Сколько существует 10 значных чисел

Сколько существует 10 значных чисел

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

Решение

Найдём количество десятизначных чисел, в которых все цифры разные. На первом месте в таком числе может стоять любая из девяти отличных от нуля цифр, на втором – любая из девяти цифр, отличных от первой, для третьей цифры остается уже 8 вариантов и т. д. Всего получаем 9·9! чисел. Осталось вычесть это количество из количества 9·10 9 всех десятизначных чисел (см. решение задачи 60336).

теория-чисел — Помогите решить

Сколько существует десятизначных целых чисел, все цифры которых различны и делится на 11111 без остотка.

задан 23 Дек ’18 10:31

1 ответ

Красивая комбинаторная задача.

Для начала заметим, что 10-значное число с участием всех цифр делится на 9, так как его сумма цифр равна 45. Числа 11111 и 9 взаимно просты, поэтому имеет место делимость на 99999=10^5-1. Таким образом, можно говорить о делимости на последнее число.

Пусть ABCDEabcde — запись 10-значного числа. Очевидно, что оно сравнимо по модулю 10^5-1 с суммой двух пятизначных чисел: ABCDE и abcde. Понятно, что каждое из слагаемых меньше 99999, поэтому сумма будет меньше удвоенного такого числа, и тогда она в точности равна 99999. А это значит, что A+a=9, B+b=9, . , E+e=9. Получается полное описание.

Осталось подсчитать количество. Прежде всего, мы задаём перестановку на 5-элементном множестве, состоящем из 2-элементных множеств цифр , , , , . Это 5! вариантов. Одна из цифр первого по счёту множества перестановки будет первой, а другая — шестой, и так далее. То есть мы 5 раз выбираем один из двух вариантов, и домножаем на 2^5. В результате получается множество 10-разрядных чисел, которые нам подходят. Остаётся вычесть количество тех из них, которые начинаются с нуля. На первом месте 0, на шестом 9. Остальные 4 множества цифр упорядочиваем 4! способами и умножаем это число на 2^4 по тому же принципу, что и выше.

В итоге получается ответ 2^5!-2^4!=2^4!(10-1)=2^3^=2*12^=3456. И числа тут вдобавок получаются интересные.

Сколько существует четных двузначных

Для выполнения данного задания необходимо найти сколько существует четных двухзначный чисел и трехзначных четных чисел.

Так как по условию задания необходимо узнать сколько существует четных чисел рассмотрим их;

1). Определимся, сколько всего существует двухзначных чисел;

Двухзначные числа начинаются с дести и заканчиваются 99. исходя из этого найдем сколько чисел всего;

99 – 10 + 1 = 90, всего двухзначных чисел;

Так как числа чередуются через одно находим:

Умные дети — счастливые родители

Какой остаток может получиться при делении на 2?

Ответы к с. 66

212. Какое число получится: чётное или нечётное, если нечётное число делить на нечётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи три примера, подтверждающих твоё предположение.

При делении нечётного числа на нечётное число результат всегда будет нечётным числом.
45 : 5 = 9 55 : 11 = 5 63 : 7 = 9

213. Какое число получится: чётное или нечётное, если чётное число делить на нечётное число, при условии, что выполнено деление нацело? Приведи несколько примеров, подтверждающих твоё предположение. Обсуди результат с соседом по парте.

При делении чётного числа на нечётное число результат всегда будет чётным числом.
54 : 9 = 6 50 : 5 = 10 96 : 3 = 32

214. Можешь ли ты привести пример такого случая деления, когда нечётное число делится нацело на чётное число? Почему? Вспомни, как можно получить делимое из делителя и значения частного.

Делимое можно получить, умножив делитель на значение частного. По условию делитель является чётным числом. Мы знаем, что если чётное число умножить на чётное или нечётное число, то результатом будет всегда чётное число. В нашем же случае делимое должно быть нечётным числом. Это означает, что никакое значение частного в этом случае подобрать нельзя и привести пример такого случая деления невозможно.

215. Представь число 2873 в виде суммы круглых десятков и однозначного числа. Чётным или нечётным числом является каждое из слагаемых? Чётным или нечётным числом будет значение их суммы? На какую цифру может оканчиваться запись чётного числа? А нечётного?

2873 = 2870 + 3
Первое слагаемое – чётное число, второе слагаемое – нечётное число.
2873 – нечётное число.
Нечётное число 2873 заканчивается на нечётную цифру 3, запись чётного числа 2870 — на чётную цифру 0.
Запись чётного числа может оканчиваться чётными цифрами (0, 2, 4, 6, 8), а запись нечётного числа — нечётными числами (1, 3, 5, 7, 9).

216. Выпиши чётные числа в один столбик, а нечётные — в другой.

2844 57893
67586 9231
10050 9929

217. Сколько существует чётных двузначных натуральных чисел? А сколько таких же нечётных чисел?

Самое маленькое двузначное чётное число 10, а самое большое – нечётное число 99. Всего их 99 – 10 + 1 = 90. Чётные и нечётные числа в натуральном ряду чередуются, поэтому чётных двузначных чисел столько же сколько и нечётных, то есть 45, поскольку 90 : 2 = 45.

218. Запиши самое большле чётное шестизначное число.

Самое большое шестизначное число — 999999. Это число нечётное. Предшествующее число – 999998 – число чётное. Оно самое большое в ряду шестизначных чисел.

Разделы: Математика

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать nm способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

ЗАДАЧИ и решения

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

Сочетания с повторениями

Прежде чем привести формулу для числа сочетаний с повторениями, разберем задачу, в которой фигурирует данный тип выборки. В решении этой задачи и будет заключаться вывод соответствующей формулы.

Модельная задача 1.Сколькими способами можно разместить k одинаковых шаров по n разным ящикам?

Нетрудно понять, что в этой задаче ящики являются выборочным множеством, выборка состоит в перечислении ящиков, в которые мы кладем шары (каждый ящик перечисляется столько раз, сколько в него положено шаров). Так как шары одинаковые, то выборка неупорядоченная; так как в один ящик можно класть несколько шаров, то речь идет о выборке с повторениями. Итак, ответом на вопрос данной задачи будет число . Осталось решить задачу и найти это число. Для этого мы решим сначала другую задачу.

Модельная задача 2.Сколькими способами можно разместить k одинаковых шаров по n разным ящикам (k³n), если в каждый ящик нужно положить хотя бы один шар?

Решение. Выложим шары в ряд. Поскольку все они одинаковые, можно считать, что сначала (например, слева) лежат шары из первого ящика, затем шары из второго ящика и так далее. Задача человека, раскладывающего шары по ящикам состоит в том, чтобы обозначить границу между шарами из первого ящика и шарами из второго, шарами из второго и шарами из третьего и так далее. То есть нам нужно расставить между шарами (n-1) перегородку (очевидно, что число перегородок на 1 меньше числа ящиков). Перегородки надо расставлять в промежутки между ящиками, причем в один промежуток можно ставить только одну перегородку (так как запрещается оставлять ящики пустыми). Таким образом, в качестве выборочного множества можно рассматривать промежутки между шарами (их k-1 штука), в качестве выборки берутся те промежутки, куда мы ставим перегородки. Выборка эта, очевидно, неупорядоченная и без повторений. То есть ответом в задаче будет число .

Решение модельной задачи 1. Эта задача легко сводится к задаче 2. Действительно, добавим к имеющимся у нас k шарам еще n шаров, которые тут же разложим по n ящикам – по одному шару в ящик. Так как это можно сделать единственным способом (шары одинаковые), то общее число интересующих нас способов при этом не изменится. То есть модельная задача 1 равносильна модельной задаче 2 с числом шаров, равным n+k. А потому ответом в задаче 1 будет число . Тем самым доказана формула:

Другое решение модельной задачи 1. Эту задачу можно решить непосредственно с помощью того же приема, который мы использовали при решении задачи 2. Выложим шары в ряд и будем расставлять между ними перегородки. Только на этот раз в один промежуток между шарами можно устанавливать несколько перегородок – две идущие подряд перегородки означают пустой ящик. Таким образом, мы должны вперемешку расположить в одну линию k шаров и n-1 перегородку, то есть k+n-1 символ. Или, другими словами, имеется k+n-1 позиция, и надо выбрать n-1 позицию, чтобы установить на эти позиции перегородки; на остальные k позиций при этом автоматически устанавливаются шары.

А сейчас мы рассмотрим еще одну задачу, родственную задачам о шарах и перегородках.

Модельная задача 3.Сколькими способами можно натуральное число n представить в виде суммы k натуральных слагаемых? При этом представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

Решение. Запишем n как сумму единиц: n=1+1+1+…+1. Чтобы представить n в требуемом виде, надо в этой сумме расставить соответствующим образом скобки. Или, другими словами, единицы надо разбить на группы, расставив между ними k-1 перегородку. Поскольку в каждую группу должна попасть хотя бы одна единица, то в промежуток между соседними единицами можно ставить не более одной перегородки. То есть мы должны из n-1 промежутка выбрать k-1 место для перегородок. Число способов равно .

Замечание. Можно рассуждать и проще. Задачу можно переформулировать так: сколькими способами можно n одинаковых единиц разложить по k разным ящикам-слагаемым. А это попросту модельная задача 2.

А теперь решим несколько задач. При этом надо помнить, что очень часто бывает проще решить задачу, непосредственно применяя правила сложения и умножения, нежели свести ее к исследованию какой-либо выборки. А вообще, достаточно сложные задачи требуют обычно применения комбинированных методов.

Задача 45. Двум мастерам приказали просверлить в рейке длиной 3 метра отверстия на равных расстояниях друг от друга и от концов рейки: одному мастеру на расстоянии 20 см, другому – 12см. Сколько всего отверстий проделано в рейке?

Задача 46. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке убывания?

Задача 47. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке возрастания?

Задача 48. Сколько существует шестизначных чисел, в десятичной записи которых четные и нечетные цифры чередуются?

Задача 49. У Саши 8 книг по математике, а у Арины 12. Они договорились обменяться тремя книгами. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 50. Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?

Задача 51. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, 2 сержантов и 20 рядовых?

Задача 52. Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна: а) 2, б) 3, в) 4?

Задача 53. Сколькими способами можно переставить буквы в слове "эпиграф", чтобы и гласные и согласные шли в алфавитном порядке?

Задача 54. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее из 4 супружеских пар, если супруги одновременно входить в комиссию не имеют право?

Задача 55. На клетчатой бумаге изображен прямоугольник 12´8. Сколькими способами можно добраться из левой нижней клетки в правую верхнюю, если двигаться можно только вправо и вверх на одну клетку.

Задача 56. В условиях предыдущей задачи определить, сколькими способами можно добраться из левой нижней клетки в правую верхнюю, если запрещается проходить через клетку, находящуюся на пересечении четвертого столбца и четвертой строки данного прямоугольника. Исследовать задачу для случая, когда запрещенными являются две клетки прямоугольника.

Задача 57. В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Известно, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько всего точек пересечения имеют эти диагонали?

Задача 58. Из колоды, содержащей 52 карты, извлекли 10 карт. Во скольких случаях среди них окажется ровно один туз? Хотя бы один туз?

Задача 59. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

Задача 60. Сколько ожерелий можно составить из семи бусинок разного цвета?

Задача 61. Сколько ожерелий можно составить из пяти бусинок одного цвета и трех бусинок другого цвета?

Задача 62. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все двадцать книг?

Задача 63. Найти сумму четырехзначных чисел, полученных при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.

Задача 64. Тот же вопрос для цифр 1,2, 2, 5.

Задача 65. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 20 два числа так, чтобы их сумма была нечетной?

Задача 66. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три числа так, чтобы их сумма была четной?

Задача 67. Сколькими способами можно выбрать из чисел от 1 до 100 три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

Задача 68. Доказать, что нечетное число предметов можно выбрать из данных n предметов 2 n-1 способами.

Задача 69. Сколькими способами можно построить в ряд 6 учеников, если: а) Петя хочет стоять рядом с Вовой; б) Петя не хочет стоять рядом с Вовой; в) Петю нельзя ставить первым, а Вову последним.

Некоторые комбинаторные задачи приводят к понятию перестановки с повторением. Рассмотрим пример.

Задача 70. Сколько различных анаграмм можно составить из букв слова «МАТЕМАТИКА»?

Решение. Первый способ. Если бы все буквы этого слова были различными, то мы имели бы 10! анаграмм. Однако, меняя между собой местами различные экземпляры буквы «а», мы будем получать одинаковые анаграммы. Три экземпляра буквы «а» можно переставить 3! способами, то есть 10! анаграмм распадутся на группы, каждая из которых состоит из 6 одинаковых анаграмм. Кроме того, одинаковые анаграммы получаются при перестановке двух букв «м» и двух букв «т». Таким образом, различных анаграмм будет =151200.

Второй способ. Букву Е можно поставить на одно из 10 мест, букву И – на одно из 9 мест, букву К – на одно из восьми, два места для букв М можно выбрать способом, два места для букв Т можно выбрать способами, а на оставшиеся три места поставим буквы А. Всего получается 10×9×8×21×10 анаграмм.

Сформулируем задачу в общем виде. Пусть имеется выборочное множество . Перестановкой с повторениями состава (k1, k2,…,kn) называется упорядоченная выборка, в которой k1 раз встречается элемент х1, k2 раз встречается элемент х2 и т.д. Общее число таких перестановок обозначается P(k1, k2,…,kn). Справедлива формула

Задача 71. Докажите приведенную выше формулу.

Поговорим теперь немного о биномиальных коэффициентах.

Задача 72. Докажите, что коэффициент перед x k в многочлене (1+x) n равен , иными словами .

Решение. Раскроем скобки в выражении (1+x) n =(1+х)×(1+х)×…×(1+х), не приводя подобные члены. У нас получится сумма 2 n слагаемых, каждое из которых равно произведению n множителей; некоторые из этих множителей – единицы, остальные равны х. При этом первый множитель выбирается из первой скобки, второй множитель – из второй скобки и т.д. Чтобы получить слагаемое, в котором k множителей равны х, нужно из k скобок выбрать в качестве множителя х, из остальных n–k – единицу. Так как k скобок из n имеющихся можно взять способами, то всего будет слагаемых вида x k . После приведения подобных членов получим .

Задача 73. Докажите, что . (эта формула известна как бином Ньютона).

Задача 74. Докажите, что .

Решение. В формуле бинома Ньютона положим a=b=1.

Задача 75. Докажите, что .

Задача 76. Докажите, что .

Задача 77. Найти член разложения (1+х) 12 с наибольшим коэффициентом.

Указание. Рассмотрите отношение .

Задача 78. Найти член разложения (1+2х) 10 с наибольшим коэффициентом.

Задача 79. Докажите, что после раскрытия скобок и приведения подобных членов коэффициент перед x k в выражении будет равен .

Задача 80. Найдите коэффициент перед x 5 в многочлене (1–2x+x 2 ) 6 .

Решение. После раскрытия скобок слагаемое с переменной х в пятой степени может появиться двумя способами. Во-первых, из одной скобки будет выбран множитель 1, а из пяти скобок – множитель –2х. Таких слагаемых всего будет 6, а их сумма будет равна 6×(–2х) 5 =–192х 5 . Во-вторых, из двух скобок возьмем множитель х 2 , из одной скобки – множитель –2х, из оставшихся скобок – единицу. Таких слагаемых будет Р(1,2,3)=60, их сумма равна –120х 5 . Таким образом, после приведения подобных членов коэффициент перед x 5 будет равен –312.

Задача 81. Найдите коэффициент перед x 7 в многочлене (1+2x–x 2 ) 10 .

Задача 82. Найдите коэффициент перед x k в многочлене (1+x+x 2 +…+x n ) 2 .

Задача 83. Найдите коэффициент перед a 3 b 3 в многочлене (1+a–ab+b 2 ) 10 .

Контрольная работа по комбинаторике (проводилась в 2001 году в 11б классе сш №17 г. Твери).

1. Сколькими способами можно построить в ряд 5 мальчиков и 5 девочек

а) так, чтобы они чередовались;

б) так, чтобы девочки не стояли рядом.

2. Сколькими способами можно распределить между 5 сладкоежками 10 шоколадок и 20 конфет.

3. Сколько существует трехзначных чисел, у которых

а) цифры расположены в порядке возрастания;

б) все цифры разные, причем первая цифра самая большая.

4. Сколько существует вариантов взаимного расположения корней трех многочленов 4 степени, если известно, что каждый из них имеет максимальное число различных корней, причем одинаковых корней многочлены не имеют.

5. Найти коэффициент перед x 6 в многочлене (1+2x–x 2 ) 12 .

6. Сколько анаграмм можно составить из слова АБСЦИССА? А сколько можно составить анаграмм, начинающихся на гласную букву?

1. Сколькими способами можно построить в ряд 5 мальчиков и 6 девочек

а) так, чтобы они чередовались;

б) так, чтобы все девочки стояли рядом.

2. Сколькими способами могут распределиться между 5 спортсменами комплекты наград в забегах на 3 различные дистанции.

3. Сколько существует трехзначных чисел, у которых

а) цифры расположены в порядке убывания;

б) есть повторяющиеся цифры.

4. Сколько существует вариантов взаимного расположения корней двух многочленов 10 степени, если известно, что каждый из них имеет максимальное число различных корней, причем одинаковых корней многочлены не имеют.

5. Найти коэффициент перед x 7 в многочлене (1+2x–3x 2 ) 10 .

6. Сколько анаграмм можно составить из слова ПЕРИМЕТР? А сколько можно составить анаграмм, начинающихся на согласную букву?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *