Как решать интегралы если dx в числителе

Интегрирование рациональных функций (рациональных дробей). Первая часть.

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме «Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби». Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов.

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме, посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Отношение двух многочленов $\frac$ называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной.

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q < 0$.

Для $\int\fracdx$ делается замена $t=x+\frac

$, после полученный интерал разбивается на два. Первый будет вычисляться с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид $I_n=\int\frac

$. Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

Вычисление такого интеграла разобрано в примере №7 (см. третью часть).

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

Если подынтегральная дробь является элементарной, то применить формулы (1)-(4).
Если подынтегральная дробь не является элементарной, то представить её в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство – он универсален. Т.е. пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому почти все замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка) делаются с таким расчётом, чтобы после оной замены получить под интералом рациональную дробь. А к ней уже применить алгоритм. Непосредственное применение этого алгоритма разберём на примерах, предварительно сделав небольшое примечание.

Формулы (1)-(4) предполагают, что коэффициент перед $x$ (в формулах (1) и (2)) и коэффициент перед $x^2$ (в формулах (3) и (4)) равен единице. Но как быть, если этот коэффициент не равен единице? В этом случае достаточно просто вынести его за скобки:

Кстати сказать, это касается не только элементарных дробей. Например, если требуется разложить дробь $\frac$, то её представим в такой форме:

В дальнейших примерах я затрону случай, когда коэффициент перед старшим членом многочлена в знаменателе не равен $1$. Но каждый раз этот случай будет разрешён по стандартной схеме: вынести «мешающий» коэффициент за скобки и перенести его в числитель (или вообще вынести за знак интеграла).

Перейдём к примерам. Первый пример – тренировочный, на использование формул интегрирования элементарных дробей (пока что без использования формулы №4, она будет рассмотрена отдельно).

$\int\frac$;
$\int\frac$;
$\int\fracdx$.

1) Для нахождения интеграла $\int\frac$ можно сразу применить формулу (1):

В принципе, этот интеграл несложно получить без механического применения формулы (1). Если вынести константу $7$ за знак интеграла и учесть, что $dx=d(x+9)$, то получим:

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему «Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)». Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формула (1) доказывается теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении «вручную».

2) Вновь есть два пути: применить готовую формулу или обойтись без неё. Если применять формулу (2), то следует учесть, что коэффициент перед $x$ (число 4) придется убрать. Для этого оную четвёрку просто вынесем за скобки:

Теперь настал черёд и для применения формулы (2):

Можно обойтись и без применения формулы (2). И даже без вынесения константы $4$ за скобки. Если учесть, что $dx=\fracd(4x+19)$, то получим:

Подробные пояснения по нахождению подобных интегралов даны в теме «Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)».

3) Нам нужно проинтегрировать дробь $\frac$. Эта дробь имеет структуру $\frac$, где $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однако чтобы убедиться, что это действительно элементарная дробь третьего типа, нужно проверить выполнение условия $p^2-4q < 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\fracdx$. Первый путь – банально использовать формулу (3). Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

Решим этот же пример, но без использования готовой формулы. Попробуем выделить в числителе производную знаменателя. Что это означает? Мы знаем, что $(x^2+10x+34)’=2x+10$. Именно выражение $2x+10$ нам и предстоит вычленить в числителе. Пока что числитель содержит лишь $4x+7$, но это ненадолго. Применим к числителю такое преобразование:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10)-13. $$

Теперь в числителе появилось требуемое выражение $2x+10$. И наш интеграл можно переписать в таком виде:

Разобьём подынтегральную дробь на две. Ну и, соответственно, сам интеграл тоже «раздвоим»:

Поговорим сперва про первый интеграл, т.е. про $\int \frac$. Так как

то в числителе подынтегральной дроби расположен дифференциал знаменателя. Короче говоря, вместо выражения $(2x+10)dx$ запишем $d(x^2+10x+34)$.

Теперь скажем пару слов и о втором интеграле. Выделим в знаменателе полный квадрат: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Кроме того, учтём $dx=d(x+5)$. Теперь полученную нами ранее сумму интегралов можно переписать в несколько ином виде:

Если в первом интеграле сделать замену $u=x^2+10x+34$, то он примет вид $\int\frac$ и возьмётся простым применением второй формулы из таблицы неопределенных интегралов. Что же касается второго интеграла, то для него осуществима замена $u=x+5$, после которой он примет вид $\int\frac$. Это чистейшей воды одиннадцатая формула из таблицы неопределенных интегралов. Итак, возвращаясь к сумме интегралов, будем иметь:

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы (3), что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула (3) доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла. Полагаю, что у внимательного читателя тут может возникнуть один вопрос, посему сформулирую его:

Если к интегралу $\int \frac$ применять вторую формулу из таблицы неопределенных интегралов, то мы получим следующее:

Почему же в решении отсутствовал модуль?

Ответ на вопрос №1

Вопрос совершенно закономерный. Модуль отсутствовал лишь потому, что выражение $x^2+10x+34$ при любом $x\in R$ больше нуля. Это совершенно несложно показать несколькими путями. Например, так как $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то $x^2+10x+34 > 0$ при любом $x\in R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.

$\int\frac=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac=-\frac+C$;
$\int\fracdx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac\arctg\frac+C.$

На первый взгляд подынтегральая дробь $\frac$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $\frac$. Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $\frac$ обязательным является условие $p^2-4q < 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коэффициент перед $x^2$ не равен единице, посему проверить условие $p^2-4q < 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $\frac$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $\int\fracdx$ формулу (3) нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано тут. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

Теперь разложим дробь $\fracx+4>\right)(x-2)>$ на элементарные:

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-\frac$:

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

Нам нужно проинтегрировать дробь $\frac$. В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе – многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $2 < 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

Интеграл от дроби

Нужно запомнить, что интеграл от дроби не равен интегралу числителя, деленному на интеграл знаменателя:

$\int{\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}dx}\ne \frac{\int{f\left( x \right)dx}}{\int{g\left( x \right)dx}}$

Для интегрирования подобных выражений существует несколько методов, которые зависят от вида подынтегральной функции.

Первый метод вычисления интеграла от дроби

Подынтегральная функция является отношением двух многочленов и представляет собою неправильную дробь (степень числителя больше или равна степени знаменателя). Тогда нужно выделить целую часть, для этого в числителе либо нужно выделить выражение, стоящее в знаменателе, либо поделить числитель на знаменатель в столбик.

$\int{\frac{x-1}{x+2}dx}$

1) Поделим числитель на знаменатель в столбик:

$\frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$

2) Выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе:

$\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=\frac{\left( x+2 \right)-3}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$

$\int{\frac{x-1}{x+2}dx}=\int{\left( 1-\frac{3}{x+2} \right)dx}$

Интеграл от разности двух функций равен разности интегралов от каждой из них:

$\int{\frac{x-1}{x+2}dx}=\int{dx}-3\int{\frac{dx}{x+2}}=x-3\ln \left| x+2 \right|+C$

Замечание. Если степень многочлена, стоящего в числителе, большее степени многочлена, стоящего в знаменателе, то рациональнее для выделения целой части делить числитель на знаменатель в столбик.

Второй метод

Для дробей типа

$\int{\frac{dx}{a{{x}^{2}}\pm {{c}^{2}}}} \text{ },\text{ } \int{\frac{dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}\pm {{c}^{2}}}}} \text{ },\text{ }\int{\frac{dx}{\sqrt{{{c}^{2}}-a{{x}^{2}}}}},\ a,c\ne 0$

применяется метод замены переменной или заданный интеграл сводится к табличным.

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}$

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}=\int{\frac{dx}{2\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{4}}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}}$

Свели данный интеграл к табличному, который называется «длинный логарифм»:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}}}}=\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}\pm {{a}^{2}}} \right|+C$

Тогда для заданного интеграла имеем:

$\int{\frac{dx}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}} \right|+C$

Третий метод вычисления интеграла от дроби

$\int{\frac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}} \text{ },\text{ } \int{\frac{dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}}$

находятся с помощью выделения полного квадрата в знаменателе, что позволит свести их к табличным интегралам.

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}$

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-1}}=\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{5}{4}}}=$

$=\int{\frac{dx}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}}$

Сделаем замену переменных:

$x+\frac{1}{2}=t \text{ } \Rightarrow \text{ } dx=dt$

Интеграл принимает вид:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}}$

Таким образом, свели интеграл к табличному интегралу – «высокий логарифм»:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=\frac{1}{2a}\ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C$

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}\ln \left| \frac{t-\frac{\sqrt{5}}{2}}{t+\frac{\sqrt{5}}{2}} \right|+C$

Возвращаемся к старой переменной и упрощаем:

$\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}+x-1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2\left( x+\frac{1}{2} \right)-\sqrt{5}}{2\left( x+\frac{1}{2} \right)+\sqrt{5}} \right|+C=\frac{\sqrt{5}}{5}\ln \left| \frac{2x+1-\sqrt{5}}{2x+1+\sqrt{5}} \right|+C$

Четвертый метод

Для интегралов вида

$\int{\frac{\left( f\,x+g \right)dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}} \text{ },\text{ } \int{\frac{\left( f\,x+g \right)dx}{\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}}}$

применяется следующий подход. В числителе выделяется производная знаменателя, далее дробь почленно делится: получаем сумму двух интегралов, в числителе одного из них стоит производная знаменателя, а второго – константа. Первый из интегралов находится методом замены, метод нахождения второго описан выше.

Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная дифференцированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразную, мы получим исходное подынтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференцируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов

Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
— разложить дробь на простейшие
— выделить полный квадрат.
— создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
— выделить под корнем полный квадрат
— создать в числителе дифференциал подкоренного выражения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin 2 +cos 2 =1
m,n – четные, sin 2 x=(1-cos2x)/2 и cos 2 x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
— Применяем свойство tg 2 x=1/cos 2 x — 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:
Пример решения интегралов
Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:
Пример решения интегралов
Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t 5 . t 5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t 5 — 5, dx = (t 5 — 5)’ = 5t 4 . Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Пример 3. Решение интеграла:
Пример решения интегралов
Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэффициент 1/2 перед интегралом получился в результате замены dx на 1/2*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и 1/2*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.
Пример решения интегралов
В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию . Программирование одна из дочек математики!

Как правильно записать интеграл в калькулятор, если dx в числителе?

Как правильно записать интеграл в калькулятор, если dx в числителе? Что написать вместо dx? Скрин интерфейса калькулятора прилагается.

Поле нужно заполнить.

Поле нужно заполнить. Не понимаешь, о чем спрашивают — не отвечай. Или же твоя жизненная миссия — оставить коммент под каждым вопросом?

Не надо его никуда писать, вон он (а точнее она) в конце строки автоматом подставился. О чем, к слову, написано чуть выше в инструкции как заполнять строки =)

А вот главу про интегралы стоит прочитать ещё разок.. «dx в числителе» — такое преподавателю не говорите никогда. Это он сразу спалит, что ничего не понял.

Это не так работает. Нужно написать какие-то символы в поле числителя.