Сколько существует четырехзначных номеров не содержащих цифр 0 5 8

комбинаторика — Сколько существует чисел?

Сколько существует четырёхзначных чисел, делящихся на 4, в десятичной записи которых нет цифр 4, 5, 6, 8?

задан 20 Июн ’14 23:07

1 ответ

Делимость на 4 зависит только от двух последних цифр. Первые две цифры при этом выбираются произвольно, с учётом ограничений. На первом месте может стоять любая из 5 цифр, кроме нуля и четырёх «запрещённых»; на втором месте любая из 6. Итого 30 вариантов.

На конце находится чётная цифра, и это либо 0, либо 2. Перед нулём также находится чётная цифра, и это даёт два варианта 00 и 20. Перед 2 находится нечётная цифра, любая кроме 5. Это даёт ещё 4 варианта для двух последних цифр: 12, 32, 72, 92. Итого 6 возможностей.

Топологическая комбинаторика

Топологическая комбинаторика (англ.) применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

Инфинитарная комбинаторика

Инфинитарная комбинаторика (англ.) — применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.

Правило суммы: если элемент a из некоторой совокупности элементов можно выбрать m различными способами, и независимо от этого элемент b – n способами, то выбрать a или b можно n+m способами.

Правило произведения: если элемент a из некоторой совокупности элементов можно выбрать m различными способами, и независимо от этого элемент b – n способами, то выбрать a и b вместе можно n∙m способами.

1. Сколько существует

в) n-значных натуральных чисел?

2. Каково максимальное количество абонентов могут обслуживаться одной сотовой сетью, если номер семизначный?

Эта задача аналогична задаче на составление семизначного числа. Отличие состоит лишь в том, что число не может начинаться с нуля, а телефонный номер – может. Поэтому семизначных номеров 107=10000000.

Ответ: десять миллионов абонентов могут обслуживаться в одной сотовой сети.

3. Каково максимальное количество абонентов могут обслужить операторы всех сотовых сетей?

Номер сети состоит из трех знаков, причем первая цифра во всех сетях одинаковая: 9. Поэтому эта задача сводится к решению задачи на составление девятизначного числа, которое может начинаться с нуля. Поэтому все сотовые сети могут обслужить 109=1000000000 абонентов.

Ответ: один миллиард абонентов.

4. Каких чисел — полиандромов больше, семизначных или восьмизначных?

Полиандромы – это такие числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. У семизначного числа – полиандрома на первой позиции может стоять любая из девяти цифр, на второй, третьей и четвертой позициях – любая из десяти. А вот на пятой, шестой и седьмой позициях цифры уже зафиксированы. Таким образом, по правилу произведения семизначных чисел – полиандромов 9∙10∙10∙10∙1∙1∙1=9000. Восьмизначных чисел – полиандромов 9∙10∙10∙10∙1∙1∙1∙1=9000. Так что семизначных и восьмизначных чисел – полиандромов поровну.

5. Сколько существует всевозможных четырехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 и содержащих ровно одну тройку?

Цифра «3» может занимать любую из четырех позиций. В силу того, что для записи используются всего лишь семь цифр, то на первой позиции, если там не тройка, может находиться любая из пяти цифр, так как нуль не может стоять на первой позиции, а тройка зафиксирована. На остальных позициях, где нет тройки, может находиться любая из шести цифр. Изобразим схему заполнения позиций:

В таком случае, по правилу произведения четырехзначных чисел, начинающихся с тройки, 63, а с тройкой во второй, третьей и четвертой позициях 5∙62. Таким образом, всего четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и содержащих ровно одну тройку по правилу сложения 63+5∙62∙3=36∙(6+15)=36∙21=756.

6. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных пяти и состоящих из цифр 0, 2, 5, 7, 9, если каждое число состоит из различных цифр?

Числа, кратные пяти, оканчиваются на «0» или «5». На первой позиции может находиться любая из предложенных пяти цифр, кроме нуля и зафиксированной последней цифры. Изобразим схему заполнения позиций:

Таким образом, чисел, составленных из предложенных цифр и оканчивающихся на «0» по правилу произведения 4∙3∙2=24, а оканчивающихся на «5» 3∙3∙2=18. Всего чисел, кратных пяти, по правилу сложения 24+18=42.

7. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых присутствует хотя бы одна четная цифра?

По правилу произведения всего шестизначных чисел 9∙105=900000. Для составления чисел, в которых нет ни одной четной цифры, используются пять цифр, поэтому таких чисел 56=15625. Таким образом, чтобы найти количество шестизначных чисел, в которых присутствует хотя бы одна четная цифра, нужно из числа всех возможных вариантов вычесть число неблагоприятных: 900000-15625=884375.

Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Перестановки в ряд. Перестановки симметричных объектов

Сколько различных туристических маршрутов вы сможете организовать а) из А в Д; б) из A в Д и обратно; в) из A в Д и обратно так, чтобы на пути туда и обратно туристы проезжали разными маршрутами; г) из A в Д и обратно так, чтобы на пути туда и обратно никакая часть маршрута не повторилась?

Задача 3. Сколько существует а) двузначных, б) трехзначных, в) k-значных натуральных чисел?

Задача 4. Номера абонентов Санкт–Петербургской телефонной сети не начинаются с цифр 0, 8, 9 и состоят из 7 цифр. Каково максимальное количество абонентов, которое может обслуживать телефонная сеть?

Задача 5. Каково количество семизначных чисел, кратных а) двум; б) пяти, в) четырем?

Задача 6. Каких чисел, одинаково читающихся слева направо и справа налево, больше — пятизначных или шестизначных?

Задача 7. Сколько существует всевозможных четырехзначных чисел, состоящих из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и содержащих ровно одну единицу?

Задача 8. Сколько существует четырехзначных чисел, делящихся на 5 и состоящих из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число состоит из различных цифр?

Задача 9. Сколько четырехзначных чисел (цифры не повторяется), состоящих из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3?

Задача 10. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Задача 11. В туристическом слете участвуют 100 команд, каждой из которых организаторы предполагают вручить свой, отличный от других, флаг. Сколько разноцветных тканей требуется приобрести организаторам, если флаги должны состоять из трех разноцветных горизонтальных полос одинаковой ширины?

Упражнения

1. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно выбрать: а) комплект из чашки, ложки и блюдца; б) чашку с блюдцем; в) два предмета с разными названиями? Ответ: а) 60 способов; б) 15 способов; в) 47 способов.

2. Сколько разных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр: 1) 1, 2 и 3; 2) 1, 2, 3 и 4? Ответ: 1) 6; 2) 24.

3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 6, 7 и 8; 2) 6, 7, 8 и 9? Ответ: 1) 27; 2) 64.

4. Сколько разных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4? Ответ: 16.

5. Путешественник может попасть из пункта A в пункт C, проехав через пункт B. Между пунктами A и B имеются три автодороги, а между B и C — железнодорожное и речное сообщения. Сколько существует различных маршрутов между пунктами A и C? Ответ: 6.

6. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16? Ответ: 240.

7. В одной из стран автомобильные номера из четырех цифр (нуль может стоять и на первом месте) записываются на пластинках пяти различных цветов (каждый из пяти штатов этой страны имеет номера своего цвета). Сколько разных пластин с номерами может быть выдано автовладельцам в этой стране? Ответ: 50000.

8. Десять участников конференции обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку другим участникам). Сколько всего карточек было роздано? Ответ: 90.

9. Десять участников конференции обменялись рукопожатиями, пожав руку каждому. Сколько всего рукопожатий было сделано? Ответ: 45.

10. Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим трехзначным числовым кодом? Ответ: 30000.

11. Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечетных местах, различны? Ответ: 4536000.

12. Сколько из 33 букв русского алфавита можно составить 3-х символьных буквосочетаний, если: а) каждой тройке буквы различны; б) буквы не обязаны различаться; в) никакие две одинаковые буквы не идут подряд; г) первая и третья буквы согласные, а вторая буква гласная; д) ровно одна из трех букв гласная?

ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Перестановки в ряд

Подсчитаем число способов, которыми можно расположить в ряд n различных предметов. Такие расположения называются перестановками, а их количество

Решение с учащимися комбинаторных задач на уроках информатики способствует значительному повышению их математической и алгоритмической культуры: развивается динамичность мышления,

При решении этих задач следует использовать правила умножения и сложения.
1. Сколько слов можно образовать из букв слова «фрагмент», если слова должны состоять а) из восьми букв ?

Решение. а) Т.к. все буквы разные, то: 8! б)= 8*7 в) = 8*7*6*5*4*3
2. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, если первая из них не равна нулю ?

Решение. По правилу умножения, учитывая, что первая цифра не равна 0, получаем: 9*10*10*10*10
3. Сколько существует различных автомобильных номеров, если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля ?

Решение. Буквы «й», «ь», «ъ» не используются в автомобильных номерах, поэтому всего букв 30. Тогда по правилу умножения количество номеров: 30*9*9*9*9=1 771 470
4. Сколько существует различных автомобильных номеров, если номер состоит из одной русской буквы, за которой следует три цифры, а за ними еще две буквы ? Учесть, что первая цифра не должна быть «0», а буквы «й», «ь», «ъ» не используются ?

Решение. По правилу умножения: 30*9*10*10*30*30=24 300 000
5. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если две определенные книги должны всегда стоять рядом?

Решение. Две книги, которые должны стоять рядом, будем считать одной книгой. Тогда

количество способов=6!
6. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если две определенные книги не должны стоять рядом?

Решение. Так как всего возможностей 7!, то 7!-6!=6!(7-1)=6*6!
7. Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют В и С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В и вернуться в А тоже через В?

Решение. По правилу умножения: (3*4)*(4*3)
8. Сколько различных трехбуквенных слов можно образовать, используя буквы, составляющие Вашу фамилию?
9. Сколько различных трехбуквенных слов можно образовать, используя буквы, составляющие Вашу фамилию, причем эти слова должны начинаться согласной буквой?
10. Сколько различных трехбуквенных слов можно образовать, используя буквы, составляющие Вашу фамилию, причем эти слова должны начинаться и оканчиваться согласными, а в середине должна быть гласная буква?
11. У нас есть три письма, каждое из которых можно послать по шести различным адресам. а) Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если никакие два письма нельзя посылать по одному адресу?

б) Сколькими способами можно разослать письма, если по одному адресу можно послать более одного письма?

Решение. а) Первое письмо можно отправить по любому адресу, т.о. возможностей всего шесть. Второе – по любому из пяти оставшихся, а третье по одному из оставшихся четырех. Всего, по правилу умножения, рассылку можно сделать 6*5*4 способами.

б) Рассуждая так же, получим: 6*6*6 способов.

Приложение №3. Задачи

1. Сколькими способами их восьми человек можно отобрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Так как в комиссии порядок её членов не играет роли, то способов — .
2. Работодателю нужны пять сотрудников, а к нему с предложением своих услуг обратились десять человек. Сколькими способами он может выбрать среди них пятерых?

Решение. При отборе сотрудников порядок не играет роли, поэтому количество способов отбора — .
3. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех груш и девяти бананов?

Решение. Яблоки мы можем отобрать так: либо одно, либо два, либо три, либо четыре, либо пять, либо шесть, либо семь, либо ни одного: возможностей всего восемь. Рассуждая так же, для груш возможностей выбора – 5, для бананов – 10. По правилу умножения имеем: 8*5*10-1=399. Вычли 1, т.к. выбор, при котором не отобрано ни одного фрукта, надо исключить.
4. Сколько «слов», содержащих не менее одной буквы, можно составить из двух букв «а», пяти «б» и девяти «в» ?

Решение. Рассуждая так же, как в предыдущей задаче, имеем: 3*6*10-1=179
5. На окружности выбраны десять точек. Сколько можно провести хорд с концами в этих точках? Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? Сколько выпуклых десятиугольников?

Решение. Так как порядок выбора двух точек в качестве концов хорд и трех точек – вершин треугольников, не важен, то хорд — , а треугольников -. Выпуклых десятиугольников – один.
6. а) Сколькими способами из девяти книг можно отобрать четыре?

б) Сколькими способами это можно сделать, если в число отобранных должна входить некая определенная книга?

в) Сколькими способами можно отобрать четыре книги так, чтобы в число отобранных не входила определенная книга?

Решение. Рассуждая так же, получим: а)

б) так как определенная книга всегда должна входить в выбор, то недостающие три книги выбираем из восьми оставшихся, поэтому:

в) выбор будет осуществляться из восьми оставшихся книг, поэтому —
7. Десять кресел поставлены в ряд. а)Сколькими способами на них могут сесть два человека?

б) Сколькими способами эти два человека могут сесть рядом?

Решение. а) Так как неважно, в каком порядке сядут два человека, то способов – .

б) Поскольку эти двое должны сидеть рядом, то будем считать их за одного, сидящего на двух креслах . Пар кресел, расположенных рядом, (1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8, 8-9, 9-10) – 9 . Следовательно, способов выбора тоже 9. По другому, .
8. Сколько чисел, заключающихся между 1000 и 9999, содержат цифру 3?

Решение. Переформулируем задачу: сколько существует четырехзначных чисел, содержащих в своей записи цифру 3? Всего четырехзначных чисел – 9*10*10*10. Таких, в записи которых тройка стоит на первом месте – 10*10*10, на втором месте – 9*10*10 (т.к. «0» не может стоять на первом месте), на третьем – 9*10*10, на четвертом – 9*10*10. Всего 10*10*10+9*10*10+9*10*10+9*10*10 чисел.
9. Сколько четырехбуквенных «слов» можно образовать из слова «сердолик»? Сколько среди них таких, которые не содержат букву «р»? Сколько таких, которые начинаются с буквы «е» и оканчиваются буквой «р»?

Решение. Слово содержит 8 букв. Порядок букв в словах важен, поэтому всего четырехбуквенных слов – 8*7*6*5.

Таких, которые не содержат букву «р», — 7*6*5*4, поскольку выбор делается из семи оставшихся букв.

Таких, которые начинаются с буквы «е» и оканчиваются буквой «р», — 6*5, так выбор второй буквы делается из шести оставшихся, а третьей – из пяти оставшихся.
10. Сколько шестизначных цифр можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если каждое число должно состоять из трех чётных и трёх нечётных цифр, причём никакая цифра не входит в число более одного раза?

Решение. Выбираем три четных составляющих: поскольку четных цифр – 4, то возможностей – 4*3*2, а нечетных – 5, поэтому выборов – 5*4*3; Всего, согласно правила умножения – (4*3*2)*(5*4*3) выборов.

11. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из неё яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора, если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин?

Решение. Надя имеет большую свободу выбора, если у неё больше вариантов выбора. Поэтому считаем варианты:

если Ваня взял яблоко, то остается 11 яблок и 10 апельсинов и для Нади, по правилу умножения, есть 11*10 вариантов выбора;

если Ваня взял апельсин, то остается 12 яблок и 9 апельсинов и для Нади есть 12*9 вариантов. Остается сравнить эти числа: ясно, что 12*9 9

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *