Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения
Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.
Угол 
Выведем формулу 
— синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда 
— острые углы в треугольнике 
(рис. 115). 
Выразим площадь треугольника 
дважды:
Треугольник 
— прямоугольный, тогда 
Из прямоугольного треугольника 
имеем: 
и 
Тогда
Приравняем правые части равенств (1) и (2):
Разделим обе части равенства на 
и получим формулу синуса суммы двух углов:
Если углы 
не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.
Например, если 
являются углами второй четверти, то 
— острые углы.
Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы:
Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим: 
Применим формулы приведения к правой части равенства (3): 
— формула синуса суммы двух углов.
Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.
Синус суммы
Воспользуемся полученной формулой 
Выведем формулу синуса разности двух углов.
Для этого 
представим в виде 
и применим формулу синуса суммы двух углов:
Получили формулу синуса разности двух углов:
Синус разности
Вычислим, например, 
Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим: 
Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:
Получили формулу косинуса суммы двух углов:
Косинус суммы
Применим полученную формулу и вычислим, например, 
Представив разность 
в виде суммы 
можно получить формулу косинуса разности двух углов: 
Косинус разности
Найдем, например, 
Пример №1
Решение:
Применим полученные формулы «справа налево»: 
Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.
Разделим числитель и знаменатель дроби на 
тогда:
Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:
Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например, 
Тангенс суммы
Представив разность 
в виде суммы 
можно получить формулу тангенса разности двух углов:
Найдем, например, 
Тангенс разности
Пример №2
Решение:
Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:
Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.
Примеры заданий и их решения
Пример №3
С помощью формул сложения преобразуйте выражение:
Решение:
а) По формуле синуса разности получим:
б) Применим формулу тангенса суммы:
Пример №4
Найдите значение выражения:
Решение:
а) По формуле синуса суммы получим:
б) По формулам приведения получим, что 
Тогда 
Воспользуемся формулой косинуса разности и получим:
в) По формулам приведения 
Тогда 
По формуле тангенса разности:
Пример №5
Решение:
б) По формулам приведения: 
По формуле тангенса разности получим:
Таким образом, 
Пример №6
Решение:
а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:
б) Применим формулу косинуса разности и получим: 
Пример №7
Решите уравнение 
Решение:
Запишем уравнение в виде 
и по формуле синуса разности получим: 
Ответ: 
Пример №8
Вычислите 
если 
Решение:
Применим формулу косинуса разности:
Из основного тригонометрического тождества выразим 
и найдем 
Так как 
то 
Значит, 
или 
Поскольку 
т. е. 
угол второй четверти, то 
Тогда
Пример №9
Докажите тождество 
Решение:
Воспользуемся формулами сложения и получим:
Пример №10
Найдите значение выражения:
Решение:
9.
Пример №11
Найдите множество значений функции
Решение:
Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде 
Так как 
Таким образом, имеем: 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Сумма и разность углов
Улыбнитесь друг другу. Подарите и мне вашу улыбку. Ведь улыбка украшает человека и дарит хорошее настроение. И пусть этот урок принесёт вам радость от новых открытий, от общения друг с другом и наполнит ваши души прекрасными чувствами.
-Что вы ждёте от этого урока?
Актуализация знаний
Л 60 х 40 : 800 х 9 х 2=54 О 18 х 2 : 6 х 7 + 29= 71
Г 9 х 2 х 9 х 5 – 610=200 Г 4 х 40 + 280 : 70 х 5=180
Расположите ответы в порядке убывания: 200У, 180 Г,71О, 54 Л. (Оцените)
— Какие виды углов вы знаете? (развернутый, прямой, острый, тупой)
— Покажите руками: прямой угол, острый, тупой, развернутый.
Работа со спичками: постройте из спичек угол 180 гр., угол 90гр., смежные углы.
— Почему именно это слово было зашифровано? (Продолжаем измерять углы)
— С помощью какого инструмента измеряют величину угла? (транспортир)
-Назовите единицу измерения угла (градус)
Для того, чтобы измерить углы, надо вспомнить алгоритм измерения:
Совместить вершину угла с центром транспортира.
Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила черезнуль выбранной шкалы транспортира.
Найти штрих на шкале, через который проходит вторая сторона угла. Полученное число это и есть величина угла.
Проверить, соответствует ли полученная мера угла его виду.
2. Формулирование темы и целей.
— Вы уже догадались чем мы будем заниматься уроке? (измерять углы) Тема: Измерение углов. Еще мы будем складывать углы и вычитать. Тема: Сумма и разность углов.
3.Повторение и закрепление изученного.
1. Работу по учебнику
№1. (измерьте углы). Проверка в парах.
Стоп, урок! Стоп, дела! Отдыхать пришла пора!
Игра «Истина- ложь» истина – хлопаем, ложь – топаем
1.Острым называют угол, который больше прямого. (Нет)
2. Тупой угол всегда больше прямого и меньше развёрнутого? (да)
3. Единица измерения углов: килограмм? (нет)
4. Тупой угол меньше прямого угла. (нет)
5. Угол — фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. (да)
6. биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам. (да)
7. два угла можно сравнить с помощью наложения (да)
8. величина острого угла равняется 126градусам ( Нет)
9. ар- единица измерения площади (да)
№2 (измерьте углы)
Самостоятельно : № 12 или №1 (1столб.)
Итог урока. Рефлексия.
— Чему научились сегодня на уроке?
Какую цель ставили в начале урока? Все ли удалось?
Кому было трудно?
— Чем мы сегодня занимались на уроке? (измеряли углы, складывали, вычитали)
Тригонометрические функции суммы и разности углов
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
О сайте
На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.
Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.
calcsbox.com
На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.
Как найти разность углов
Разделы 
Дополнительно
Пример 1. На рис. изображены два угла с общей начальной стороной $\bar
Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $\alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar
Разность двух углов. 
Под разностью двух углов $\alpha$ и $\beta$, которую обозначим $\alpha — \beta$, мы будем понимать такой третий угол $\gamma$, который в сумме с углом $\beta$ дает угол $\alpha$, т. е. $\gamma = \alpha — \beta$, если $\beta + \gamma = \alpha$. Разность двух углов $\alpha$ и $\beta$ можно трактовать как сумму углов $\alpha$ и $- \beta$. В самом деле, $[\alpha + (- \beta)] + \beta = \alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.