Почему школьную математику называют элементарной

Почему школьную математику называют элементарной?

Что-то целое состоит из частиц, или элементов. Некоторые элементы являются базовой основой предмета. Одним из основных базовых элементов математики в начальной школе является арифметика, позже добавляются элементы «алгебра», «геометрия», но, в конце концов, большинство после школы использует только арифметику для элементарного подсчета оставшихся дней до получки)

Арифметической прогрессией называется ряд чисел,называемых членами арифметической прогрессии, при котором каждый последующей член образуется путём суммы предыдущего члена с некоторым постоянным числом, называемым разностью арифметической прогрессии. Итак, если мы имеем А(n) A»энное», a следующим членом назовём А(n+1) и d — будет разностью арифметической прогрессии, то согласно определения:

А(n+1)= А(n) + d. Отсюда: d = А(n+1)- А(n) Разностью арифметической прогресси является число, пролученное вычитанием из какого либа её члена, ближайшего, перед ним стоящего члена.

В качестве примера можно привести 1,2,3,4,5,6. представлена арифметическая прогрессия, разность которой d = 1, а первый член её А(1)= 1

Сначала находим разность чисел: 120-66=54.

Неизвестное число обозначаем через Х, Тогда по условию 9*Х=54. Решаем полученное уравнение, находим Х, для этого 54:9=6. Х=6. Ответ: неизвестное число равно 6.

Делаем проверку: 6*9=120-66.

Коля мог идти до школы сколь угодно — от 1-й минуты до 29 минут, если конечно, занятия в школе начинались в 9:00.

Если Коля приходил раньше, он ждал Ваню, или наоборот. В любом случае они встречались у школы и далее шли вместе на уроки.

Будем считать, что глубина протектора автомобильной шины меняется равномерно, то есть с одинаковой скоростью. Иначе однозначно ответить на ваш вопрос нельзя. Давайте решать задачу по действиям.

1) 8 — 2.3 = 5.7 (мм) — на столько миллиметров изменилась глубина протектора автомобильной шины при пробеге в 32 178 километров

2) 5.7 : 32 178 = 0,00018 (мм) — на столько миллиметров изменилась бы глубина протектора автомобильной шины при пробеге в 1 километр

3) 5.7 : 32 178 * 10 000 = 1.771 (мм) — на столько миллиметров изменилась бы глубина протектора автомобильной шины при пробеге в 10 000 километров

Чтобы решить правильно данную алгебраическую задачу нужно вспомнить (если знал) следующие темы: части числа, пропорции

По условию задачи, число хвойных деревьев в парке составляет 7 частей, число лиственных — 13.

Следовательно, общее число деревьев, выраженное в частях равно сумме частей — 7 + 13 = 20

Далее задачу можно решить двумя способами

(100 x 7) /20 = 700/20 = 35

Двадцать частей соответствуют ста процентам. Необходимо узнать сколько процентов составляет одна часть.

Элементарная математика

От простого к сложному, как правило, именно по такому пути проходит развитие науки. Математика в этом отношении неисключение.

С VI- XVIII веках до нашей эры длился полный уникальных открытий период в развитии математической науки. После нескольких веков накопления эмпирического материала, сформированного в разнообразные приемы и методы арифметических вычислений, наступает второй период развития математики, известный как период элементарной математики. К этому времени математика становится самостоятельной наукой, с целым рядом своеобразных понятий и методов. Теперь начинается систематическое и логически последовательное посторенние основ математической науки.

Наиболее ценный вклад в становление математики внесли ученые Древней Греции. Главным достижением математической мысли того времени является становление и развитие понятия о доказательстве. В данный период развития цивилизации ученые стремились к четкому, последовательному и логическому построению своих мыслей. Древние греки строго выстраивали свои мысли и высказывания, в результате чего переход от одного смыслового звена к следующему не допускал места сомнениям, был неоспорим и заставлял всех принимать его без спора. Такой метод логических рассуждений получил название дедуктивного.

Дошедшие до нас тексты древнегреческого ученого Фалеса из Милета, позволяют считать его первым философом, который использовал в математике дедуктивный метод и доказательства.

Именно греческий ученый Фалес из Милета доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и другие геометрические утверждения.

Метод логического доказательства математических утверждений Фалеса был всесторонне развит и усовершенствован учеными пифагорейцами в конце VI в. — середине V в. до н. э. Ученые пифагорейской школы доказали математическое утверждение, известное нам как теорема Пифогора.

Именно пифагорейцы предприняли первую попытку к сведению геометрии и алгебры к арифметике. По их мнению, «все есть число», при этом под словом «число» ученые пифагорейской школы подразумевали лишь натуральные числа. Эта предположение было опровергнуто самими же пифагорейцами. Новое открытие стало поворотным пунктом в развитии математической науки. Открытие заключалось в том, что пифагорейцы доказали несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Доказательство, основанное на теореме Пифагора, обнаружило несостоятельность и бессмысленность попыток свести геометрию к натуральным числам. Проанализировав доказательство, были сформированы основные положения Теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.).

Следующим этапом развития элементарной математики явилась попытка греческих ученых обосновать математику, оперируя геометрическими понятиями. С этого момента начинается развитие геометрической алгебры. Теперь, к примеру, сложение величин объясняется как сложение отрезков, а умножение как результат построения прямоугольника с заданными сторонами. Надо сказать, что при этом, древнегреческие ученые говорили не о равенстве отрезков, а о равенстве длин отрезков. Геометрический подход к алгебре сохранился и по сей день в некоторых терминах, к примеру, квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.

Вклад древнегреческих математиков трудно переоценить. Благодаря их трудам математическая наука продвинулась очень далеко. Именно древние греки классифицировали квадратичные иррациональности, открыли все виды правильных многогранников, вывели основные формулы для определения объемов тел, изучили кривые линии — эллипс, гиперболу, параболу, спирали.

В становлении математики этого периода главную роль сыграла книга Евклида «Начала». Выдающийся труд представлял собой синтез и систематизацию основных достижений математической науки. Книга Евклида на протяжении многих веков служила главным источинком знаний, была уникальным образцом строгого, логически стройного изложения математических доказательств. «Начала» подвели промежуточный итог в развитии математических идей.

Надо сказать, что элементарная математика Древней Греции не знала отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Они появятся лишь в III веке нашей эры в трудах александрийского математика Диофанта. К сожалению, зачатки буквенного исчисления не получили дальнейшего развития в Древней Греции, в связи с принятием христианства. В 529 г. император Юстиниан под страхом смертной казни запретил занятия математикой, как одно из проявлений языческой веры.

Теперь центр математической науки перемещается на Восток, в Индию и арабские страны, а также в Китай.

В конце рассматриваемого периода были введены отрицательные числа и ноль, развита тригонометрия, создана новая область математики — алгебра, как буквенное исчисление. Таким образом, период элементарной математики завершается. Теперь направление математических исследований изменяется в сторону математических величин.

Элементарная математика

Элементарная математика — Элементарная математика  несколько неопределённое понятие, охватывающее те разделы математики, которые изучаются в средней школе. Преподавание элементарной математики в России В России обучение математике начинается с 1 класса. В начальной… … Википедия

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределенное понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Большой Энциклопедический словарь

элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела. * * * ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА, несколько… … Энциклопедический словарь

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в к рых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Естествознание. Энциклопедический словарь

МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия

Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

МАТЕМАТИКА — уч. предмет в школе, в содержание к рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем.… … Российская педагогическая энциклопедия

Элементарная геометрия — часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия

Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Элементарная математика

Элементарная математика — совокупность тех разделов математики, которые имеют сравнительно невысокий уровень абстракции и, прежде всего, не используют таких понятий, как бесконечность и предел. Остальная часть математики считается высшей, однако четкую границу между элементарной и высшей математикой провести очень трудно.

Бытует мнение, что элементарная математика состоит, по определению, в точности из тех разделов, которые преподаются в средней школе. Это не совсем верно: в школьное образование уже давно (наиболее активно — с начала XX века) внедряются элементы высшей математики.

Так, в современных российских школах, наряду с алгеброй, в старших классах изучаются также и начала математического анализа (непрерывность, производная, интеграл и даже простейшие примеры дифференциальных уравнений), в геометрии используются некоторые методы аналитической геометрии, а весь курс математики средней школы пронизывают элементы теории вероятностей и статистики. Необходимость постоянных изменений школьной программы обусловлена и развитием самой математики, и все более активным ее применением в других дисциплинах естественнонаучного и гуманитарного цикла (в физике, химии, биологии, экономике, социологии).

Элементарная математика вовсе не является элементарной в смысле простоты. Такое ее название отражает, скорее, ее первоначальность, или фундаментальность, по отношению ко всей математике в целом.

Включение элементарной математики в школьное образование значительно повышает его качество и является совершенно необходимым для последующих научных исследований или для изучения математики как самостоятельной науки. Одним из способов отбора талантливой молодежи с целью ее вовлечения в дальнейшую учебную и творческую исследовательскую работу является проведение математических олимпиад школьников, конкурсов, конференций и других интеллектуальных соревнований учащихся средних школ.

Традиционно элементарную математику делят на следующие основные составляющие: арифметика, алгебра, геометрия (планиметрия и стереометрия) и элементарные функции. Каждому из перечисленных четырех разделов можно поставить в соответствие свои аналоги из высшей математики, активно использующие абстракции более высокого уровня:

1. арифметике — теорию чисел и вычислительную математику (в этом смысле арифметику, в свою очередь, можно считать элементарной теорией чисел);
2. алгебре (точнее, элементарной алгебре) — линейную, высшую и булеву алгебры;
3. геометрии (точнее, элементарной геометрии) — аналитическую и дифференциальную геометрии, а также топологию;
4. элементарным функциям — математический анализ, теорию функций и дифференциальные уравнения.

Иногда в качестве самостоятельных разделов элементарной математики выделяют еще и тригонометрию, которая привязана и к геометрии, и к элементарным функциям, а также комбинаторику, логику и теорию множеств, которые представляют собой зачатки серьезных разделов высшей математики: теории вероятностей, математической логики и аксиоматической теории множеств.

Среди важнейших тем и проблем, находящихся в центре внимания элементарной математики, можно назвать:

• запись чисел, возникающих в процессе счета или измерения, описание числовых систем, точное или приближенное вычисление значения искомой величины; , их составление по данным задачи и интерпретация полученного ответа;
• описание взаимного расположения геометрических фигур и их элементов, их построение (в частности, с помощью циркуля и линейки), нахождение их численных характеристик — углов, отношений, длин, площадей, объемов;
• исследование зависимостей одних величин от других, в том числе и имеющих практическое содержание (к примеру, времени движения от пройденного пути или от скорости, объема цилиндра от его высоты или радиуса).

Таким образом, элементарная математика восходит непосредственно к окружающей действительности и помогает производить практические операции с реальными объектами. Многие понятия высшей математики имеют свои прообразы в элементарной математике, где они, как правило, не носят абстрактный характер, а именно:

• понятие иррационального числа связано лишь с конкретными элементарными операциями или функциями (скажем, с извлечением корня, логарифмами, тригонометрическими функциями и т.д.);
• рассматриваемые функции ясно определены — они либо заданы формулами (с помощью алгебраических операций), либо имеют конкретную геометрическую интерпретацию (например, тригонометрические функции);
• кривые или поверхности возникают только в связи с конкретными элементарными функциями или геометрическими построениями;
• понятие бесконечности воспринимается не как нечто полностью осуществимое (актуальная бесконечность), а только как отсутствие всякого ограничения (т.е. возможность продолжать рассматриваемое действие сколь угодно далее — потенциальная бесконечность);
• понятие предела последовательности изучается лишь на конкретных примерах и с определенной целью (скажем, периметры вписанных многоугольников — для определения длины окружности);
• понятие предела функции, лежащее в основе таких ее свойств, как непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость, появляется лишь в практических целях (да и то на интуитивном уровне) при исследовании неразрывности конкретного графика, построении касательной к нему, вычислении площади параболического сегмента и т.д.

Историческое развитие математики с ее постоянным разрастанием и усложнением ярко демонстрирует процесс постепенного перерастания элементарной математики в высшую.