Когда частное выражение равно 0 числитель должен быть равен 0

drob-ravna-nulyu

$\[1)\frac<<<x^2>— 10x + 21>> <<<x^2>— 49>> = 0\]» width=»158″ height=»39″ /> <img decoding=$ — 10x + 21 = 0\\ — 49 \ne 0 \end \right.\]» width=»158″ height=»44″ />

$\[<x^2>— 49 \ne 0\]» width=»90″ height=»21″ /> <img decoding=$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

$x \ne 7;x \ne - 7$

$\[<x^2>— 10x + 21 = 0\]» width=»140″ height=»19″ /> <img decoding=$

$\[\frac<D> <4>= <\left( <\frac<2>> \right)^2> — ac = <\left( <\frac<< - 10>><2>> \right)^2> — 1 \cdot 21 = 4\]» width=»312″ height=»46″ /> <img decoding=$ > = \frac<< - \frac <2>\pm \sqrt <\frac<4>> >> = \frac<< - \frac<< - 10>> <2>\pm \sqrt 4 >> <1>= 5 \pm 2\]» width=»313″ height=»51″ />

$\[<x_1>= 5 + 2 = 7; <x_2>= 5 — 2 = 3.\]» width=»239″ height=»17″ /> <img decoding=$ >> <<2— 5x + 2>> = 0\]» width=»150″ height=»41″ />

$\[\left\< \begin<array> <l>4x — 8 <x^2>= 0\\ 2 <x^2>— 5x + 2 \ne 0 \end <array>\right.\]» width=»150″ height=»44″ /> <img decoding=$ — 5x + 2 \ne 0\]» width=»130″ height=»21″ />

$\[2<x^2>— 5x + 2 = 0\]» width=»130″ height=»19″ /> <img decoding=$

$\[D = <b^2>— 4ac = <( - 5)^2>— 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9\]» width=»276″ height=»22″ /> <img decoding=$ > = \frac<< - b \pm \sqrt D >><<2a>> = \frac<< - ( - 5) \pm \sqrt 9 >><<2 \cdot 2>> = \frac<<5 \pm 3>><4>\]» width=»318″ height=»40″ />

$\[<x_1>= \frac<<5 + 3>> <4>= 2; <x_2>= \frac<<5 - 2>> <4>= 0,5\]» width=»259″ height=»37″ /> <img decoding=$

$\[4x - 8<x^2>= 0\]» width=»100″ height=»17″ /> <img decoding=$

$4x = 0;1 - 2x = 0$

$x = 0;x = 0,5$

$\[3)\frac<<3x - 12>> <<<x^2>— 4x>> = 0\]» width=»110″ height=»36″ /> <img decoding=$ 3x — 12 = 0\\ — 4x \ne 0 \end \right.\]» width=»135″ height=»43″ />

$\[<x^2>— 4x \ne 0\]» width=»91″ height=»21″ /> <h2>Дробь равна нулю</h2> Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя. Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю». Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так: <img decoding=$

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.

4) Записать ответ.

$1)\frac{{{x^2} - 10x + 21}}{{{x^2} - 49}} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x + 21 = 0\\ {x^2} - 49 \ne 0 \end{array} \right.$

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

${x^2} - 49 \ne 0$

Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».

$(x - 7) \cdot (x + 7) \ne 0$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

$x \ne 7;x \ne - 7$

При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

${x^2} - 10x + 21 = 0$

$a = 1;b = - 10;c = 21$

Ищем дискриминант. Так как b= -10 — чётное число, здесь удобнее воспользоваться формулой для D/4:

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 10}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot 21 = 4$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 10}}{2} \pm \sqrt 4 }}{1} = 5 \pm 2$

${x_1} = 5 + 2 = 7;{x_2} = 5 - 2 = 3.$

Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.

$2)\frac{{4x - 8{x^2}}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = 0$

Это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 8{x^2} = 0\\ 2{x^2} - 5x + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

$2{x^2} - 5x + 2 \ne 0$

$2{x^2} - 5x + 2 = 0$

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

$a = 2,b = - 5,c = 2$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 3}}{4}$

${x_1} = \frac{{5 + 3}}{4} = 2;{x_2} = \frac{{5 - 2}}{4} = 0,5$

$x \ne 2;x \ne 0,5.$

$4x - 8{x^2} = 0$

Общий множитель 4x выносим за скобки

$4x(1 - 2x) = 0$

$4x = 0;1 - 2x = 0$

$x = 0;x = 0,5$

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

$3)\frac{{3x - 12}}{{{x^2} - 4x}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 12 = 0\\ {x^2} - 4x \ne 0 \end{array} \right.$

${x^2} - 4x \ne 0$

$x \cdot (x - 4) \ne 0$

$x \ne 0;x \ne 4$

Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:

$3x = 12$

$x = 4$

Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.

когда частное выражение равно 0 числитель должен быть равен 0 объяснение

Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя.

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю».

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».

При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.

Это уравнение равносильно системе

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

Общий множитель 4x выносим за скобки

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:

Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.

Решаем квадратное уравнение

Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

Теперь решаем уравнение

Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Математика! Как был решён этот пример, разъясните пожалуйста! —>

1) Зачем составили неравенство из подкоренного выражения? И какой смысл у этого действия?
2) Затем пишут что знаменатель не равен нулю, наверное потому что на ноль делить нельзя. Из этого следует что х не может равняться нулю или четырём.
3) Затем числитель приравнен к нулю, тоже разъясните, зачем?
4) И как определили на каких участках графика будет — а на каких +? И по какому принципу закрасили участки?

1) Зачем составили неравенство из подкоренного выражения? И какой смысл у этого действия?

Подкоренное выражение не может быть меньше 0

2) Затем пишут что знаменатель не равен нулю, наверное потому что на ноль делить нельзя. Из этого следует что х не может равняться нулю или четырём.

3) Затем числитель приравнен к нулю, тоже разъясните, зачем?

Тут надо рассматривать случай при котором действие равно нулю, всё верно

4) И как определили на каких участках графика будет — а на каких +? И по какому принципу закрасили участки?

Так как при х= 0 и 4 решение не возможно, промежутки от 0 до 1 и от 3 до 4 не имеет корней

Похожие публикации:

Русская рыбалка 3 карма на что влияет

Как перевести timestamp в дату время js

Как пишется по английски квадрат

Как получить куки из браузера