Как найти разность углов

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.

Угол Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Выведем формулу Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения— синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения— острые углы в треугольнике Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения(рис. 115). Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Выразим площадь треугольника Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решениядважды:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Треугольник Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения— прямоугольный, тогда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияИз прямоугольного треугольника Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияимеем: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияи Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияТогда

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Разделим обе части равенства на Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияи получим формулу синуса суммы двух углов:

  • Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Если углы Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияне являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияявляются углами второй четверти, то Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения— острые углы.

Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы:

  • Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Применим формулы приведения к правой части равенства (3): Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения— формула синуса суммы двух углов.

Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.

Синус суммы

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Воспользуемся полученной формулой Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Выведем формулу синуса разности двух углов.

Для этого Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияпредставим в виде Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияи применим формулу синуса суммы двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Получили формулу синуса разности двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус разности

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Вычислим, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Получили формулу косинуса суммы двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Косинус суммы

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Применим полученную формулу и вычислим, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Представив разность Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияв виде суммы Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияможно получить формулу косинуса разности двух углов: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Косинус разности

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияНайдем, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №1

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Применим полученные формулы «справа налево»: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияВыведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияРазделим числитель и знаменатель дроби на Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решениятогда:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тангенс суммы

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияПредставив разность Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияв виде суммы Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияможно получить формулу тангенса разности двух углов:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияНайдем, например, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тангенс разности

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №2

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.

Примеры заданий и их решения

Пример №3

С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

а) По формуле синуса разности получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б) Применим формулу тангенса суммы:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №4

Найдите значение выражения:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

а) По формуле синуса суммы получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б) По формулам приведения получим, что Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тогда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияВоспользуемся формулой косинуса разности и получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

в) По формулам приведения Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Тогда Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

По формуле тангенса разности:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №5

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б) По формулам приведения: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

По формуле тангенса разности получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Таким образом, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №6

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

б) Применим формулу косинуса разности и получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №7

Решите уравнение Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Запишем уравнение в виде Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияи по формуле синуса разности получим: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Ответ: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №8

Вычислите Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияесли Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Применим формулу косинуса разности:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Из основного тригонометрического тождества выразим Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияи найдем Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияТак как Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решениято Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияЗначит, Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияили Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияПоскольку Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решеният. е. Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияугол второй четверти, то Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияТогда

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №9

Докажите тождество Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулами сложения и получим:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Пример №10

Найдите значение выражения:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияСинус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения9.

Пример №11

Найдите множество значений функции

Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Решение:

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

Так как Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решенияТаким образом, имеем: Синус, косинус, тангенс суммы и разности с примерами решения

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Сумма и разность углов

Улыбнитесь друг другу. Подарите и мне вашу улыбку. Ведь улыбка украшает человека и дарит хорошее настроение. И пусть этот урок принесёт вам радость от новых открытий, от общения друг с другом и наполнит ваши души прекрасными чувствами.

-Что вы ждёте от этого урока?

Актуализация знаний

Л 60 х 40 : 800 х 9 х 2=54 О 18 х 2 : 6 х 7 + 29= 71

Г 9 х 2 х 9 х 5 – 610=200 Г 4 х 40 + 280 : 70 х 5=180

Расположите ответы в порядке убывания: 200У, 180 Г,71О, 54 Л. (Оцените)

— Какие виды углов вы знаете? (развернутый, прямой, острый, тупой)

— Покажите руками: прямой угол, острый, тупой, развернутый.

Работа со спичками: постройте из спичек угол 180 гр., угол 90гр., смежные углы.

— Почему именно это слово было зашифровано? (Продолжаем измерять углы)

— С помощью какого инструмента измеряют величину угла? (транспортир)

-Назовите единицу измерения угла (градус)

Для того, чтобы измерить углы, надо вспомнить алгоритм измерения:

Совместить вершину угла с центром транспортира.

Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила черезнуль выбранной шкалы транспортира.

Найти штрих на шкале, через который проходит вторая сторона угла. Полученное число это и есть величина угла.

Проверить, соответствует ли полученная мера угла его виду.

2. Формулирование темы и целей.

Вы уже догадались чем мы будем заниматься уроке? (измерять углы) Тема: Измерение углов. Еще мы будем складывать углы и вычитать. Тема: Сумма и разность углов.

3.Повторение и закрепление изученного.

1. Работу по учебнику

1. (измерьте углы). Проверка в парах.

Стоп, урок! Стоп, дела! Отдыхать пришла пора!

Игра «Истина- ложь» истина – хлопаем, ложь – топаем

1.Острым называют угол, который больше прямого. (Нет)

2. Тупой угол всегда больше прямого и меньше развёрнутого? (да)

3. Единица измерения углов: килограмм? (нет)

4. Тупой угол меньше прямого угла. (нет)

5. Угол — фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. (да)

6. биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам. (да)

7. два угла можно сравнить с помощью наложения (да)

8. величина острого угла равняется 126градусам ( Нет)

9. ар- единица измерения площади (да)

2 (измерьте углы)

Самостоятельно : № 12 или №1 (1столб.)

Итог урока. Рефлексия.

— Чему научились сегодня на уроке?

Какую цель ставили в начале урока? Все ли удалось?

Кому было трудно?

Чем мы сегодня занимались на уроке? (измеряли углы, складывали, вычитали)

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

Как найти разность углов

Разделы

Дополнительно


Пример 1. На рис. изображены два угла с общей начальной стороной $\bar $ и общей конечной стороной $\bar $: один равен $+270^$, другой $-90^$.


Сумма двух углов. На координатной плоскости $Oxу$ рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.). Пусть произвольный угол $\alpha$ (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторото подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar$, совпадающего с положительным направлением оси $Ox$, до его конечного положения $\bar$. Примем теперь положение радиуса-вектора $\bar$ за начальное и отложим от него произвольный угол $\beta$ (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения $\bar$ до его конечного положения $\bar$. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов $\alpha$ и $\beta$. (Начальное положение подвижного радиуса-вектора $\bar$, конечное положение радиуса-вектора $\bar $.)

Разность двух углов.

Под разностью двух углов $\alpha$ и $\beta$, которую обозначим $\alpha — \beta$, мы будем понимать такой третий угол $\gamma$, который в сумме с углом $\beta$ дает угол $\alpha$, т. е. $\gamma = \alpha — \beta$, если $\beta + \gamma = \alpha$. Разность двух углов $\alpha$ и $\beta$ можно трактовать как сумму углов $\alpha$ и $- \beta$. В самом деле, $[\alpha + (- \beta)] + \beta = \alpha$ (рис.). Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *