом, поэтому эффективнее закалять металл. В частности, на нашем чертеже, развернув ногу циркуля на 180 градусов, легко сделать вторую засечку и построить симметричную относительно полюса точку . На ней давайте и отработаем материал следующего параграфа:

Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат

Переход от полярных координат к декартовым координатам и наоборот

Очевидным образом присоединим к полярной системе координат «школьную» систему и изобразим на чертеже точку :

Такое присоединение всегда полезно держать в голове, когда выполняете чертёж в полярных координатах. Хотя, волей-неволей оно напрашивается и без лишнего намёка.

Установим взаимосвязь полярных и декартовых координат на примере конкретной точки . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором гипотенуза равна полярному радиусу: , а катеты – «иксовой» и «игрековой» координатам точки в декартовой системе координат: .

Синус острого угла – есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Заодно повторили определения синуса, косинуса (и чуть ранее тангенса) из программы 9 класса общеобразовательной школы.

Пожалуйста, занесите в свой справочник рабочие формулы , выражающие декартовы координаты точки через её полярные координаты – с ними нам придётся столкнуться ещё неоднократно, и в следующий раз прямо сейчас =)

Найдём координаты точки в прямоугольной системе координат:

Полученные формулы открывают ещё одну лазейку в задаче построения, когда можно обойтись вообще без транспортира: сначала находим декартовы координаты точки (понятно, на черновике), затем мысленно находим нужное место на чертеже и отмечаем данную точку. На заключительном этапе проводим тонкую прямую, которая проходит через построенную точку и полюс. В результате получается, что угол якобы был отмерян транспортиром.

Забавно, что совсем отчаянные студенты, могут обойтись даже без линейки, используя вместо неё ровный край учебника, тетради или зачётной книжки – ведь о метрике позаботились производители тетрадей, 1 клетка = 5 миллиметров.

Напомнило мне всё это известный анекдот, в котором находчивые лётчики прокладывали курс по пачке Беломора =) Хотя, шутки шутками, а анекдот не так далёк от реальности, помнится, на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла виднА.

Используя процитированную в начале урока теорему Пифагора, легко получить и обратные формулы: , следовательно:

Сам угол «фи» стандартно выражается через арктангенс – абсолютно так же как и аргумент комплексного числа со всеми его заморочками.

Вторую группу формул также целесообразно поместить в свой справочный багаж.

После подробного разбора полётов с отдельно взятыми точками перейдём к закономерному продолжению темы:

Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «обнаруживает» (прорисовывает) линию.

Хрестоматийная линия – спираль Архимеда

Дежурным примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :

Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне .

В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы здесь рассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

Уравнение вида задаёт исходящий из полюса луч. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс

Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса .

Например, . Для наглядности найдём уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную в предыдущем параграфе формулу , проведём замену:

Возведём обе части в квадрат:

уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

Со времён создания и релиза статьи о линейной зависимости и линейной независимости векторов я получил несколько писем от посетителей сайта, которые задавали вопрос в духе: «вот есть простая и удобная прямоугольная система координат, зачём нужен ещё какой-то косоугольный аффинный случай?». Ответ прост: математика стремится объять всё и вся! Кроме того, в той или иной ситуации немаловажно удобство – как видите, с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .

А иногда математическая модель предвосхищает научные открытия. Так, в своё время ректор Казанского университета Н.И. Лобачевский строго доказал, через произвольную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В результате он был ошельмован всем научным миром, но… опровергнуть данный факт никто не смог. Только спустя доброе столетие астрономы выяснили, что свет в космосе распространяется по кривым траекториям, где и начинает работать неевклидова геометрия Лобачевского, формально разработанная им задолго до этого открытия. Предполагается, что это свойство самого пространства, кривизна которого нам незаметна ввиду малых (по астрономическим меркам) расстояний.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот, я советую более быстрый и наглядный метод решения:

Представьте график косинуса. Если он ещё не успел отложиться в памяти, то найдите его на странице Графики элементарных функций. О чём нам сообщает неравенство ? Оно сообщает нам о том, что график косинуса должен располагаться не ниже оси абсцисс. А это происходит на отрезке . И, соответственно, интервал не подходит.

Таким образом, область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или иное уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла. Для бОльшей ясности к отрицательным значениям я буду «прикручивать» один оборот:

В силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать:

Поточечное построение линии в полярных координатах

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной выше технологии:

В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме. Обе части уравнения искусственно домножаем на «эр»: и используем более компактные формулы перехода :

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение линии к узнаваемому виду:

уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2.

Окружность в полярной системе координат

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией:

Готово. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ? Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции нас ждёт бесконечный бег по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке . Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же , то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Построить линию и найти её уравнение в прямоугольной системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

В первую очередь находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду, чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце урока.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем
и существенно ускорим во второй части лекции, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

Полярная роза

Совершенно верно, речь пойдёт о цветке с лепестками:

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

Существует два подхода к построению полярной розы. Сначала пойдём по накатанной колее, считая, что полярный радиус не может быть отрицательным:

Решение:

а) Найдём область определения функции:

Такое тригонометрическое неравенство тоже нетрудно решить графически: из материалов статьи Геометрические преобразования графиков известно, что если аргумент функции удвоить, то её график сожмётся к оси ординат в 2 раза. Пожалуйста, найдите график функции в первом же примере указанного урока. Где данная синусоида находится выше оси абсцисс? На интервалах . Следовательно, неравенству удовлетворяют соответствующие отрезки, и область определения нашей функции: .

Вообще говоря, решение рассматриваемых неравенств представляет собой объединение бесконечного количества отрезков, но, повторюсь, нас интересует только один период.

Возможно, некоторым читателям более лёгким покажется аналитический способ нахождения области определения, условно назову его «нарезка круглого пирога». Резать будем на равные части и, прежде всего, найдём границы первого куска. Рассуждаем следующим образом: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от 0 до рад. включительно. В нашем примере: . Разделив все части двойного неравенства на 2, получаем искомый промежуток:

Теперь начинаем последовательно «нарезать равные куски по 90 градусов» против часовой стрелки:

– найденный отрезок , понятно, входит в область определения;

– следующий интервал – не входит;

– следующий отрезок – входит;

– и, наконец, интервал – не входит.

Прямо, как по ромашке – «любит, не любит, любит, не любит» =) С тем отличием, что тут не гадание. Да, прямо какая-то любовь по-китайски получается….

Итак, и линия представляет собой розу с двумя одинаковыми лепестками. Чертёж вполне допустимо выполнить схематически, однако крайне желательно правильно найти и отметить вершины лепестков. Вершинам соответствуют середины отрезков области определения, которые в данном примере имеют очевидные угловые координаты . При этом длины лепестков составляют:

Двухлепестковая роза в полярной системе координат

Вот закономерный результат заботливого садовника:

Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения – так как синус ограничен: , то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

б) Построим линию, заданную уравнением . Очевидно, что длина лепестка этой розы тоже равна двум, но, прежде всего, нас интересует область определения. Применим аналитический метод «нарезки»: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от нуля до «пи» включительно, в данном случае: . Делим все части неравенства на 3 и получаем первый промежуток:

Далее начинаем «нарезку пирога кускам» по рад. (60 градусов):
– отрезок войдёт в область определения;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт.

Процесс успешно завершён на отметке 360 градусов.

Таким образом, область определения: .

Проводимые действия полностью либо частично несложно осуществлять и мысленно.

Построение. Если в предыдущем пункте всё благополучно обошлось прямыми углами и углами в 45 градусов, то здесь придётся немного повозиться. Найдём вершины лепестков. Их длина была видна с самого начала задания, осталось вычислить угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:

Обратите внимание, что между вершинами лепестков должны обязательно получиться равные промежутки, в данном случае 120 градусов.

Трёхлепестковая роза в полярной системе координат

Чертёж желательно разметить на 60-градусные секторы (отграничены зелёными линиями) и провести направления вершин лепестков (серые линии). Сами вершины удобно наметить с помощью циркуля – единожды отмерять расстояние в 2 единицы и нанести три засечки на прочерченных направлениях в 30, 150 и 270 градусов:

Готово. Понимаю, что занятие хлопотное, но если хотите всё оформить по уму, то придётся потратить время.

Сформулируем общую формулу: уравнение вида , – натуральное число), задаёт полярную -лепестковую розу, длина лепестка которой равна .

Например, уравнение задаёт четырёхлистник с длиной лепестка в 5 единиц, уравнение – 5-лепестковую розу с длиной лепестка в 3 ед. и т.д.

О втором подходе я хотел вообще умолчать, однако не могу пройти мимо – уж слишком он распространён. Суть состоит в том, что полярная роза часто рассматривается в обобщённых полярных координатах, где полярный радиус может быть отрицательным. Вопрос области определения отпадает, но появляются другие приколы.

Во-первых, разберёмся, как строить точки с отрицательным значением «эр». Если , то нужно мысленно найти точку с таким же углом, но радиуса и отобразить её симметрично относительно полюса. Вернёмся к первой полярной розе и рассмотрим интервал , на котором полярный радиус отрицателен. Как, например, изобразить точку ? Мысленно находим точку (левый верхний сектор) и отображаем её симметрично относительно полюса в точку . Таким образом, когда угол принимает значения из интервала , то прорисовывается ещё один лепесток в правом нижнем секторе:
В обобщенной полярной системе координат лепесток с отрицательным полярным радиусом отображаем симметрично из левого верхнего сектора – в правый нижний
И, соответственно, когда угол проходит значения , то прорисовывается 4-й лепесток в противоположном (левом верхнем) секторе:
И наоборот, из правого нижнего сектора – в левый верхний
Интересно отметить, что при таком подходе вторая полярная роза сохраняет своё количество лепестков. А происходит это по одной простой причине: когда угол проходит пустующие секторы (ещё раз посмотрите на чертёж!), то полярный радиус принимает отрицательные значения и из этих пустых секторов точки отображаются напротив, ровнёхонько накладываясь на «легальные» лепестки.

Сформулируем правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида , – натуральное) задаёт полярную розу с длиной лепестка , при этом:

1) если — чётное, то роза имеет ровно лепестков;
2) если — нечётное, то роза имеет ровно лепестков.

Например, роза имеет 8 лепестков, роза – пять лепестков, роза – 12 лепестков, роза – 7 лепестков и т.д.

А почему закономерность столь необычна, я только что проиллюстрировал геометрически.

Какой способ выбрать, решать вам, …но я бы не особо рекомендовал использовать обобщенные полярные координаты – у преподавателя могут появиться дополнительные вопросы на счет отрицательных значений полярного радиуса (а то и вообще всё будет забраковано по этой причине)

Короткая задача для самостоятельного решения:

Построить линии, заданные уравнением в полярных координатах

Сформулировать общее правило о количестве и длине лепестков полярной розы вида , – натуральное)

В моём образце решение проведено 1-м способом. Повторим порядок действий:

– Сначала находим область определения. При этом для лучшего понимания своих действий рекомендую соотносить аналитический способ «нарезки» с графической интерпретацией. По материалам урока Геометрические преобразования графиков выясните, как выглядят, и при необходимости начертите графики функций .

– Находим угловые координаты вершин лепестков – они расположены ровно посередине промежутков области определения.

– Выполняем чертёж. Пойдёт схематическая версия, однако желательно разметить найденные секторы и угловые направления вершин лепестков (в случае необходимости – с помощью транспортира). Вершины удобно засекать циркулем, предварительно установив раствор, равный длине лепестка.

Существуют более солидные и общие формулы окружности, полярной розы и желающие могут с ними ознакомиться в других источниках информации. Я лишь ограничился практически значимыми (с моей точки зрения) примерами.

Предлагаю перейти ко 2-й части занятия под названием Как построить линию в полярной системе координат?, где мы продолжим рассматривать типовые задачи, и усовершенствуем свои навыки.

Решения и ответы:

Окружность, выраженная через синус полярного угла

Пример 3: Решение: найдём область определения:

Вычислим полярные координаты точек, принадлежащих данной линии:

Выполним чертёж:

Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Проведём замены :

Выделим полный квадрат:

– окружность с центром в точке (координаты декартовы!) радиуса .

Дополнительная информация: уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке .

Пример 5: Решение:
а) Найдём область определения: косинус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от до рад. включительно. В данном случае: . Или:
.
Таким образом:
– отрезок принадлежит области определения;
– интервал – не принадлежит;
– отрезок – принадлежит;
– интервал – не принадлежит.
Область определения: .
Роза имеет два лепестка, вершины которых находятся на полярной оси и её продолжении, длина лепестка равна :
Двулистник в полярных координатах, выраженный через косинус
б) область определения: . Роза имеет три лепестка единичной длины с вершинами, имеющими следующие угловые координаты:

Выполним чертёж:
Трёхлистник в полярных координатах, выраженный через косинус
Уравнение вида , – натуральное), задаёт полярную
-лепестковую розу, длина лепестка которой равна . Если рассматривается обобщенная полярная система координат, то при чётном значения «ка» количество лепестков удваивается.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

1.2. Полярные координаты на плоскости

Декартовы координаты не всегда оказываются удобными. Например, для математического описания плоских фигур с круговыми границами, а также в некоторых других случаях более удобными оказываются полярные координаты.

Полярная система координат содержит лишь одну числовую ось P (Полярную ось), начало которой О называется ее Полюсом (рис. 1.4).

Полярными координатами произвольной точки М плоскости являются ее Полярный угол (угол между полярной осью P и направлением из полюса на эту точку), и Полярное расстояние r (расстояние от полюса O до этой точки). Полярный угол принято считать (если нет специальной оговорки) в пределах (P; P] и выражать в радианах. Тот факт, что и R – полярные координаты точки М плоскости, обозначается так: М = М(; R).

Очевидно (см. рис. 1.4), что каждая точка М плоскости, отличная от полюса О, имеет однозначную пару полярных координат (; R). Исключение составляет лишь полюс О. У этой точки полярное расстояние R = 0, а полярный угол не определен. Обратно, по известным полярным координатам (; R) точки плоскости можно, очевидно, однозначно построить и саму точку.

Если наряду с полярными координатами (; R) точки плоскости ввести также ее декартовы координаты, как это показано на рис. 1.5, то связь между ними выразится очевидными формулами:

По этим формулам осуществляется переход от полярных координат точек плоскости к декартовым. Обратный переход, от декартовых координат к полярным, осуществляется по формулам,

Также очевидным образом вытекающим из рис. 1.5 (или из формул (2.1)). Согласно этим формулам, полярное расстояние R точки, имеющей декартовы координаты (X; Y), находится однозначно. А полярный угол находится по предварительно вычисляемому Tg. Но по Tg угол находится, как известно, неоднозначно:

(N = 0, ±1, ±2, …) (2.3)

Из множества углов , предлагаемых формулой (2.3), нужно выбрать один – тот, который соответствует четверти плоскости, в которой находится рассматриваемая точка. Это делается с помощью подбора подходящего значения целого числа N и учете того, что .

Пример 1. Найти полярные координаты изображенных на рис. 1.6 точек М1, М2, М3, М4, М5.

Решение. Полярные координаты (; R) точек М1, М2, М3, М4 могут быть найдены и без применения формул (2.2) и (2.3), они очевидны из рис. 1.6:

М1 (0; 3); М2 (; 2);

М3 (; 3); М4 (; 2).

А вот полярные координаты (; R) точки М5 найдем, используя эти формулы:

(N = 0, ±1, ±2, …)

Так как точка М5 находится в третьей четверти, в которой (то есть в градусах ), то чтобы получить такой угол для точки М5, нужно в последней формуле положить N = — 1. В итоге получим: . Переведя градусы в радианы (вручную, используя тот факт, что = Рад 3,1416 рад., или, что проще, пользуясь специальной таблицей перевода градусной меры в радианную), получим: -2,5534 (рад). Итак,

М5 = М5(; R) = М5(-2,5534; 3,6056).

1. Даны точки и в декартовой системе координат. Найти полярные координаты этих точек.

2. Даны точки и В полярной системе координат. Найти декартовы координаты этих точек.

Связь между декартовой и полярной системами координат.

Положение точки на плоскости может быть задано не только декартовыми прямоугольными координатами, но и другими способами.

Довольно часто применяется так называемая полярная система координат. Полярная система координат определяется заданием точки О, которая называется полюсом, луча ОА, который выходит из этой точки и называется полярной осью, а также масштаба для измерения длин.

Пусть М — произвольная точка плоскости (рис. 1). Обозначим через r расстояние от точки М до полюса O ( rO M ê) и через j — угол, который будем отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки (j = =ÐA O M).

O

Числа r и j называются полярными координатами точки М относительно заданной системы: r — полярный радиус (первая координата); j — полярный угол (вторая координата).

По определению величина r положительная. Задание полярного радиуса и полярного угла определяет положение точки на плоскости единственным образом.

Если же надо указать полярные координаты какой-нибудь точки на плоскости, то ей будет соответствовать единственное значение полярного радиуса r и бесконечное множество значений полярного угла, т. е. полярный угол определяется неоднозначно: , где ( Z).

Среди возможных значений полярного угла точки М выделяют одно определенное значение угла , которое удовлетворяет неравенствам: (или ). Ограничение изменения угла дает возможность на практике для каждой точки плоскости указать также однозначно ее полярные координаты. Можно сказать, что в качестве главного значения полярного угла берется угол, на котором нужно повернуть луч ОА до совмещения с лучом ОМ, но делая при этом поворот не более чем на 180 0 в ту или другую сторону. Исключение составляет только полюс О, для которого r = 0, а угол не имеет определенного значения.

П р и м е р. Построить точки, заданные полярными координатами:

, , , .

Порядок построения: на плоскости указать точку О (полюс) и луч ОА, который выходит из точки О (полярная ось); указать единицу длины. После этого от луча ОА, отложить заданный угол и построить луч ОМ, на котором, используя масштаб, указать точку так, чтобы длина отрезка соответствовала первой координате точки.

Построение точек показано на рис. 2.

Упражнение . Построить точки, заданные полярными координатами:

, , , .

Связь между декартовой и полярной системами координат.

В некоторых случаях приходится одновременно пользоваться и декартовой, и полярной системами координат.

Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с полюсом, а ось Ох направить по полярной оси, то прямоугольные координаты x и y точки М и ее полярные координаты r и j связаны следующими формулами (рис. 3):

, (1)

. (2)

Рис. 3

Из этих формул следует, что

, (3)

Формула определяет два угла j и (j + p) в пределах одной окружности. Формулы (3) уточняют, какой из этих углов необходимо выбрать. Эти соотношения позволяют находить декартовы координаты точки по заданным полярным, а также решать обратную задачу.

П р и м е р 1. Найти декартовы координаты точек, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс: , , .

Решение. Подставляя полярные координаты точек в формулы (1), найдем их декартовы координаты:

а) для точки :

;

б) для точки :

;

в) для точки :

.

По формулам приведения имеем:

или

П р и м е р 2. Найти полярные координаты точек, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс:

, , .

Решение. По формулам (2) имеем:

а) для точки :

б) для точки :

или

в) для точки :

Ответ: .

Упражнения

1. Построить точки, заданные полярными координатами: Найти декартовые координаты этих точек.

Ответы: .

2. Найти полярные координаты точек:

.

Ответы: .

3. Найти полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам:

.

Ответы: .

§3. Полярные уравнения линий.

Важнейшим понятием геометрии является понятие уравнения линии.

Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение F(x , y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Линия, определенная данным уравнением (в некоторой системе координат), есть геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Так как величины x и y рассматриваются как координаты переменной точки, то их называют текущими координатами.

Текущие координаты следует обозначать другими буквами, если используется другая, не декартова система координат.

Так, в полярной системе координат линия задается уравнением F ( r ; j ) = 0,связывающим полярные координаты ее текущей точки. Если возможно, то уравнение разрешают относительно r. Тогда полярное уравнение принимает вид: r = r ( j ).

Если функция r ( j ) непериодическая, то углу j придают все возможные для данной функции значения, не ограничиваясь изменением его только в пределах первого периода.

Чтобы перейти от уравнения линии F(x , y)=0 в декартовых координатах к ее полярному уравнению, необходимо подставить в декартово уравнение вместо х и у их выражения из формулы (1).

Обратный переход от полярного уравнения F ( r ; j )= 0 к декартову уравнению той же линии осуществляется с помощью формул (2) и (3).

П р и м е р 1. Найти полярное уравнение прямой х = 1.

Решение. Обратим внимание, что прямая проходит через I и IV четверти (рис. 5). Известно, что х= r ×cosj [формула (1)], тогда полярные координаты связаны следующим условием для данной прямой:

.

Это и есть уравнение данной прямой в полярной системе координат.

Так как r — величина положительная, то дробь также положительна, а это означает, что , т.е. угол j может меняться в пределах I и IV четвертей, а значит данная прямая проходит через I и IV четверти.

П р и м е р 2. Найти полярное уравнение прямой, не проходящей через начало координат.

Решение. Из аналитической геометрии известно нормальное уравнение прямой: , где р — расстояние от начала координат до прямой, a — полярный угол нормали ОВ (ОВ ^ l ) (рис. 6).

Заменяя х и у на r и j по формулам (1), получим: или .

По условию прямая не проходит через начало координат, поэтому ее расстояние p от начала координат отлично от 0. Тогда из последнего равенства следует, что при любом j и .

Полярное уравнение данной прямой — .

П р и м е р 3. Дано полярное уравнение линии: (лемниската Бернулли). Найти ее уравнение в декартовой системе координат.

Решение. Воспользуемся формулой тригонометрии для синуса двойного аргумента и подставим в уравнение линии:

.

.

Тогда или — уравнение данной линии в декартовой системе координат.

П р и м е р 4. Что представляют собой линии, заданные в полярной системе координат: (I) и (II).

I. Геометрическое место точек, для которых r — расстояние до полюса постоянно, есть окружность. Уравнение определяет окружность радиуса с центром в полюсе О.

II. Уравнению удовлетворяют все точки полупрямой (луча), проведенной из полюса под углом a к полярной оси. При этом вся прямая, проходящая через полюс, записывается в полярной системе координат уравнениями: и .

П р и м е р 5. Какую линию определяет уравнение , где >0, переменные r и j — полярные координаты?

Решение. Обозначим через М точку с полярными координатами и через А — точку с полярными координатами ( ; 0). Если , то Ð ОМА — прямой, и обратно (рис. 7).

Следовательно, геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению , представляет собой окружность с диаметром ОА.

П р и м е р 6. Какую линию определяет полярное уравнение ?

Решение. Так как r и — положительные величины, угол j может изменяться только в положительную сторону. При также и , т.е. данная линия выходит из полюса. При возрастании угла j от О также пропорционально возрастает и r.

Следовательно, текущая точка данной линии, исходя из полюса, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. В результате точка М описывает спираль, называемую спиралью Архимеда (рис. 8).

За один оборот точка перейдет в новое положение , где , а . Поэтому расстояние между точками М и есть величина постоянная. Таким образом, спираль Архимеда рассекает каждый полярный луч на равные отрезки длины , не считая отрезка, примыкающего к полюсу.

П р и м е р 7. Дано уравнение лемнискаты в декартовой системе координат: . Составить полярное уравнение лемнискаты и построить кривую.

Решение. Переходим к полярным координатам с помощью формул и .

или — уравнение лемнискаты в полярных координатах.

Для построения кривой находим из этого уравнения . Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак ( ), а также из того, что уравнение не меняется при замене j на (-j), заключаем, что лемниската расположена симметрично относительно осей Ох и Оу. Исследуем форму лемнискаты для I четверти, т.е. для случая , . Для этих значений r и j имеем: . Очевидно, что j может изменяться только в промежутке от 0 до . Таким образом, соответствующая часть кривой заключена между полярной осью и лучом . Если , то . С возрастанием j от 0 до величина r убывает до значения r = 0. Учитывая симметрию, можно построить лемнискату (рис. 9).

П р и м е р 8. Дано полярное уравнение линии . Построить эту линию по точкам, задавая углу j значения через промежуток (шаг). Найти ее декартово уравнение, расположив декартову систему координат так, как показано на рис. 3.

Решение. Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то угол j может изменяться только в тех пределах, для которых , т.е. (I четверть) и (III четверть). На рис. 10 представлен график функции и заштрихованы области, соответствующие значениям аргумента, принадлежащих I и III четвертям. При изменении аргумента от 0 до 2p значение функции неотрицательно только для и .

Результаты вычисления значений r (с точностью до 0,01) внесем в таблицу. Пусть значение аргумента j изменяется от 0 до с шагом .

№ точек j 2j
1 0 0 0 0
2 0,50 2,12
3 0,87 2,79
4 1 3
5 0,87 2,79
6 0,50 2,12
7 p 0 0

Для построения линии проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом луче откладываем вычисленные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой (рис. 11).

При изменении угла j в пределах III четверти будет принимать те же значения, что и в I четверти, т.е. линия будет расположена симметрично относительно начала координат.

Построенная линия носит название лемнискаты Бернулли.

Найдем уравнение этой линии в декартовой системе координат.

.

Из формул (2) и (3):

.

Þ Þ

— уравнение линии в декартовой системе координат.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *