Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности как считать

Несобственный интеграл

Препод очень удивится увидев твоё верное решение интеграла

Введите функцию, для которой надо найти несобственный интеграл

Найдём решение несобственного интеграла с заданными пределами интегрирования.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности как считать

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Знакомая геометрия:

В несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определённому интегралу, промежуток интегрирования выгодно споловинить, а результат – удвоить:

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл — Основные понятия и теоремы

Пусть функция Несобственный интегралопределена на промежутке Несобственный интеграли интегрируема на отрезке Несобственный интегралпри любом Несобственный интеграл. Если существует предел

Несобственный интеграл(1.1)

то его называют несобственным интегралом от функции Несобственный интегралпо промежутку Несобственный интеграли обозначают символом

Несобственный интеграл(1.2)

Символ (1.2) также называется несобственным интегралом. Если предел (1.1) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

Несобственный интеграл(1.3)

Интегралы (1.2) и (1.3) называются несобственными интегралами по неограниченному множеству.

Пусть функция Несобственный интегралопределена на промежутке Несобственный интеграл, интегрируема на отрезке Несобственный интегралпри любом Несобственный интеграли не ограничена в левой полуокрестности точки Несобственный интеграл. Тогда интеграл Несобственный интеграл(1.4)

называют несобственным интегралом от неограниченной функции и по определению полагают

Несобственный интеграл(1.5)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Если предел (1.5) существует, то несобственный интеграл (1.4) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл по промежутку Несобственный интеграл.

Обозначим через Несобственный интегралодин из символов Несобственный интеграли сформулируем определение несобственного интеграла в общем случае.

Пусть функция Несобственный интегралопределена на промежутке Несобственный интеграли интегрируема на каждом отрезкеНесобственный интеграл. Если существует предел

Несобственный интеграл(1.6)

то его называют несобственным интегралом от функции Несобственный интегралпо промежутку Несобственный интеграли обозначают символом

Несобственный интеграл(1.7)

Несобственный интеграл по промежутку Несобственный интеграл, где Несобственный интеграл— один из символов Несобственный интегралопределяется аналогично. Далее все утверждения будем формулировать для промежутка Несобственный интеграл. Они очевидным образом переносятся на интегралы по промежутку Несобственный интеграл.

Несобственные интегралы возникают в задачах на геометрические приложения интегрального исчисления: при вычислении площадей неограниченных фигур; объемов тел и площадей поверхностей вращения, если вращающаяся фигура неограничена.

Пусть функция Несобственный интегралнепрерывна и неотрицательна в промежутке Несобственный интеграл. Рассмотрим фигуру

Несобственный интеграл(1.8)

которую назовем неограниченной криволинейной трапецией.

Если несобственный интеграл Несобственный интегралсходится, то площадью фигуры Несобственный интегралназывается число

Несобственный интеграл(1.9)

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Объем тела, образованного вращением фигуры Несобственный интегралвокруг оси Несобственный интегралравен несобственному интегралу

Несобственный интеграл(1.10)

Площадь поверхности, полученной вращением непрерывной кривой

Несобственный интеграл

вокруг оси Несобственный интеграл, вычисляется по формуле

Несобственный интеграл(1.11)

Формулы (1.10), (1.11), как и формула (1.9), применимы при условии сходимости соответствующих несобственных интегралов.

При решении геометрических задач используются и несобственные интегралы от неограниченных функций.

Свойства несобственного интеграла

1 Несобственный интеграл

2. Несобственный интеграл

3. При любом Несобственный интеграл

Свойства 1 и 2 называют линейными, а свойство 3 — аддитивностью.

Теорема 1.1 (о замене переменной в несобственном интеграле). Пусть выполнены следующие условия:

1) непрерывно дифференцируемая и строго монотонная функция Несобственный интегралотображает промежуток Несобственный интегралв промежуток Несобственный интеграл, где Несобственный интеграли Несобственный интегралпри Несобственный интеграл

2) функция Несобственный интегралнепрерывна в промежутке Несобственный интеграл. Тогда интегралы

Несобственный интеграл

либо оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости справедливо равенство

Несобственный интеграл(1.12)

Теорема 1.2 (об интегрировании по частям в несобственном интеграле). Пусть функции Несобственный интеграли Несобственный интегралнепрерывно дифференцируемы на промежутке Несобственный интеграли существует Несобственный интеграл.

Несобственный интеграл

либо оба сходятся, либо оба расходятся. В случае сходимости справедливо равенство

Несобственный интеграл(1.13)

где Несобственный интеграл

Определенный интеграл считается неуместным, если выполнено хотя бы одно из следующих условий: Поля интеграции бесконечны. Например, бесконечный разрыв. Функция не ограничена вблизи некоторых точек области интегрирования.

Несобственный интеграл

Примеры с решением

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 1.

Несобственный интеграл

Решение:

Вычислим несобственный интеграл по определению: Несобственный интеграл

Следовательно, данный интеграл интеграл сходится.

Пример 2.

Несобственный интеграл

Решение: По определению несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом имеем

Несобственный интеграл

Следовательно, данный интеграл интеграл расходится.

Пример 3.

Несобственный интеграл

Решение:

По определению несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом имеем

Несобственный интеграл

Итак, интеграл сходится и равен 1.

Пример 4.

Несобственный интеграл

Решение:

Интеграл является несобственным, поскольку верхний предел бесконечен. Рассмотрим два случая.

1). Пусть Несобственный интегралТогда по определению имеем Несобственный интеграл

2). Пусть Несобственный интеграл. Тогда Несобственный интегралИтак, интеграл Несобственный интегралсходится при Несобственный интеграли расходится при Несобственный интеграл

Пример 5.

Несобственный интеграл

Решение:

Данный интеграл является несобственным, поскольку подынтегральная функция Несобственный интегралне определена в точке Несобственный интеграли Несобственный интеграл. По определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем

Несобственный интегралИтак, данный интеграл сходится и равен Несобственный интеграл

Пример 6.

Несобственный интеграл

Решение:

Подынтегральная функция Несобственный интегралне ограничена в правой полуокрестности нижнего предела. Поэтому данный интеграл — несобственный. Рассмотрим два случая.

1). Пусть Несобственный интеграл. По определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем Несобственный интеграл

2). Пусть Несобственный интеграл. Тогда Несобственный интеграл

Итак, интеграл Несобственный интегралсходится при Несобственный интеграли расходится при Несобственный интеграл

Пример 7.

Несобственный интеграл

Решение:

Применим к данному интегралу формулу интегрирования по частям: Несобственный интегралПример 1.8. Несобственный интеграл

Данный интеграл является несобственным, поскольку

подынтегральная функция Несобственный интегралне определена в точке

Несобственный интеграли Несобственный интеграл. Воспользуемся формулой замены переменной в несобственном интеграле. Положим Несобственный интеграл. Имеем

Несобственный интеграл

Заметим, что в результате замены переменной несобственный интеграл преобразовался в определенный интеграл от непрерывной функции по отрезку.

Пример 8.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции Несобственный интеграли прямой Несобственный интеграл.

Решение:

Функция Несобственный интегралнепрерывна и неотрицательна в промежутке Несобственный интеграл. Поэтому заданная фигура является неограниченной криволинейной трапецией вида (1.8). Площадь фигуры находится по формуле (1.9):

Несобственный интеграл

Для вычисления интеграла применим формулу (1.13) интегрирования по частям. Положим Несобственный интегралТогда Несобственный интеграл. Функции Несобственный интеграли Несобственный интегралнепрерывно дифференцируемы в промежутке Несобственный интеграли существует

Несобственный интеграл

По формуле (1.13) имеем

Несобственный интеграл

Пример 9.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Несобственный интегралфигуры, ограниченной графиком функции

Несобственный интеграли прямыми Несобственный интеграл

Решение: Функция Несобственный интегралнепрерывна, неотрицательна в промежутке (1,2] и не ограничена на нем, так как Несобственный интеграл. Поэтому объем тела вращения выражается через несобственный интеграл: Несобственный интеграл

Итак, Несобственный интеграл

Несобственные интегралы

Понятие «несобственные интегралы» связано с нарушением условий теоремы 23.1 о существовании определенного интеграла. В зависимости от того, какая именно условие существования нарушена, рассматривают несобственные интегралы I и II типов.

Различают следующие случаи:

1) вместо конечного отрезка Несобственный интегралрассматриваются бесконечные пол интервалы Несобственный интегралНесобственный интегралили интервал Несобственный интеграл
2) вместо подынтегральной функции, которая является непрерывной или ограниченной на отрезке интегрирования и имеет конечное число точек разрыва первого рода, рассматривают функцию, имеет на этом отрезке бесконечный разрыв, то есть разрыв второго рода.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы І типа)

Пусть функция Несобственный интегралопределена и непрерывна на промежутке Несобственный интегралТогда согласно теореме 23.1 она интегрируема на любом отрезке Несобственный интегралгде Несобственный интеграл— произвольное действительное число, большее Несобственный интегралИтак, существует определенный интеграл от этой функции Несобственный интегрална отрезке Несобственный интеграл

Несобственный интегралгде Несобственный интеграл

то есть Несобственный интегралявляется первоначальной для подынтегральной функции Несобственный интеграл

Несобственным интегралом I типа функции Несобственный интегрална промежутке Несобственный интегралназывается предел определенного интеграла Несобственный интегралпри условии, что верхняя граница интегрирования Несобственный интегралстремится к плюс бесконечности, то есть

Несобственный интеграл

Если граница Несобственный интегралконечна, то несобственный интеграл I типа называется сходящимся, или говорят, что он совпадает. Если граница в соотношении (25.1) является бесконечной или вовсе не существует, то несобственный интеграл I типа называется расходящимся, то есть разбегается.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница соотношение (25.1) можно записать так:

Несобственный интеграл

где применяется обозначения: Несобственный интеграл

Аналогично определяется несобственный интеграл I типа для случая, когда вместо отрезка интегрирования Несобственный интегралрассматривается интервал с бесконечной нижней границей.

Пусть функция Несобственный интегралопределена и непрерывна на промежутке Несобственный интегралтогда для любого действительного Несобственный интегралсуществует определенный интеграл:

Несобственный интеграл

Несобственным интегралом I типа функции Несобственный интегрална промежутке Несобственный интегралназывается предел определенного интеграла Несобственный интегралпри условии, что нижняя граница интегрирования стремится к минус бесконечности, то есть

Несобственный интеграл

где применяется обозначение Несобственный интеграл

Пусть функция Несобственный интегралопределена и непрерывна на промежутке Несобственный интегралТогда представим интеграл на этом промежутке как сумму двух несобственных интегралов на промежутках Несобственный интегралиНесобственный интеграл

Несобственный интеграл

Если в соотношении (25.4) обе границы существуют, то несобственный интеграл I типа с бесконечными пределами совпадает.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница несобственный интеграл на промежутке Несобственный интегралопределяется соотношением:

Несобственный интеграл

Общий порядок нахождения несобственного интеграла I типа состоит из двух шагов:

1) вычисляем определенный интеграл от Несобственный интегрална Несобственный интегралгде Несобственный интеграл— переменная нижняя граница интегрирования ( Несобственный интеграл— переменная верхний предел интегрирования)
2) находим границу определенного интеграла при Несобственный интеграл

Под исследованием несобственных интегралов на сходимость понимают установления факта его сходимости или разногласия. Для этого во многих случаях бывает достаточна не вычислять самый интеграл (а он может быть таким, что и «не берется»), а сравнить его с несобственным интегралом, сходимость (или расхождение) которого известна.

Приведем признаки сравнения несобственных интегралов (которые примем без доказательства).

Теорема 25.1. Если функции Несобственный интеграли Несобственный интегралдля всех Несобственный интегралсвязанные соотношением Несобственный интеграли несобственный интеграл Несобственный интегралсовпадает, то совпадает и несобственный интеграл Несобственный интегралпри этом Несобственный интеграл

Теорема 25.2. Если функции Несобственный интеграли Несобственный интегралдля всех Несобственный интегралсвязанные соотношением Несобственный интеграли несобственный интеграл Несобственный интегралрасходится, то расходится и несобственный интеграл Несобственный интеграл

Несобственный интеграл от функции Несобственный интегралсходимость или расхождение которого известна заранее, называется эталонным интегралом, а Несобственный интегралэталонной функцией.

В предыдущих теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотъемлемых функций. Для знакопеременной функции Несобственный интегрална бесконечном промежутке справедлива следующая теорема.

Теорема 25.3. Если несобственный интеграл от модуля заданной функции Несобственный интегралсовпадает, то совпадает и интеграл от самой функции Несобственный интеграл

В этом случае несобственный интеграл от Несобственный интегрална Несобственный интегралназывается абсолютно сходящимся.

Рассмотрим некоторые примеры несобственных интегралов I типа. Одним из таких интегралов является интеграл Эйлера-Пуассона:

Несобственный интеграл

Этот интеграл нельзя представить в виде конечного числа элементарных функций, поэтому по общему алгоритму проблему вычисления интеграла Эйлера — Пуассона решить невозможно. Докажем, что этот интеграл совпадает, применив теорему 25.1.

Как эталонную функцию выберем функцию φ () x e x = -. Учтем также парность подынтегральной функции Как эталонную функцию выберем функцию φ () x e x = -. Учтем также парность подынтегральной функции Несобственный интегралНесобственный интеграл(рис. 25.1):

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Сравним функции Несобственный интеграли Несобственный интегралОбе функции положительные на числовой оси, и для Несобственный интегралвыполняется неравенство Несобственный интегралтогда относительно функций Несобственный интеграли Несобственный интегралимеет место соотношение: Несобственный интеграл

Следовательно, применить теорему 25.1 можно только на промежутке Несобственный интеграл
Исследуем на сходимость интеграл от эталонной функции на Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Эталонный интеграл совпадает на промежутке Несобственный интегралтогда по признаку сравнения сходится есть интеграл Несобственный интегралПоскольку несобственный интеграл Несобственный интегралотличается от несобственного интеграла Несобственный интегралпостоянной, равной площади криволинейной трапеции для Несобственный интегралто интеграл Эйлера-Пуассона тоже является сходящимся.

В главе 26 будет доказано, что:

Несобственный интеграл

При исследовании вопроса о сходимости несобственных интегралов I типа часто в роли эталонного интеграла принимают интеграл вида:

Несобственный интеграл

Свойства этого интеграла зависят от значений параметра Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Интеграл (25.8) при Несобственный интегралразбегается:

Несобственный интеграл

Следовательно, несобственный интеграл от степенной функции Несобственный интегралсовпадает, если Несобственный интеграли расходится, если Несобственный интеграл

Исследовать на сходимость несобственный интеграл I типа:

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Мы доказали, что несобственный интеграл совпадает, поскольку соответствующая граница равна конечном числу.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл I типа: Несобственный интеграл

По определению имеем:

Несобственный интеграл

Эта граница не существует, поскольку не существует Несобственный интегралследовательно, заданный несобственный интеграл расходится.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл I типа: Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

то есть данный интеграл расходится.

Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II типа)

Пусть Несобственный интегрална Несобственный интегралимеет конечное число точек разрыва второго рода. Это означает, что хотя бы одна из односторонних пределов функции Несобственный интегралв этих точках равна бесконечности, то есть при приближении к точкам разрыва функция Несобственный интегралнеограниченно приходит или растет. Такие точки называются особыми точками функции. На рис. 25.2 приведены примеры расположения особых точек c на отрезке Несобственный интегралТак, особой точкой может быть как левый, так и правый конец отрезка, а также любая внутренняя точка. В геометрическом смысле прямая Несобственный интегралявляется вертикальной асимптотой графика функции Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Выберем некоторое положительное число Несобственный интеграли рассмотрим, соответственно, отрезки Несобственный интеграл(рис. 25.2 а, б и в), на которых подынтегральная функция ограничена и непрерывная, следовательно, существует определенный интеграл от этой функции.

Несобственным интегралом II типа от функции Несобственный интегрална промежутке Несобственный интегралгде при Несобственный интегралфункция имеет разрыв второго рода, называется предел определенного интеграла на промежутке Несобственный интегралпри условии, что Несобственный интегралстремится к нулю:

Несобственный интеграл

Аналогично определяют несобственные интегралы II типа для случая, когда особой точкой является верхняя граница отрезка интегрирования:

Несобственный интеграл

а также для случая, когда особая точка является внутренней точкой отрезка интегрирования:

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл II типа называется сходящимся, если существуют конечные границы в правых частях формул (25.10) — (25.12). В противном случае их называют расходящимися.

Порядок исчисления несобственных интегралов II типа принципиально ничем не отличается от порядка определения несобственных интегралов I типа: вычисляют определенный интеграл на конечном отрезке и находят его границу при условии, что Несобственный интегралили Несобственный интегралЕсли для подынтегральной функции не существует первоначальная в виде конечной суммы элементарных функций, то для исследования несобственных интегралов II типа на сходимость применяются признаки сравнения их с эталонными интегралами, то есть такими, о которых заранее известно, совпадают они или разбегаются. Часто в качестве эталонных берут несобственные интегралы от степенных функций:

Несобственный интеграли его обобщения: Несобственный интеграл

где Несобственный интеграл

Для первого и второго эталонных интегралов особой точкой является нижняя граница отрезка интегрирования, а для третьего — верхний предел.

Проведем исследование на сходимость первого интеграла с (25.13):

Несобственный интеграл

Если Несобственный интегралтоНесобственный интеграл

Следовательно, несобственный интеграл II типа Несобственный интегралсовпадает при Несобственный интеграли расходится при Несобственный интеграл

Определим, совпадает ли несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Его подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке Несобственный интегралто есть ее особой точкой является верхняя граница отрезка интегрирования. По определению имеем:

Несобственный интеграл

Заданный интеграл совпадает, потому соответствующая граница равна конечном числу.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл Несобственный интеграл

Подынтегральная функция непрерывна на промежутке Несобственный интегралпо исключением точки Несобственный интегралв которой знаменатель равен нулю, следовательно, в окрестности этой точки функция не ограничена, поэтому интеграл записываем в таком виде:

Несобственный интеграл

Если каждый интеграл в правой части совпадает, то выходной интеграл тоже будет совпадать.

Рассмотрим первый интеграл:

Несобственный интеграл

Поскольку первый интеграл расходится, то нет необходимости вычислять второй. Окончательно делаем вывод, что заданный несобственный интеграл расходится.

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

несобственный-интеграл — Исследовать несобственный интеграл на сходимость

Исследовать несобственный интеграл на сходимость от минус бесконечности до нуля:

e^(x)dx / (1+e^(2x)) , x=-бесконечность, х=0

пожалуйста распишите все шаги и укажите что использовано для исследования (по определению и использование признаков сходимости)

задан 28 Май 16:06

преподу скажите, что не можете решить и вежливо попросите поставить хорошую оценку

тут никаких признаков не нужно. все явно считается по определению.

@MaxJerVi: после замены y=e^x получается табличный интеграл. Здесь даже значение вычисляется устно.

Можете написать все шаги решения? Мне просто нужно удостовериться что я правильно понял эту тему.

давайте, только наоборот.

@MaxJerVi, напишите решение по шагам, ну а тут может кто и удостоверит

Ок, значит как сделал я. Обчислил определённый интеграл и получилось arctg(e^x), x=-inf, x=0; Потом сделал лимит t->-inf , и по формуле Ньютона-Лейбница обчислил.

Получилось: arctg(-inf) и вот тут я не понял, как из этого сделать вывод что интеграл сходится?? Объясните кто шарит, что у меня не правильно и как по шагам доказать что интеграл сходится.

надо знать чему равен предел арктангенса на минус бесконечности. хотя он тут совсем ни при чём.

для начала освежите воспоминания чему равен $%\lim\limits_ e^t$% и чему равно $%e^0$%. потом вспомните, чему равен арктангенс от этих значений.

и будет Вам счастье.

@MaxJerVi: арктангенс — школьная элементарная функция. Его значение на минус бесконечности равно -п/2. Но здесь сначала надо найти предел экспоненты, а он равен нулю, то есть получится arctg(0)=0. Важно, что это предельное значение конечно, что и означает сходимость несобственного интеграла.

но как это должно помочь мне доказать сходимость интеграла?

То есть т.к. arctg(0)=0, (предельное значени)—> интеграл сходится?

@MaxJerVi: правый конец отрезка анализировать не надо. Нужна только минус бесконечность. Предел первообразной при этом равен arctg(e^)=arctg(0)=0, то есть он конечен. Это и означает сходимость.

Ага, то есть интеграл сходится если площадь фигуры можно вычислить, это я понял. Но как это написать не знаю. Получается: вычислим этот интеграл с пределами и получим arctg(0) который равен 0, значит интеграл сходится? Таким должно быть объяснение?

@MaxJerVi: посмотрите определение сходимости несобственного интеграла. В данном случае это предел интеграла от -R до 0, где R стремится к (плюс) бесконечности. Такой предел существует, и выше он был уже вычислен. Это пример совершенно стандартный и очень лёгкий, поэтому с обоснованием тут просто незачем заморачиваться.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *