Как найти площадь петли кривой

Как определить площадь петли гистерезиса

петли гистерезиса
я проделал опыт, при напряжениях 3,6,9,12 В у меня получилось несколько петель гистерезиса теперь.

Экспериментальные петли гистерезиса сталей
Здравствуйте! Может кто-нибудь сможет сказать, где можно найти экспериментальные петли гистерезиса.

Как построить кривую гистерезиса для незамкнутого образца
Вот есть крайне интересная проблема, необходимо определить кривую намагничивания для незамкнутого.

Площадь петли кривой
Помогите плз найти площадь петли кривой x=\sqrt<3>^ <2>y=t-^

Я бы в матлабе посчитал

Я запустил этот скрипт

STATS =
Area: 77540
одна клетка у меня получилась S = 36,25*36,05

77540 / S = 59,3 клеток

Но для такого способа фотография нужна получше. Чтобы сетка была ровной и петля поярче

2. “An improved parametric model for hysteresis loop approximation” (R. V. Lapshin, Review of Scientific Instruments, volume 91, issue 6, number 065106, 31 pages, 2020, DOI: 10.1063/5.0012931)

даётся описание несложной аппроксимирующей модели петли гистерезиса.

Вам нужно определить координаты точек петли вручную по сетке осциллографа или оцифровав сигналы развёртки. В первую очередь требуется найти координаты точки расщепления a и координаты точки насыщения b. Также следует определить наклон касательной к петле в точке расщепления a. После этого в зависимости от требуемой точности нужно найти координаты ещё 8-16 промежуточных точек на петле. Наконец, по виду петли подбираете параметры степеней m и n. В вашем случае m=1, n=3.

Если погрешность аппроксимации окажется большой, используйте фазовые сдвиги или дополнительные параметры, искривляющие петлю, либо гармонический синтез (см. вторую статью). Подбор параметров петли можно выполнить “на глазок” или использовать метод наименьших квадратов. Обычно погрешность аппроксимации улучшенной моделью не превышает 1%.

Обратите внимание на Дополнительный материал (supplementary material), который прилагается ко 2-ой статье (доступ свободный):

Дополнительный материал включает zip-архив рабочих листов Маткада 2001i, в которых детально рассмотрены все аспекты исходной и улучшенной параметрических моделей петли гистерезиса. Те, у кого нет программы Маткад, могут воспользоваться читаемыми рабочими листами Маткада в виде PDF-документа, который прилагается.

После того как будут определены параметры петли, с помощью формул, приведённых во 2-ой статье, легко вычислить площадь петли.

4.I. Вычисление площадей

Внимательно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 193—196. Разберите примеры, приведенные в п° 196. При решении задач с геометрическим содержанием всегда старайтесь сопроводить решение чертежом.

I. Уравнения кривых заданы в декартовой системе координат.

443. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы , прямыми X=I9 х — А и отрезком

Решение. В теоретическом курсе показано, что площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

В данном случае (рис. 5) криволинейная трапеция ABDC9 площадь которой мы вычисляем, ограничена параллельными прямыми AB и CD, отрезком прямой AC и отрезком кривой линии BD.

Искомая площадь равна:

444. Вычислить площадь трапеции, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой х = 2.

Решение. Из рисунка 6 видно, что искомая площадь расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно,

445. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми;

Решение. На рисунке 7 изображена фигура, площадь которой мы должны вычислить. Как видно из рисунка, площадь фигуры OBMAO можно представить как разность двух площадей (пл. OBMPO и OAMPU1 где MP — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Ох).

Найдем координаты точки Al. Решая систему уравнений

получим Следов ат ельн о,

Легко видеть, что данную задачу можно решить и другим путем. Искомую площадь можно представить в виде разности двух площадей—пл. OAMNO и пл. OBMNO (MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Oy):

Ясно, что значение площади OBMAO не зависит от способа ее вычисления.

446. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой:

Решение. Из уравнений кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ох. Следовательно, можно легко вычислить половину искомой площади (см. рис. 8).

Рекомендуем провести самостоятельно подробное исследование кривой.

Записав уравнение кривой в виде легко найдем точки пересечения кривой с осью Ох, положив у = 0. Мы получим. Учитывая все сказанное, окончательно найдем:

447. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой w И осью Ох, если

Вся площадь петли равна:

Решение. Из рисунка 9 видно, что искомая площадь на сегменте Расположена над осью Ох, а на сегменте

Под осью Ох. Следовательно, достаточно вычислить площадь, ограниченную полуволной синусоиды на отрезке |, и удвоить полученный результат:

448. Найти всю площадь фигуры, ограниченной кривыми , прямыми X = 3, X = —2 и осью Ох.

Решение. Из рисунка 10 видно, что искомая площадь может быть представлена как сумма площадей:

где BA и MN—перпендикуляры, опущенные из точек В и Al на ось Ох.

Определим координаты точек В, С, М, Р. Для этого решим следующие системы уравнений:

Решая систему (I) уравнений, найдем координаты точек В и M : В (I, 2), M <— I, 2).

Решая систему (2) уравнений, найдем координаты точки С : С (3, К».

Решая систему (3) уравнений, найдем координаты точки P : Р(— 2, 5).

Найдем теперь значения промежуточных площадей:

449. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

450. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

451. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами:

452. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

453. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

454. Найти площадь «Ьигуоы. огоаниченной линиями:

455. Найти площадь круга:

456. Найти площадь эллипса

457. Найти площадь, заключенную между кривыми

458. Найти площадь фигуры, ограниченной гипоци-лоидой

459. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой

460. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой , осями координат и прямой х=3,5.

461. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми:

462. Найти площадь частей эллипса отсеченных гиперболой

463. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

464. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми

2. Кривые заданы параметрическими уравнениями. Если кривая, ограничивающая площадь плоской фигуры, задана параметрическими уравнениями:

где функции Непрерывны вместе со своими про

изводными на То для вычисления площади

плоской фигуры следует в определенном интеграле произвести замену переменной:

465. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом!

Решение. Эллипс расположен симметрично относительно обеих осей (рис. Последовательно, можно вычислить сначала • часть площади данной фигуры. Вычислим площадь той части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте:

Найдем пределы интегрирования для переменной t из условий:

466. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:

PsP ш е н и е. Искомая площадь изображена на рисунке 12. Вычислим сначала площадь тсй части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте, это будет

часть всей искомой площади. Найдем пределы интегрирования для переменной / из условий:

467. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды: И осью Ох.

Решение. Из рисунка 13 видно, что при изменении параметра t от 0 до 2л точка (ху у) обегает всю арку циклоиды, причем х изменяется в промежутках от 0 до 2т. Следовательно,

Вся площадь, ограниченная астроидой, равна:

468. Вычислить площадь четверти круга: x = 2cos t, y = 2sint.

469. Найти площадь, ограниченную эволютой эллипса:

(.Эволютой кривой называется геометрическое место её центров кривизны. Эволютой эллипса является деформированная астроида.)

470. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:

х = a(2cost — cos 21), у = a (2sin/— sin 2/).

3. Кривые заданы в полярной системе координат. Из

теоретического курса известно, что площадь S1 ограниченная неподвижным полярным радиусом г0, подвижным полярным радиусом г и кривой г — /(ф), может быть вычислена по следующей формуле:

S = — j J/-2 Лр = J — j /(<р)]2<*Ф.

471. Вычислить площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда г — а<р (рис. 14).

Решение. Найдем пределы интегрирования. Первый виток спирали образуется при изменении параметра t от О до 2зх. Следовательно,

472. Найти площадь, ограниченную одним лепестком кривой г = a sin 2<р.

Решение. Пределы интегрирования для <р найдем из условий:

473. Вычислить площадь, ограниченную кривой г = = a cos ф.

Решение. Данная кривая—окружность радиуса у,

проходящая через полюс, расположенная симметрично относительно полярной оси. Эго легко увидеть, если перейти к декартовым координатам. (Проделайте это самостоя-

тельно.) Тогда S = я — — = —я;а2.

Можно было найти искомую площадь, используя полярное уравнение данной кривой. Пределы для q> найдут* ся из условия cos ф> 0, следовательно,

S = J a® cos2 ф dq> =

Таким образом, имеем:

474. Вычислить площадь OAB (см. рис. 15), ограниченную полярными радиусамиг, = OA и r2 = OB и дугой логарифмической спирали

Решение. Будем считать, что полярному радиусу г, соответствует полярный угол фг, а полярному радиусу г2 соответствует полярный угол ф2. Тогда

475. Найти площадь петли листа Декарта:

Решение. Перейдем к полярным координатам с помощью известных соотношений:

Уравнение данной кривой в полярных координатах примет вид:

, в этом промежутке изменения полярного

углаф кривая опишет петлю. При Или

знаменатель стремится к нулю и, следовательно, р —» оо. Это значит, что существует асипмтота данной кривой. Найдем ее, пользуясь исходным уравнением кривой в лекап-товых координатах. Разделив обе части равенства

Из полученного уравнения кривой видно, что При

и, следовательно, таким образом,

Подставляя вместо k и b найденные значения, получим искомое уравнение асимптоты данной кривой:

Для построения данной кривой совместим полюс с началом декартовых координат и будем считать положительное направление оси Ox совпадающим с направлением полярной оси. Составим таблицу значений

Соединяя теперь плавной кривой полученные точки, получим петлю данной кривой (рис. 16).

Найдем площадь, ограниченную петлей листа Декарта. Из геометрических соображений видно, что полярный угол <р

изменяется от 0 до .Tаким образом, находим:

476. Вычислить площадь круга

477. Найти площадь, ограниченную петлей лемнискаты>

Построив предварительно данную кривую.

478. Найти площадь, ограниченную кривой:

479. Найти площадь, ограниченную одним лепестком кривой:

480. Найти площадь фигуры, ограниченной вторым витком спирали Архимеда р = аф и отрезком полярной оси, соединяющим концы первого и второго витков (см. рис. 14).

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Определение 1. Пусть Ф – фигура на плоскости. Рассмотрим множествоВычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пусть Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения— площади фигур Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияи Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения. Фигура Ф называется квадрируемой, если Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПри этом число Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(1) называется площадью фигуры Φ (по Жордану).

Замечание. Для квадрируемости фигуры Ф необходимо и достаточно,
чтобы Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

В частности, для криволинейной трапеции Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(см. § 24) в качестве Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияи Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияможно рассматривать нижние и верхние суммы Дарбу (см. рис. 3, 4, 5 из § 24). И тогда, с учетом § 24, из (1) следует, что Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(2)
Пусть Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения— непрерывны на Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияТогда из (2) следует, что для фигуры Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияВычисление площадей плоских фигур с примерами решения(3)
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 1.

Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Точки пересечения линий Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− найдем, решив систему:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Сверху фигура ограничена прямой y=3-x, снизу – параболой Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения. Поэтому
по формуле (3): Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 2.

Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Рис.6. Фигура Ф.

Снизу фигура ограничена параболой Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения, сверху – кривой Вычисление площадей плоских фигур с примерами решениязаданной двумя аналитическими выражениями.
Поэтому разобьем отрезок интегрирования [0, 3] на два: [0,1] и [1, 3] , и
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 3.

Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Точки пресечения линий Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− найдем, решив систему:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

За независимую переменную в данном случае удобно считать у , а х – функцией от у.
Справа фигура ограничена прямой x=3- y, слева – параболой Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения. По формуле (3): Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(см. пример 1).

Замечание. Необходимо помнить, что Вычисление площадей плоских фигур с примерами решениякогда функция y=f(x) не является знакопостоянной, равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных выше оси Ох (со знаком «+») и ниже оси Ох (со знаком «-»).

Пример 4.

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Рассмотрим кривую на плоскости, заданную параметрически в виде
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения— непрерывны при Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПредположим вначале, что кривая не имеет точек самопересечения ( простая кривая ) или образует петлю (если — простая замкнутая кривая ).

Пример 5.

а) График любой непрерывной функции Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− простая кривая: Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(в качестве параметра берем х).
б) График любой непрерывной функции Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− простая кривая: Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(в качестве параметра берем у).
в) Эллипс Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− простая замкнутая кривая:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(см. пример 8 § 17).
г) Кривая Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(см. пример 10 §17) не является простой (имеет точки самопересечения при Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Рассмотрим криволинейную трапецию Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Площадь трапеции Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− непрерывно-
дифференцируема на промежутке Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияТогда по формуле (1) § 26:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(4) где Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Таким образом Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(5) (кривую удобно обходить так, чтобы область Ф оставалась слева).

Аналогично, для криволинейной трапеции Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решениянепрерывно-дифференцируемая на промежутке Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияфункция, то
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решениягде Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

При движении от А к В область остается слева.
Рассмотрим простую замкнутую кривую
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПлощадь Ф, которую она ограничивает можно находить как по формуле (5), так и по формуле (6):
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияа также по формуле: Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(7) и при изменении параметра t от Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияполный обход контура проходит против часовой стрелки (область остается слева).

Пример 6.

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми х = 0 и х = 3.
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения(см. пример 1 § 26).
С другой стороны кривая задается параметрически в виде:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Поэтому, по формуле (5)
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 7.

Найдем площадь ограниченную эллипсом Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения— параметрическое уравнение эллипса.

Найдем площадь по формуле (7)
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 8.

Найти площадь петли кривой:Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− четная относительно t функция, Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− нечетная, поэтому кривая симметрична относительно оси Оу .
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения− точка самопересечения кривой.

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

При изменении t от -1 до 1 обход контура проходит против часовой стрелки.
По формуле (6):
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Рассмотрим замкнутую кривую, имеющую точки самопересечения. В этом случае, проинтегрировав по всему контуру в формулах (5) – (7), мы получим алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных каждой пройденной петлей взятых со знаком «+», если петля проходится против часовой стрелки, и со знаком «-», если петля проходится по часовой стрелке.

Пример 9.

Рассмотрим кривую Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПри изменении ϕ от 0 до 2π каждый лепесток кривой проходится против часовой стрелки, поэтому Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения— площадь
ограниченная четырьмя лепестками.

Площадь одного лепестка:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисления проводим в пакете
Mathematica:
Ячейка Input:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Ячейка Output: Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Иногда удобнее найти площадь одного лепестка и результат умножить на
количество лепестков.

Пример 10.

Рассмотрим кривуюВычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

При изменении ϕ от 0 до 2π каждый лепесток проходится дважды (и оба раза против часовой стрелки); Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПлощадь одного лепестка : Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияплощадь всей фигуры равна Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 11.

Рассмотрим кривуюВычисление площадей плоских фигур с примерами решения
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Фигура, ограниченная малой петлей обходится дважды (и оба раза против часовой стрелки). Площадь, ограниченная внешним контуром:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПлощадь ограниченная внутренним контуром:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Пример 12.

Рассмотрим кривую Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Один лепесток проходится по часовой стрелке, второй – против:
Вычисление площадей плоских фигур с примерами решенияПлощадь одного лепестка: Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми и графиком функции . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция неотрицательна на отрезке и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

где — площадь внутренней ступенчатой фигуры, —площадь внешней ступенчатой фигуры, и . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

Таким образом, числа и разделяют одни и те же числовые множества: . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции , сверху графиком функции , а слева и справа прямыми (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями .

Пусть теперь функция непрерывна на отрезке и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке функции , которая на принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл дает значение площади криволинейной трапеции меняет знак на отрезке в конечном числе точек, то значение интеграла дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции , отрезками оси и, быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , осью абсцисс и прямыми (рис. 33).

Решение. Имеем: (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника и прямоугольного треугольника

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Записав уравнение кривой в виде , найдем точки пересечения ее с осью , положив . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

Воспользовавшись формулой из таблицы при , получим:

Значит, окончательно имеем:

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая задана в параметрической форме

где функция монотонна на отрезке , причем , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке соответствует значение — значение . Поэтому

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами и — полярное уравнение кривой и и непрерывна на .

Разобьем данный сектор на частей лучами

и рассмотрим k-й частичный сектор (рис. 39). Пусть — наименьшее значение функции в , a — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Построим два круговых сектора с радиусами и . Обозначим через величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна , а площадь внешней фигуры равна — . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу и для интеграла . Так как функция непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция . Поэтому для любого найдется такое разбиение отрезка , что . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

В то же время по определению определенного интеграла

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы (рис. 40).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *