Как решать линейные уравнения методом жордана гаусса

Метод Гаусса-Жордана. Как найти обратную матрицу
с помощью элементарных преобразований?

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе.

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жордан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жордана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя.

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Не мудрствуя лукаво:

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение: это первое задание урока Метод Гаусса для чайников, где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ:

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение: первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа, и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

Ответ: общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением.

Для самостоятельного решения:

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные. Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь ни при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений, причём там выбран другой базис.

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ:

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Решение: присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса:

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет). Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1). Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ:

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице.

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных.

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах.

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей mathprofi.ru:

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел), я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ: общее решение:

Пример 6: Решение: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:

(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.

(6) Вторую строку разделили на 7.
(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ:

Пример 7: Решение: найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:

(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 17% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-xr4ys

Базисные решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

При решении используется метод прямоугольника, в результате применения которого получается диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Система линейных уравнений:
2x₁ + x₂ — x₃ + 3x₄ — 2x₅ = 2
x₁ — x₂ + x₄ = 0
x₁ — x₃ + x₄ — 2x₅ = -1
Запишем ее через матрицу.

2	1	-1	3	-2
1	-1	0	1	0
1	0	-1	1	-2

Векторы столбцы базисного решения представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными. Чтобы получить единичные векторы и используют метод Жордана-Гаусса (см. также правило прямоугольника). Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Решение системы линейных уравнений называется базисным, если свободные переменные (m>n) обращаются в ноль.

Пример №1 . Найти три базисных решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, указать среди них опорные.
Решение. Запишем систему в виде:

2	1	-1	3	-2	2
1	-1	0	1	0	0
1	0	-1	1	-2	-1

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (2).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ
РЭ — разрешающий элемент (2), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	x5	B
2 / 2 = 1	1 / 2 = 0.5	-1 / 2 = -0.5	3 / 2 = 1.5	-2 / 2 = -1	2 / 2 = 1

или

1	0.5	-0.5	1.5	-1	1
0	-1.5	0.5	-0.5	1	-1
0	-0.5	-0.5	-0.5	-1	-2

Разрешающий элемент равен (-1.5).
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	x5	B
0 / -1.5 = 0	-1.5 / -1.5 = 1	0.5 / -1.5 = -0.33	-0.5 / -1.5 = 0.33	1 / -1.5 = -0.67	-1 / -1.5 = 0.67

или

1	0	-0.33	1.33	-0.67	0.67
0	1	-0.33	0.33	-0.67	0.67
0	0	-0.67	-0.33	-1.33	-1.67

Разрешающий элемент равен (-0.67). После пересчета получим общее решение системы:
x₁ = 1.5 — 1.5x₄
x₂ = 1.5 — 0.5x₄
x₃ = 2.5 — 0.5x₄ + 2x₅
Необходимо переменные x₄,x₅ принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные.
Приравняем переменные x₄ и x₅ к 0. Получим базисное решение системы.
x₁ = 1.5, x₂ = 1.5, x₃ = 2.5
Поскольку среди базисного решения нет отрицательных значений, то полученное решение является опорным.
Для получения частного решения, необходимо задать любые значения x₄ и x₅. Пусть x₄=1 и x₅=1.
x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 4

Пример №2 . Используя метод Жордана-Гаусса, привести систему к единичному базису. Найти одно из: а) базисных решений, б) опорных решений системы.
Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ
РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
1 / 1 = 1	1 / 1 = 1	-1 / 1 = -1	-2 / 1 = -2

Разрешающий элемент равен (-7).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	B
0 / -7 = 0	-7 / -7 = 1	5 / -7 = -0.71	9 / -7 = -1.29

Разрешающий элемент равен (0.29).
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Метод Жордана Гаусса

Затем, не производя обратного хода, как это было сделано в методе Гаусса, нужно продолжать элементарными преобразованиями снизу вверх обращать в нули элементы, стоящие над главной диагональю, до тех пор, пока слева до черты в расширенной матрице не будет стоять единичная матрица.

Тогда справа получим решение системы уравнений.

Это один из самых простых и изящных способов решения систем линейных уравнений.

Примеры с решением

Пример 1:

Решить систему уравнений методом Жорда-на-Гаусса:

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид:

Преобразуем первый столбец: в результате получим

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Теперь работаем с нижней строкой, содержащей единицу в четвертом столбце, и с ее помощью «обнуляем» весь столбец. Не забываем выполнять действия со строчкой, содержащей не четыре, а пять элементов.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Справа получили столбец решений. Таким образом: Метод Жордана-Гаусса вычисления обратной матрицы. Используя метод Жордана-Гаусса, можно вычислять обратные матрицы менее трудоемким способом, чем через алгебраические дополнения. Возьмем нашу обычную квадратную матрицу и припишем к ней справа единичную матрицу той же размерности:

Элементарными преобразованиями над строками, используя алгоритм метода Жордана-Гаусса, приведем левую часть к единичной матрице:

Матрица полученная справа, и будет обратной к

Пример 2:

Найти обратную матрицу к матрице

Решение:

Припишем справа к матрице единичную матрицу той же размерности и применим к полученной двойной матрице преобразования над строками: Сделав проверку, получим

Метод Жордана-Гаусса 1. Система из га линейных уравнений с п неизвестными в общем случае записывается так:

(1) Коэффициенты и свободные члены — заданные действительные числа. Первый индекс в записи обозначает номер уравнения, второй — — номер неизвестной.

Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т.е. все такие наборы чисел которые при подстановке во все уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать, что решений нет.

Система (1) называется:

• совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
• определенно совместной, если она имеет только одно решение;
• неопределенно совместной, если она имеет более одного решения;
• несовместной, если она не имеет ни одного решения. 2°. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны. Переход от одной системы к равносильной осуществляется при помощи множества элементарных преобразований:
• умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля число;
• прибавление к одному из уравнений произвольного другого, умноженного на любое число;
• удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения — если в системе имеются два или более уравнений с пропорциональными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.

Уравнение не имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна. 3. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду

(2) в котором одна неизвестная сохранена с коэффициентом 1 только в уравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем разрешенной относительно неизвестной поскольку ее легко выразить через остальные неизвестные данной системы. Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:

1) коэффициент при в уравнении с номером р должен быть отличен от нуля; в дальнейшем назовем ведущим, или разрешающим коэффициентом, а уравнение — ведущим уравнением;

2) уравнение надо разделить на

3) для получения нулевых коэффициентов при в остальных уравнениях следует из уравнения вычесть ведущее уравнение, сначала разделенное на а затем домноженное на Тогда все остальные коэффициенты преобразуются по формулам

Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса.

Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих диаграммах:

На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвестную в другом уравнении, исключая из остальных. Через шагов систему (1) можно привести к системе, состоящей из г уравнений (остальные тривиальных уравнений, если такие были, отброшены) и содержащей разрешенных неизвестных.

Эти г неизвестных назовем базисными (используя векторную терминологию, которая появится позже), остальные — свободными, или независимыми.

Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена. Если то система разрешена относительно всех неизвестных, т.е. однозначно совместна. Если то, выражая базисные (зависимые) неизвестные через свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и из которого можно получать различные частные решения, в том числе базисное (так называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неизвестных).

Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).

Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столбцом. Цель преобразований Жордана-Гаусса — получить единичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок таблицы изображает систему, разрешенную относительно базисных неизвестных.

Примеры с решениями

Пример 3:

Решить линейную систему

Решение:

Имеем Первый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.» означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта соответствует знакам равенства): Выполним первую итерацию, т.е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента (в таблице он обведен кружком).

Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы):

1) первую строку сохраняем (переписываем);

2) первую строку, умноженную на 2, прибавим ко второй;

3) первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей;

4) первую строку прибавим к четвертой. Получаем второй блок таблицы:

Приведем к единичному третий столбец, в нем уже имеется один нуль. Ведущий коэффициент обведен кружком.

1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки;

2) перепишем вторую строку без изменения;

3) вторую строку, умноженную на —1, прибавим к третьей;

4) четвертую строку перепишем без изменения. Эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы.

Третий блок таблицы имеет вид:

Следующая итерация заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого примем в качестве ведущего коэффициента и выполним следующие действия: третью строку, умноженную на —5, -1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений.

Получаем четвертый блок:

4. Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента Четвертую строку разделим на -3. Остальные действия очевидны. Получаем: После четырех итераций получили таблицу, соответствующую системе, разрешенной относительно всех неизвестных Запишем это также в виде: Система определенно совместна. Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства.

Пример 4:

Решить линейную систему

Решение:

Каждый раз в качестве ведущего будем принимать простейший коэффициент, т.е. либо 1, либо — 1.

Подчеркнем, что цель преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце. Как получить нулевые коэффициенты в единичном столбце, видно из решения примера 1. Для этого ведущую строку надо умножить на надлежащие числа (иногда на 1 или -1) и прибавить к остальным строкам, не содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся выделением в каждом блоке ведущего коэффициента, не комментируя сами преобразования и не указывая соответствующие числа со стрелками.

Результаты вычислений поместим в единую таблицу Гаусса, которая имеет следующий вид:

Последние две строки удалены как нулевые (они соответствуют тривиальным уравнениям). Из последнего блока таблицы получаем систему выражающую «почти» общее решение исходной системы.

Смысл слова «почти» заключается в неравноправном участии неизвестных. Положим — произвольные постоянные или параметры).

Тогда система

представляет общее решение системы в параметрическом виде. Все неизвестные выражены (равноправно) через два параметра

Решения, получаемые из общего при фиксированных значениях параметров называются частными. Например, при получаем: При получаем Базисное решение соответствует нулевому набору свободных переменных: если Ответ запишем так:

Пример 5:

Решить систему уравнений

Решение:

Вместо таблицы Гаусса будем использовать другую, более компактную интерпретацию ее блоков. Вертикальная черта в блоках соответствует знакам равенства в уравнениях системы. Знак

(читается «тильда») между двумя соседними блоками означает, что системы, соответствующие этим блокам, равносильны.

Имеем:

единичный столбец второго блока получен в результате умножения первой строки на) -3, -3, -1, -4 и последующего прибавления ко второй, третьей, четвертой и строкам соответственно; во втором блоке произвели почленное деление четвертой и ( (.пятой строк на 3 и -3, т. е. сокращение уравнений)

Вторая и третья строки четвертого блока отброшены как пропорциональные пятой. Заметим, что выделение ведущего (разрешающего) элемента однозначно определяет действия по обнулению элементов ведущего столбца, поэтому мы отказались от применения чисел и стрелок, обозначающих действия над строками блока. Последний блок изображает систему, состоящую из трех уравнений с четырьмя неизвестными Соответствующая система приведена к трем базисным неизвестным; разрешая ее относительно этих неизвестных, получаем

Положим Тогда общее р базисное решения принимают вид соответственно: Заметим, что переменную нельзя получить среди свободных (свободная переменная может принимать любые значения, тогда как ).

Пример 6:

Решить систему уравнений

Решение:

В предыдущих примерах преобразования Жордана-Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или строками таблицы, потому что все ведущие коэффициенты были равны 1. Если же ведущие коэффициенты отличны от 1, то действия над строками могут вызывать затруднения, и в таких случаях следует пользоваться формулами преобразования Жордана-Гаусса, т.е. правилом прямоугольника. С целью экономии места решение этой системы приведем также в блоковой записи:

(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удалена). Подчеркнем, что цель наших преобразований состоит в получении единичных столбцов. Приведем примеры применения правила прямоугольника в третьем блоке.

При этом одна из вершин каждого прямоугольника должна совпасть с ведущим элементом противоположная вершина — с элементом, подлежащим пересчету:

Из последнего блока получаем общее решение системы в базисе При

Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-Гаусса) допускает получение в очередном блоке таблицы Гаусса столбца, отличного от единичного, т.е. неизвестную не обязательно исключать из всех уравнений, кроме одного.

В этом случае говорят о приведении системы уравнений к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии времени, когда коэффициенты системы «неудобные», особенно, если система окажется неразрешимой.

Пример 7:

Решить систему уравнений .

Решение:

Нули в столбцах будем получать только под диагональю соответствующей матрицы.

Последняя строка выражает противоречивое уравнение — система несовместна.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Метод Гаусса-Жордана. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса. Нередко этот метод называют методом Жордана или Жордана-Гаусса.

В данном методе решения СЛАУ мы работаем с расширенной матрицей системы. Преобразования, допустимые в методе Гаусса-Жордана те же, что и в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
4. Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю.

В принципе, можно менять местами и столбцы матрицы системы, но тогда нужно запоминать новый порядок переменных в уравнениях. Например, смена мест второго и пятого столбцов матрицы системы означает, что переменные $x_2$ и $x_5$ поменялись местами во всех уравнениях.

Буквами $r$ (от слова «row») я стану обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Перед тем, как описать алгоритм решения СЛАУ рассматриваемым методом, отмечу пару моментов насчёт вычёркивания строк. Договоримся, что нулевые строки мы вычёркиваем по мере их появления. Кроме того, на любом шаге можно, хоть это и не обязательно, вычёркивать одинаковые строки (т.е. строки, все соответствующие элементы которых равны меж собой), оставляя при этом одну из этих строк. Например, если строки $r_2$, $r_5$, $r_6$ одинаковы, то можно оставить одну из них, – например, строку $r_2$. При этом строки $r_5$ и $r_6$ будут удалены.

Удалять можно не только одинаковые строки. Если все элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки, умноженным на некое отличное от нуля число, то одну из этих строк можно вычеркнуть. Например, для строк $(-2;\;5;\;0)$ и $(-6;\;15;\;0)$ имеем $(-6;\;15;\;0)=3\cdot(-2;\;5;\;0)$. Следовательно, одну из этих строк можно вычеркнуть из матрицы.

Впрочем, обязательным условием оставим лишь вычёркивание нулевых строк. Из повторяющихся или пропорциональных строк в любом случае останется лишь одна, а остальные позже станут нулевыми и будут удалены из матрицы.

Если в ходе выполнения алгоритма возникла строка вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end\right)$, где $x\neq<0>$, то нет смысла продолжать преобразования, так как система является несовместной, т.е. не имеет решения.

Перед тем, как рассмотреть преобразования метода Гаусса-Жордана, введём несколько терминов.

Нулевая строка – строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка – строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Буквами $r$ (от слова «row») станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Описание алгоритма с произвольным выбором разрешающего элемента

Если говорить коротко, то суть данного метода состоит в последовательном переборе столбцов матрицы системы, в каждом из которых выбирается некий ненулевой элемент, именуемый разрешающим элементом. Пусть в текущем столбце в качестве разрешающего элемента выбран $a_$. Если $a_\neq<1>$, то домножая строку $r_i$ на $\frac<1>>$, добиваемся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1.

Далее выполняем действия со строками, чтобы обнулить все ненулевые элементы j-го столбца, кроме разрешающего элемента. После этого переходим к следующему столбцу. При этом из каждой строки можно взять разрешающий элемент лишь один раз.

Нулевые строки вычёркиваются по мере их появления. Если разрешающий элемент станет выбрать невозможно, алгоритм прекращается. Данным методом решены примеры №1 и №2 на этой странице.

Более развёрнутое пояснение этого метода дано в примечании ниже.

Подробное описание метода: показать\скрыть

На первом шаге мы работаем с первым столбцом матрицы системы. Выберем в первом столбце произвольный отличный от нуля элемент $a_\neq<0>$. Это разрешающий элемент. Если $a_\neq<1>$, то умножаем строку $r_i$, содержащую разрешающий элемент, на $\frac<1>>$, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. Если $a_=1$, то никакого домножения, разумеется, делать не нужно. Затем с помощью строки $r_i$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов первого столбца, после чего переходим к следующему шагу. Из строки $r_i$ выбирать разрешающие элементы в последующих шагах запрещено. Из некоей строки можно выбрать разрешающий элемент лишь один раз – это крайне важно.

На втором шаге переходим к следующему столбцу матрицы системы. Посмотрим, нет ли в этом столбце элемента, не равного нулю, при этом не принадлежащего строке, из которой был выбран разрешающий элемент на предыдущем шаге. Если такого разрешающего элемента во втором столбце нет, то переходим к третьему, четвёртому столбцу и так далее – до тех пор, пока либо не найдём столбец, в котором будет нужный нам элемент, либо убедимся, что искомый столбец в матрице системы отсутствует (это будет означать окончание алгоритма).

Допустим, что мы нашли столбец, в котором присутствует искомый разрешающий элемент. Обозначим этот элемент $b_$. Затем, аналогично первому шагу, если $b_\neq<1>$, умножаем строку $r_n$, содержащую разрешающий элемент, на $\frac<1>>$. После этого производим обнуление всех остальных ненулевых элементов k-го столбца. Из строк, которым принадлежали разрешающие элементы на первом и втором шагах, выбирать разрешающие элементы в последующих шагах запрещено.

После обнуления переходим к следующему столбцу и так далее. Полагаю, что логика данного метода ясна. На каждом шаге мы рассматриваем некий столбец. В этом столбце ищем ненулевой разрешающий элемент $a$, при этом данный ненулевой элемент не должен лежать в тех строках, из которых выбирались разрешающие элементы на предыдущих шагах. Если такой разрешающий элемент $a$ мы находим, то при $a\neq<1>$ умножаем строку, содержащую данный элемент, на $\frac<1>$. Затем выполняем обнуление всех остальных ненулевых элементов текущего столбца. Если же мы не находим искомого элемента в текущем столбце, то переходим к следующему столбцу – пока не найдём нужный столбец или же не убедимся в отсутствии искомого столбца. Как только выбор разрешающего элемента станет невозможен, алгоритм закончится.

Описание алгоритма с последовательным перебором строк

Если предыдущий вариант алгоритма предполагал последовательный перебор столбцов, то в данном случае мы будем осуществлять последовательный перебор строк. На каждом шаге этого варианта метода Гаусса-Жордана используется некая строка расширенной матрицы системы. На первом шаге применяется первая строка, на втором шаге – вторая и так далее. Замечание про нулевые и повторяющиеся строки, сделанное выше, остаётся в силе. Нулевые строки вычёркиваем по мере их появления.

Обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеется хоть одна строка, причём $k$ – номер ведущего элемента текущей строки (этот элемент обозначим буквой $a$), а $k_<\min>$ – наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

• Пусть $k\le>$, тогда в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент текущей строки. Умножаем текущую строку на $\frac<1>$, чтобы разрешающий элемент стал равен 1. Разумеется, если разрешающий элемент изначально равнялся 1, то никакого домножения не нужно. Затем производим обнуление ненулевых элементов, которые находятся в k-м столбце выше и ниже текущей строки. Если таких элементов нет, т.е. все элементы k-го столбца, кроме разрешающего, равны 0, то просто переходим к следующему шагу.
• Если $k\gt>$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. После этого для текущей строки будет верным неравенство $k\le>$, поэтому выполняем операции, описанные в предыдущем пункте.

Последовательно перебирая строки, мы придём к использованию последней строки. Пусть ведущий элемент $a$ этой строки имеет номер $k$. Если $a\neq<1>$, то умножаем последнюю строку на $\frac<1>$. Затем обнуляем ненулевые элементы k-го столбца, расположенные над последней строкой. На этом решение заканчивается. Данным способом решены примеры №3, №4, №5 и №6 на этой странице.

Как конкретно происходит обнуление элементов, рассмотрим на практике. Буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_<\min>$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой. Разрешающий элемент во всех примерах выделен красным цветом.

Решить СЛАУ $ \left\ < \begin& 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Расширенная матрица системы будет такой:

На каждом шаге метода Гаусса-Жордана нам придётся выбирать некие ненулевые элементы матрицы системы (разрешающие элементы). Выбирать можно по-разному, и в зависимости от выбора разрешающих элементов будет отличаться процесс решения. В этом примере мы станем выбирать разрешающий элемент произвольно.

Обратимся к первому столбцу матрицы системы (матрица системы записана до черты). Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.

У нас в первом столбце три ненулевых элемента: 4, 2, -3. Мы можем выбрать любой из них. Удобно, когда разрешающий элемент равен 1 или -1 (почему это так, будет ясно из дальнейшего), однако такого элемента в первом столбце нет. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 2.

Для начала сделаем так, чтобы разрешающий элемент (он выделен красным цветом) стал равен единице. Для этого разделим все элементы второй строки на 2. Это преобразование обозначается так: $1/2\cdot$ и записывается следующим образом:

$$ \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ \boldred <2>& -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin \phantom <0>\\ 1/2\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left( \begin \normblue <4>& -7 & 8 & -23\\ \boldred <1>& -2& 5/2 & -13/2\\ \normblue <-3>& 11 & 1 & 16 \end \right) $$

Наша цель: обнулить все ненулевые элементы первого столбца, кроме разрешающего элемента. Т.е. обнулению подлежат числа 4 и -3, которые выделены синим цветом. Для этого нужно выполнить такие операции со строками:

Запись $r_1-4r_2$ означает, что из элементов первой строки вычитаются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 4. А запись $r_3+3r_2$ говорит о том, что к элементам третьей строки прибавляются соответствующие элементы второй строки, умноженные на 3. Если выполнение подобных операций в уме затруднительно (а поначалу именно так и бывает), то выпишите изменяемые строки отдельно. Например, так:

Заметьте, что вторую строку эти преобразования не затрагивают, поэтому в новую матрицу вторая строка перейдёт без изменений.

$$ \left( \begin \normblue <4>& -7 & 8 & -23\\ \boldred <1>& -2& 5/2 & -13/2\\ \normblue <-3>& 11 & 1 & 16 \end \right) \begin r_1-4r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & -2& 5/2 & -13/2\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end\right). $$

На этом первый шаг закончен. Все «синие элементы» первого столбца обнулены. Полагаю, теперь ясно, почему в качестве разрешающего элемента удобно брать 1 или -1: этот выбор банально позволит уменьшить работу с дробями или же вообще избежать такой работы.

Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть три ненулевых элемента: 1, -2 и 5. Элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге. Следовательно, на роль разрешающего элемента есть два кандидата: 1 и 5.

Разумеется, самым удачным выбором будет 1. На первом шаге, чтобы разрешающим элементом стала единица, мы делили вторую строку на 2. Здесь эта операция не нужна, так как разрешающий элемент уже равен 1. С помощью разрешающего элемента (он выделен красным) мы обнулим два остальных ненулевых элемента второго столбца, выделенных синим цветом:

$$ \left( \begin 0 & \boldred <1>& -2 & 3\\ 1 & \normblue<-2>& 5/2 & -13/2\\ 0 & \normblue <5>& 17/2 & -7/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+2r_1\\ r_3-5r_1 \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end\right). $$

Второй шаг окончен. Все «синие элементы» обнулены. Переходим к третьему шагу.

Теперь перейдём к следующему, т.е. третьему столбцу. В этом столбце есть три ненулевых элемента, т.е. -2, -3/2 и 37/2. Элементы -2 и -3/2 не могут быть разрешающими, так как из строк, в которых лежат данные элементы, мы брали разрешающие элементы на предыдущих шагах. В качестве разрешающего элемента можно взять лишь 37/2. Операции, которые мы станем выполнять, полностью аналогичны производимым ранее: сделать разрешающий элемент единицей, а потом обнулить ненулевые элементы текущего столбца:

$$ \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <37>& -37/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\ 2/37\cdot \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & \normblue <-2>& 3\\ 1 & 0 & \normblue <-3/2>& -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -1 \end \right) \begin r_1+2r_3\\r_2+3/2\cdot\\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end \right). $$

Выбрать разрешающий элемент в следующем столбце матрицы системы невозможно, так как матрица системы содержит всего три столбца. Решение окончено, ответ получен.

Единица в первом столбце соответствует первой переменной $x_1$, т.е. $x_1=-2$. Единица во втором столбце соответствует переменной $x_2$, т.е. $x_2=1$. Наконец, единица в третьем столбце соответствует третьей переменной, т.е. $x_3=-1$. Если хотите более подробных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Как получились значения переменных? показать\скрыть

Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:

$$ \left\ < \begin& 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1. \end \right. $$

Упрощая полученную систему, имеем:

Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ \boldred <2>& -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin \phantom <0>\\ 1/2\cdot \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ \boldred <1>& -2& 5/2 & -13/2\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin r_1-4r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 0 & \boldred <1>& -2 & 3\\ 1 & -2 & 5/2 & -13/2\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+2r_1\\ r_3-5r_1 \end \rightarrow \left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <37>& -37/2 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\ 2/37\cdot \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 0 & 1 & -2 & 3\\ 1 & 0 & -3/2 & -1/2\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -1 \end \right) \begin r_1+2r_3\\r_2+3/2\cdot\\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end \right). $$

Ответ: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Напишу пару строк относительно возможного облегчения преобразований данного метода. Как видно из предыдущего примера, работа с дробями может быть довольно утомительной, поэтому, разумеется, возникает желание эту работу минимизировать. Зачастую такой работы удаётся избежать, если разрешающий элемент равен 1 или -1.

Самое первое действие, которое можно попробовать выполнить, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1, это банальная смена мест строк. Например, представим себе, что после первого шага мы получили такую матрицу:

Разумным будет выбор единицы из четвёртой строки в качестве разрешающего элемента во втором столбце. Однако если есть необходимость взять разрешающий элемент из иной строки, то можно просто поменять строки местами. Например, если мы хотим, чтобы разрешающий элемент принадлежал второй строке, поступим так:

Смена мест строк зачастую позволяет упростить расчёты, поэтому этим приёмом нередко пользуются. Можно использовать и иной приём: выполнить вспомогательную операцию со строками, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Для демонстрации этого приёма обратимся к разобранному нами примеру №1. Мы хотим использовать на первом шаге разрешающий элемент из второй строки, но нас не устраивает, что данный элемент равен 2. Выполним вспомогательное действие $r_2+r_3$, и тогда разрешающий элемент станет равен -1:

$$ \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2+r_3 \\ \phantom <0>\end \rightarrow \left( \begin 4 & -7 & 8 & -23\\ -1 & 7& 6 & 3 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end \right) $$

Выполнять описанные выше вспомогательные действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если действий с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов метода Гаусса-Жордана, то, разумеется, лучше упростить себе расчёты и выполнить некое дополнительное действие, чтобы потом не работать с дробями.

$$ \left\ < \begin&12x_3-18x_4+5x_5=-9;\\ & -6x_1+12x_2+9x_3+15x_4=-21;\\ & x_1-2x_2-3x_3-x_5=4;\\ &-4x_1+8x_2+12x_3-2x_4+7x_5=-11. \end \right.$$

Расширенная матрица системы будет такой:

В этом примере мы, как и в предыдущем примере №1, станем выбирать разрешающий элемент произвольно.

Обратимся к первому столбцу матрицы системы. Надо выбрать в первом столбце какой-либо ненулевой элемент, который и будет разрешающим элементом.

У нас в первом столбце три ненулевых элемента: -6, 1, -4. Мы можем выбрать любой из них. Возьмём в качестве разрешающего элемента число 1. Так как разрешающий элемент уже равен 1, то домножать третью строку на некий множитель нет необходимости, т.е. просто переходим к обнулению всех остальных ненулевых элементов первого столбца.

Стоит обратить внимание на то, что все элементы второй строки нацело делятся на 3, поэтому умножим вторую строку на $\frac<1><3>$. Это не обязательное действие, просто немного упростит расчёты.

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -6 & 12 & 9 & 15 & 0 & -21\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ -4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11 \end \right) \begin \phantom<0>\\ 1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ \boldred <1>& -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ -4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+2r_3 \\ \phantom <0>\\ r_4+4r_2 \end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & -3 & 5 & -2 & 1\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

Обратимся к следующему столбцу. Посмотрим, можно ли выбрать разрешающий элемент во втором столбце. В этом столбце есть лишь один ненулевой элемент: число -2. Однако элемент -2 мы не можем выбрать в качестве разрешающего, так как он принадлежит строке, из которой был взят разрешающий элемент на предыдущем шаге.

Переходим к следующему столбцу. В третьем столбце есть три ненулевых элемента: 12, -3 и -3. Выберем в качестве разрешающего элемента число -3, расположенное во второй строке.

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <-3>& 5 & -2 & 1\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ -1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin r_1-12r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & 2 & -3 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) $$

Обратите внимание, что $r_4=-r_1$, поэтому мы уже сейчас можем убрать одну из строк $r_1$ или $r_4$, однако для наглядности уберём лишнюю строку на следующем шаге, когда четвёртая строка станет нулевой.

Вновь переходим к следующему, т.е. уже четвёртому, столбцу. В этом столбце есть четыре ненулевых элемента: 2, -5/3, -5, -2. Элементы -5/3 и -5 мы не можем взять в качестве разрешающих, потому что они принадлежат строкам, из которых разрешающие элементы брались на предыдущих шагах. Выберем 2 в качестве разрешающего элемента:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <2>& -3 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin 1/2\cdot\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+5/3\cdot \\ r_3+5r_1 \\ r_4+2r_1\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2 \end \right) $$

На последней матрице мы убрали нулевую строку. Решение окончено, так как в следующем столбце разрешающий элемент выбрать уже невозможно – все строки использованы.

Обратите внимание на столбцы, которые содержат по одному ведущему элементу некоей строки. Это столбец №1 (он содержит ведущий элемент строки №3), столбец №3 (он содержит ведущий элемент строки №2) и столбец №4 (он содержит ведущий элемент строки №1). Эти столбцы для наглядности я выделил синим цветом:

$$ \left(\begin \normblue <0>& 0 & \normblue <0>& \normblue <1>& -3/2 & -5/2\\ \normblue <0>& 0 & \normblue <1>& \normblue <0>& -11/6 & -9/2\\ \normblue <1>& -2 & \normblue <0>& \normblue <0>& -13/2 & -19/2 \end \right) $$

Выделенные столбцы соответствуют переменным $x_1$, $x_3$ и $x_4$. Эти переменные будут базисными, а переменные $x_2$ и $x_5$ – свободными. В принципе, из полученной матрицы можно сразу записать ответ. Например, первая строка данной матрицы соответствует уравнению $x_4-\frac<3><2>x_5=-\frac<5><2>$, откуда имеем $x_4=-\frac<5><2>+\frac<3><2>x_5$. Ответ будет таким:

Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -6 & 12 & 9 & 15 & 0 & -21\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ -4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11 \end \right) \begin \phantom<0>\\ 1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ -2 & 4 & 3 & 5 & 0 & -7\\ \boldred <1>& -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ -4 & 8 & 12 & -2 & 7 & -11 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+2r_3 \\ \phantom <0>\\ r_4+4r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <-3>& 5 & -2 & 1\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ -1/3\cdot \\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 12 & -18 & 5 & -9\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & -3 & 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin r_1-12r_2\\ \phantom <0>\\ r_3+3r_2 \\ \phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <2>& -3 & -5\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin 1/2\cdot\\ \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & -5/3 & 2/3 & -1/3\\ 1 & -2 & 0 & -5 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 3 & 5 \end \right) \begin \phantom<0>\\ r_2+5/3\cdot \\ r_3+5r_1 \\ r_4+2r_1\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\rightarrow \left(\begin 0 & 0 & 0 & 1 & -3/2 & -5/2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -11/6 & -9/2\\ 1 & -2 & 0 & 0 & -13/2 & -19/2 \end \right) $$

$$ \left\ < \begin& 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end \right.$$

Этот пример станем решать с помощью последовательного перебора строк. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:

На первом шаге алгоритма мы станем использовать первую строку. В первой строке ведущим является первый элемент (число 3), т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках (числа 3, 6 и -3) имеют номера 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=1$. Так как $k\le>$, то разрешающим элементом будет ведущий элемент первой строки, т.е. число 3. Умножим первую строку на $\frac<1><3>$, чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы первого столбца.

$$ \left(\begin \boldred <3>& 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end\right) \begin 1/3\cdot\\ \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin \boldred <1>& 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2-3r_1\\r_3-6r_1\\r_4+3r_1\end \rightarrow \left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end\right). $$

На втором шаге алгоритма используем вторую строку. Ведущий элемент второй строки (число -2) имеет номер $k=3$. Ведущие элементы нижележащих строк (числа 2 и -1) имеют номера 2, т.е. наименьшим из этих номеров есть $k_<\min>=2$. Так как $k\gt>$, то надо поменять местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, надо поменять местами вторую строку с третьей или четвёртой.

Так как в четвёртой строке ведущий элемент равен -1, что удобно в расчётах, то пусть в обмене поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

Теперь ведущий элемент во второй строке имеет номер $k=2$. Ведущие элементы в нижележащих строках (числа 2 и -2) имеют номера 2 и 3, наименьшим из которых будет $k_<\min>=2$. Так как $k\le>$, то разрешающим элементом будет ведущий элемент второй строки. Умножим вторую строку на -1, чтобы разрешающий элемент стал равен 1, а затем обнулим ненулевые элементы второго столбца.

На третьем шаге применяем третью строку. Ведущий элемент третьей строки (число 7) имеет номер $k=3$. Под третьей строкой лежит лишь одна строка, ведущий элемент которой (число -2) имеет номер 3. Следовательно, $k_<\min>=3$. Так как $k\le>$, то умножим третью строку на $\frac<1><7>$, а затем обнулим ненулевые элементы третьего столбца.

$$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <7>& -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\1/7\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-2/3r_3\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\r_4+2r_3\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & -39/7 & -78/7\end\right) $$

На этом шаге мы используем четвёртую строку, которая является последней. Следовательно, это завершающий шаг алгоритма. Умножаем четвёртую строку на $-\frac<7><39>$, а затем обнуляем ненулевые элементы четвёртого столбца, расположенные над четвёртой строкой:

$$ \left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <-39/7>& -78/7\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\-7/39\cdot \end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& 2\end\right) \begin r_1-6/7\cdot\\ r_2-5r_4 \\ r_3+9/7r_4 \\ \phantom <0>\end\rightarrow \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end\right). $$

Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:

$$ \left(\begin \boldred <3>& 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end\right) \begin 1/3\cdot\\ \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin \boldred <1>& 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end\right) \begin \phantom<0>\\ r_2-3r_1\\r_3-6r_1\\r_4+3r_1\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end\right) \overset> <\rightarrow>\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & \boldred <-1>& 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\-1\cdot \\\phantom<0>\\\phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & \boldred <1>& 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-1/3\cdot\\ \phantom <0>\\r_3-2r_2\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <7>& -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\1/7\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow $$ $$ \left(\begin 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end\right) \begin r_1-2/3r_3\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\r_4+2r_3\end \rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <-39/7>& -78/7\end\right) \begin \phantom<0>\\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\\-7/39\cdot \end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 6/7 & -9/7\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & -9/7 & -25/7\\ 0 & 0 & 0 & \boldred <1>& 2\end\right) \begin r_1-6/7\cdot\\ r_2-5r_4 \\ r_3+9/7r_4 \\ \phantom <0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end\right). $$

Ответ: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

$$ \left\ < \begin& x_4-4x_5=-5;\\ & -x_1+2x_2-7x_4+39x_5=55;\\ & -2x_3-x_5=1;\\ & x_1-2x_2+3x_4-17x_5=-23;\\ &-2x_1+4x_2-x_4+16x_5=25. \end \right.$$

Этот пример станем решать с помощью последовательного перебора строк. Для начала запишем расширенную матрицу данной системы:

На первом шаге алгоритма мы станем использовать первую строку. Ведущий элемент первой строки (число 1) имеет номер $k=4$. Ведущие элементы строк, расположенных под первой строкой (числа -1, -2, 1 и -2) имеют номера 1, 3, 1 и 1. Наименьшим среди перечисленных номеров ведущих элементов нижележащих строк будет $k_<\min>=1$. Так как $k\gt>$, то нужно поменять местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, надо поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой. В принципе, выбрать для обмена можно любую строку, но так как в четвёртой строке ведущий элемент равен 1, то поменяем местами первую и четвёртую строки:

Теперь у первой строки номер ведущего элемента равен $k=1$, а наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк равен $k_<\min>=1$. Так как $k\le>$, то в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент первой строки. Разрешающий элемент уже равен 1, поэтому нужно просто обнулить все ненулевые элементы первого столбца, расположенные под первой строкой:

На втором шаге алгоритма мы станем использовать вторую строку. Ведущий элемент второй строки (число -4) имеет номер $k=4$. Ведущие элементы строк, расположенных под первой строкой (числа -2, 1 и 5) имеют номера 3, 4 и 4. Наименьшим среди перечисленных номеров ведущих элементов нижележащих строк будет $k_<\min>=3$. Так как $k\gt>$, то нужно поменять местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_<\min>$. Иными словами, надо поменять местами вторую и третью строки:

Теперь $k=3$, $k_<\min>=4$. Так как $k\le>$, то в качестве разрешающего элемента принимаем ведущий элемент второй строки. Домножая на $-\frac<1><2>$ вторую строку, добьёмся того, чтобы разрешающий элемент стал равен 1. Кроме того, все элементы третьей строки нацело делятся на 2, поэтому домножим третью строку на $\frac<1><2>$.

Теперь пора обнулять все ненулевые элементы третьего столбца, расположенные ниже и выше второй строки, однако эти элементы и так равны нулю. Следовательно, просто переходим к следующему шагу.

На третьем шаге используем третью строку. Номер ведущего элемента третьей строки $k=4$, наиименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк $k_<\min>=4$. Так как $k\le>$, разрешающим элементом будет ведущий элемент третьей строки (число -2). Нужно домножить третью строку на $-\frac<1><2>$, а затем с помощью третьей строки обнулить все ненулевые элементы четвёртого столбца, расположенные выше и ниже третьей строки.

В принципе, нам ничто не мешает выполнить эти преобразования. Однако работать с дробями не очень хочется. Чтобы избежать работы с дробями можно поменять местами текущую третью строку с одной из нижележащих строк – с четвёртой строкой. Если мы это сделаем, то разрешающим элементом станет единица, что означает отсутствие необходимости работать с дробями. После смены строк выполним обнуление требуемых элементов:

Обратите внимание на то, что для четвёртой и пятой строк выполнено равенство $r_5=\frac<2><3>r_4$. Это означает, что одну из данных строк можно вычеркнуть из матрицы. Если это соотношение между пятой и четвёртой строками осталось нами незамеченным, то можно заметить, что все элементы четвёртой строки делятся нацело на 3, а все элементы пятой строки делятся нацело на 2. После выполнения соответствующих преобразований четвёртая и пятая строки станут одинаковыми, поэтому одну из них можно будет вычеркнуть. Вот так:

$$ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\1/3\cdot\\1/2\cdot\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right) $$

Однако допустим, что мы не заметили ни выполнения равенства $r_5=\frac<2><3>r_4$, ни то, что элементы четвёртой и пятой строк нацело делятся на 2 и 3 соответственно. Тогда просто перейдём к следующему шагу алгоритма, и пятая строка станет нулевой. В следующих примерах я буду вычёркивать лишние строки по мере их появления, но сейчас, сугубо для демонстрационных целей, перейдём к четвёртому шагу без предварительного вычёркивания строк.

На четвёртом шаге используем четвёртую строку. Аналогично предыдущим шагам, получим:

$$ \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\1/3\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & -5 & -8\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -4 & -5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0& 0 & 2 & 4 \end \right) \begin r_1+5r_4\\r_2+1/2\cdot\\r_3+4r_4\\\phantom<0>\\r_5-2r_4\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 \end \right)\rightarrow \left(\begin 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0& 0 & 1 & 2 \end \right) $$

Решение окончено. Посмотрим на столбцы, в которых есть ведущий элемент некоей строки. Это первый, третий, четвёртый и пятый столбцы. Следовательно, переменные $x_1$, $x_3$, $x_4$ и $x_5$ будут базисными, а переменная $x_2$ – свободной. Ответ будет таким:

Запишем полное решение без пояснений. В этой записи я вычеркну повторяющиеся строки сразу, как только они появятся, т.е. не дожидаясь обнуления пятой строки. Как вы уже поняли, метод Гаусса-Жордана допускает определённые вариации процесса решения. Мы можем вычеркнуть повторяющиеся или пропорциональные строки сразу (оставив при этом одну из них), а можем не делать этого и удалить впоследствии нулевые строки. Мы можем работать с дробями, а можем произвести вспомогательные действия, чтобы разрешающий элемент стал равен 1 или -1. Мы можем выбирать разрешающие элементы произвольно, а можем спускаться по строкам. Остаётся неизменной лишь общая идея метода: обнуление всех элементов столбца, кроме одного.

Ответ: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Решить СЛАУ $ \left\ < \begin& x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2. \end \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Данный пример я не буду расписывать с подробными пояснениями, так как они были даны ранее. Решать станем с помощью последовательного перебора строк.

$$ \left( \begin \boldred <1>& -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right)\rightarrow\\ \rightarrow \left[\begin &\text<Строки №4 и №5 одинаковы,>\\ &\text<вычёркиваем строку №5.>\end\right]\rightarrow \left(\begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & \boldred <1>& -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right) \begin r_1+r_2\\\phantom<0>\\r_3+r_2\\ r_4-r_2\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end \right) $$

Напомню, что появление строки вида $\left(\begin 0&0&\ldots&0&x\end \right)$, где $x\neq<0>$, на любом этапе метода Гаусса-Жордана означает, что система не имеет решения, т.е. является несовместной. Четвёртая строка расширенной матрицы системы, т.е. $\left(\begin0&0&0&2\end\right)$, относится к упомянутому виду строк, поэтому заданная СЛАУ является несовместной. Для наглядности я запишу четвёртую строку в виде уравнения: $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=2$, откуда имеем $0=2$. Полученное противоречие и указывает на отсутствие решения системы.

Впрочем, к этому же выводу можно прийти, записав ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы. Вычеркнем нулевую строку:

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. $\rang\widetilde\neq\rang$, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Исследовать на совместность СЛАУ

$$\left\ < \begin& x_1-5x_2-x_3-2x_4=0;\\ & 4x_2+3x_3=0;\\ & -3x_1+15x_2+22x_3-14x_4=0;\\ & 2x_1-10x_2-21x_3+16x_4=0. \end \right.$$

Найти её решение методом Гаусса-Жордана.

Так как все свободные члены (числа в правых частях равенств) равны нулю, то заданная СЛАУ является однородной. Однородная СЛАУ всегда имеет хотя бы одно решение – нулевое, т.е. $x_1=x_2=x_3=x_4=0$. Таким образом, совместность системы не вызывает сомнений, – заданная СЛАУ совместна. Вопрос лишь в том, является ли она определённой (т.е. имеет одно решение) или же неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). На этот вопрос мы и дадим ответ в ходе решения методом Гаусса-Жордана.

Обратите внимание на то, что $r_4=-r_3$, т.е. можно удалить одну из строк $r_3$ или $r_4$. Впрочем, если бы мы не заметили, что $r_4=-r_3$, то впоследствии четвёртая строка стала бы нулевой, и была бы удалена из матрицы. Убирая из матрицы строку $r_4$ и продолжая преобразования, получим:

$$ \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & \boldred <4>& 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) \begin \phantom <0>\\ 1/4\cdot\\ \phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & -5 & -1 & -2 & 0\\ 0 & \boldred <1>& 3/4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 19 & -20 & 0 \end \right) \begin r_1+5r_2 \\ \phantom <0>\\ \phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 11/4 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 3/4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \boldred <19>& -20 & 0 \end \right) \begin \phantom <0>\\ \phantom <0>\\ 1/19\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 & 11/4 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 3/4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \boldred <1>& -20/19 & 0 \end \right) \begin r_1-11/4\cdot \\ r_2-3/4\cdot \\ \phantom<0>\end\rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin 1 & 0 & 0 & 17/19 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 15/19 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -20/19 & 0 \end \right) $$

Перед тем, как записать ответ, сделаем вывод относительно совместности данной системы. Так как ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang=3\lt<4>$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (имеет бесконечное количество решений). Ответ будет таким: