Доказать что последовательность функционалов сходится

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Что нужно, чтобы доказать, что функция сходится к Дельт.Ф-ии

Скажите пожалуйста. Насколько я понимаю для того чтобы при $\epsilon\rightarrow 0$ было $f(x,\epsilon) \rightarrow \delta (x)$ достаточно чтобы $f(x_0,\epsilon) \rightarrow 0$ при $x_0\neq0$ $f(0,\epsilon) \rightarrow \infty$ и, самое главное, что бы $$\int_<-\infty>^\infty f(x,\epsilon) =1$» /> то есть правая часть не зависела от <img decoding=$ . Например это будет так для $$f(x,\epsilon) =\frac<\epsilon><2 \pi(x^2+\epsilon^2)>$» />. Достаточно ли показать все вышеперечисленное чтобы функция была дельта функцией? Я спрашиваю поскольку для двумерной функции<img decoding=$ <2 \pi \sqrt^3>$» /> все вышеуказанное выполняеться, стало быть она будет двумерной дельта функцией $f(x,y,\epsilon) \rightarrow \delta (x) \, \delta (y)$ ?

Последний раз редактировалось PAV 15.04.2012, 17:45, всего редактировалось 1 раз.

Будет ли достаточно если $$\int_<-\infty>^\infty f(x,\varepsilon) =1$» /> заменить на <img decoding=$ \int_<-\infty>^\infty f(x,\varepsilon) \rightarrow 1$» />??

Последний раз редактировалось svv 02.01.2012, 19:08, всего редактировалось 2 раз(а).

Последний раз редактировалось Nimza 03.01.2012, 18:22, всего редактировалось 1 раз.

Дельта-функция — функционал. Поэтому имеет смысл говорить о сходимости к ней последовательностей функционалов (т.н. дельтаобразные последовательности). То, что понимать под сходимостью, зависит от того, каким функционалом Вы считаете дельта-функцию, то есть от того, какая у неё предполагается область определения. Чаще всего считают дельта-функцию распределением, то есть непрерывным функционалом над $$\mathcal<D>$» />. Тогда говорят, что <img decoding=$ , если $\langle f_n, \varphi \rangle \to \langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$ для всех $$\varphi \in \mathcal<D>$» />. Посмотрите, например, Л. Шварца «Математические методы для физических наук». Например, достаточно таких свойств: Пусть последовательность <img decoding=$ $» /> такова, что $f_n = 0$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $$\int_<\mathbb<R>> f_n(x) \, dt = 1$» /> для всех <img decoding=$ $» />. Тогда $f_n$ сходится к $\delta$ -функции в указанном Nimza смысле.

Последний раз редактировалось drug39 05.01.2012, 10:08, всего редактировалось 4 раз(а).

На самом деле двумерная дельта-функция $\delta_2(x,y)$ вводится так:
$\delta_2(x,y)=0$ при $x\ne 0, y\ne 0$ ;
$$\int_<-\infty>^<+\infty>\int_<-\infty>^<+\infty>\delta_2(x,y)dxdy=1$» />. А отсюда уже <img decoding=$ .
В полярных координатах:
$\delta_2(\rho,\varphi)=0$ при $\rho\ne 0$ ;
$$\int_0^<2\pi>\int_0^<\infty>\delta_2(\rho,\varphi) d\rho \rho d\varphi=1$» />. Если <img decoding=$ не зависет от $\varphi$ , то
$$\int_0^<\infty>\delta_2(\rho) \pi d\rho^2=1$» /> или <img decoding=$ ^<\infty>\delta_2(\sqrt<|\rho|>) \frac \pi 2 d\rho=1$» />.

Последний раз редактировалось RIP 05.01.2012, 10:33, всего редактировалось 2 раз(а).

Например, достаточно таких свойств: Пусть последовательность $$f_n \in \mathcal<D>$» /> такова, что <img decoding=$ вне отрезка $[-\frac 1 n, \frac 1 n]$ и $$\int_<\mathbb<R>> f_n(x) \, dt = 1$» /> для всех <img decoding=$ $» />. Тогда $f_n$ сходится к $\delta$ -функции в указанном Nimza смысле.
Этого недостаточно. Надо ещё потребовать неотрицательность или хотя бы $$\sup_n\int_<\mathbb R>|f_n(x)|\,\mathrm dx<\infty$» />. А вот основные функции <img decoding=$ здесь совершенно не при чём (наверное, имелись в виду суммируемые?).

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Пусть функции $f_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$ и пусть $x_ <0>\in E$. Если числовая последовательность $\(x_<0>)\>$ сходится, то последовательность функций $\(x)\>$ сходится в точке $x_<0>$.

Последовательность $\(x)\>$, сходящуюся в каждой точке $x \in E$, называют сходящейся на множестве $E$. В этом случае на множестве $E$ определена функция $f(x)$, значение которой в любой точке $x \in E$ равно пределу последовательности $\(x)\>$. Эту функцию называют предельной функцией последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$ и пишут
$$
\lim_f_(x) = f(x),\ x \in E,\label
$$
или
$$
f_(x) \rightarrow f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или, короче,
$$
f_ \xrightarrow[E]<> f.\nonumber
$$

По определению предела запись \eqref означает, что
$$
\forall x \in E\ \forall \varepsilon > 0\ \exists N = N_<\varepsilon>(x): \forall n \geq N \rightarrow |f_(x)-f(x)| < \varepsilon.\nonumber
$$

Найти предельную функцию $f(x)$ последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, если:

$$
f_(x) = \frac>,\ E = \mathbb;\nonumber
$$
$$
f_(x) = n \sin \frac<1>,\ E = (0, + \infty).\nonumber
$$

$\vartriangle$ Так как $f_(x) = \displaystyle\frac<1 + \displaystyle\frac<1>><1 + \frac<\displaystyle x^<2>>>$, то $f(x) = 1$.
Используя асимптотическую формулу $\sin t \sim t$ при $t \rightarrow 0$, получаем $\displaystyle n \sin \frac<1>\sim n\frac<1>$ при $n \rightarrow \infty$, если $x \neq 0$.Поэтому $f(x) = \displaystyle\frac<1>$. $\blacktriangle$

Сходимость функционального ряда.

Пусть функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$ и пусть для каждого $x \in E$ существует конечный предел последовательности $\(x)\>$, где $S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)$. Тогда ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называют сходящимся на множестве $E$.

Если $S(x)$ — предельная функция последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, то есть
$$
\lim_S_(x) = S(x),\ x \in E,\nonumber
$$
то функцию называют $S(x)$ суммой ряда \eqref и пишут
$$
\sum_^<\infty>u_(x) = S(x),\ x \in E.\nonumber
$$
Например, если $u_(x) = x^$, $E = (-1,1)$, то $S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^><1-x>$, $S(x) = \displaystyle\frac<1><1-x>$. Если в каждой точке $x \in E$ сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>|u_(x)|$, то ряд \eqref называют абсолютно сходящимся на множестве $E$.

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Последовательность функций
$$
$x)\>\nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве \(E$ к функции $f(x)$, если
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>:\ \forall n \geq N_ <\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)|<\varepsilon.\label
$$

В этом определении существенно, что номер $N_<\varepsilon>$ не зависит от $x$. Если справедливо утверждение \eqref, то пишут
$$
f_(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E,\nonumber
$$
или
$$
f_ \underset\rightrightarrows f.\nonumber
$$

Говорят, что последовательность $\(x)\>$ равномерно сходится на множестве $E$, если существует функция $f$, удовлетворяющая условию \eqref.

Если существуют числовая последовательность $\\>$ и номер $n_<0>$ такие, что
$$
\forall n \geq n_<0>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| \leq a_,\nonumber
$$
причем $\displaystyle\lim_a_ = 0$, то
$$
f_(x) \underset\rightrightarrows f(x),\ x \in E.\nonumber
$$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$ равномерно сходится на множестве $E$, и найти ее предельную функцию $f(x)$, если:

$\displaystyle f_(x) = \frac>,\ E = [-1, 1];$
$\displaystyle f_(x) = \sqrt + \frac<1>>,\ E = \mathbb;$
$\displaystyle f_(x) = \frac <\operatornamen^<2>x><\sqrt[3]>,\ E = [0, +\infty)$;
$\displaystyle f_(x) = n \sin \frac<1>,\ E = [1, +\infty)$.

$\vartriangle$ В этом случае $f(x) = 1$ (пример 1) и $|f_(x)-f(x)| = \displaystyle\frac<1-x^<2>>> \leq \frac<1>$, так как $|x| \leq 1$. Следовательно,
$$
\frac> \rightrightarrows 1,\ x \in [-1, 1].\nonumber
$$
Используя неравенство $x^ <2>+ \displaystyle\frac<1>\leq \left(|x| + \frac<1><\sqrt>\right)^<2>$, получаем $0 \leq \displaystyle\sqrt + \frac<1>>-\sqrt> \leq |x| + \frac<1><\sqrt>-|x| = \frac<1><\sqrt>$, откуда следует, что
$$
\sqrt + \frac<1>> \rightrightarrows |x|,\ x \in \mathbb.\nonumber
$$
Так как $0 \leq \operatorname x \leq \displaystyle\frac<\pi><2>$ и $\sqrt[3] \geq \sqrt[3]$ при $x > 0$, то $0 \leq f_(x) \leq \displaystyle\frac<\pi><2\sqrt[3]>$, откуда получаем $f_(x) \rightrightarrows 0$, $x \in E$.
В этом случае $f(x) = \displaystyle\frac<1>$ (пример 1). Используя неравенство $|\sin t-t| \leq \displaystyle\frac><2>,\ t \in \mathbb$ (пример разобран здесь), получаем
$$
|f_(x)-f(x)| = n \left|\sin \frac<1>-\frac<1>\right| \leq \frac<2(nx)^<2>> \leq \frac<1><2n>,\nonumber
$$
так как $x \geq 1$. Следовательно,
$$
n \sin \frac<1>\rightrightarrows \frac<1>,\ x \in [1, +\infty).\ \blacktriangle\nonumber
$$

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Чтобы последовательность функций $\(x)\>$, определенных на множестве $E$, сходилась равномерно на этом множестве к функции $f(x)$, необходимо и достаточно, чтобы
$$
\lim_ \sup_ |f_(x)-f(x)| = 0.\label
$$

$\circ$ Обозначим $\sigma_ = \displaystyle\sup_ |f_(x)-f(x)|$. Тогда условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists n_<\varepsilon>: \forall n \geq n_ <\varepsilon>\rightarrow \sigma_ < \varepsilon.\label
$$

Если $f_(x) \rightrightarrows f(x)$, $x \in E$, то
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\rightarrow |f_(x)-f(x)| < \frac<\varepsilon><2>,\nonumber
$$
откуда следует, что $\sigma_ \leq \displaystyle\frac<\varepsilon> <2>< \varepsilon$ для $n \geq N_<\varepsilon>$. Поэтому неравенство $\sigma_ < \varepsilon$ выполняется при всех $n \geq N_<\varepsilon>$, где $n_ <\varepsilon>= N_<\varepsilon>$. Обратно, если выполняется условие \eqref или равносильное ему условие \eqref, то, используя неравенство $|f_(x)-f(x)| \leq \sigma_$ для $x \in E$, $n \in \mathbb$, получаем $|f_(x)-f(x)| < \varepsilon$ для $x \in E$, $n \geq n_<\varepsilon>$, то есть $f_(x) \rightrightarrows 0$, $x \in E$. $\bullet$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$ сходится равномерно на множестве $E$, и найти предельную функцию $f(x)$, если:

$f_(x) = \displaystyle\frac<2n^<2>x><1 + n^<\alpha>x^<2>>$, $\alpha > 4$, $E = \mathbb$;
$f_(x) = \displaystyle x^-x^$, $E = [0, 1]$;
$f_(x) = \displaystyle nx^<2>e^<-nx>$, $E = [2, +\infty)$.

$\vartriangle$ Если $x = 0$, то $f_(0) = 0$ для всех $n \in \mathbb$, и поэтому $\displaystyle\lim_f_(0) = f(0) = 0$. Если $x \neq 0$, то $|f_(x)| \leq \displaystyle\frac<2n^<2>|x|>x^<2>> = \frac<2><|x|n^<\alpha-2>>$, откуда следует, что $f_(x) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, так как $\alpha > 4$. Таким образом, предельная функция $f(x) = 0$, $x \in \mathbb$.

(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Чтобы последовательность функций $\(x)\>$ сходилась равномерно на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| < \varepsilon.\label
$$

$\circ$ Необходимость. Пусть $f_(x) \rightrightarrows f(x)$, $x \in E$. Тогда по определению равномерной сходимости
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f(x)| < \frac<\varepsilon><2>.\label
$$
В частности, \eqref выполняется при $k = n$, если $n \geq N_<\varepsilon>$, и при $k = n + p$ для $p \in \mathbb$, то есть
$$
|f_(x)-f_(x)| < \frac<\varepsilon><2>,\quad |f_(x)-f_(x)| < \frac<\varepsilon><2>,\nonumber
$$
откуда следует, что
$$
|f_(x)-f_(x)| = |(f_(x)-f(x))-(f_(x)-f_(x))| \leq\\
\leq |f_(x)-f(x)| + |f_(x)-f_(x)| < \frac<\varepsilon> <2>+ \frac<\varepsilon> <2>= \varepsilon,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref.

Достаточность. Заметим, что числовая последовательность $\(x_<0>)\>$, где $x_<0>$ — фиксированная точка множества $E$, удовлетворяет условию Коши \eqref и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный
$$
\lim_f_(x_<0>).\label
$$
Так как предел \eqref существует для каждого $x_ <0>\in E$, то на множестве $E$ определена функция (обозначим ее $f(x)$), которая является предельной функцией для последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$.

Запишем условие Коши \eqref в виде
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |f_(x)-f_(x)| < \frac<\varepsilon><2>.\label
$$
Переходя в неравенстве \eqref к пределу при $p \rightarrow \infty$ (при каждом фиксированном $n \geq N_<\varepsilon>$ и фиксированном $x \in E$) и учитывая, что существует \(\displaystyle\lim_

f_(x) = f(x)\), получаем неравенство
$$
|f(x)-f_(x)| \leq \frac<\varepsilon> <2>< \varepsilon,\nonumber
$$
справедливое при всех $n \geq N_<\varepsilon>$ и для всех $x \in E$. Это означает, что
$$
f_(x) \rightrightarrows f(x),\ x \in E.\ \bullet\nonumber
$$

Неравномерная сходимость последовательности функций.

Последовательность $\(x)\>$ не является равномерно сходящейся на множестве $E$, если условие Коши \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>.\label
$$

Доказать, что последовательность $\(x)\>$, где $f_(x) = \displaystyle\frac<\ln nx><\sqrt>$, не является равномерно сходящейся на множестве $E = (0, 1)$.

$\vartriangle$ Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $p = k = n$, $\tilde = 1/k = 1/n$. Тогда
$$
|f_(\tilde)-f_(\tilde)| = \left|f_<2n>(\frac<1>)-f_ (\frac<1>)\right| = \left|\frac<\ln 2><\sqrt<2>>-\ln 1\right| = \frac<\ln 2><\sqrt<2>> = \varepsilon_<0>,\nonumber
$$
то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность $\(x)\>$ не является равномерно сходящейся на $E$. $\blacktriangle$

Если существует предельная функция $f(x)$ последовательности $\(x)\>$ на множестве $E$, но не выполняется условие \eqref, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |f_(\tilde)-f(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то говорят, что последовательность $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к функции $f(x)$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве $E$ последовательность $\(x)\>$, если:

$\displaystyle f_(x) = x^-x^<2n>,\ E = [0, 1];$
$\displaystyle f_(x) = n\sin \frac<1>,\ E = (0, 1].$

$\vartriangle$ В этом случае предельная функция $f(x) = 0$, $x \in E$. Для любого $k \in \mathbb$ возьмем $n = k$, $\tilde = 1/\sqrt[n]<2>$. Тогда $\tilde \in E$ при любом $n \in \mathbb$ и $|f_(\tilde)-f(\tilde)| = \displaystyle f_\left(\frac<1>\right) = \frac<1><2>-\frac<1><4>= \varepsilon_<0>$, то есть выполняется условие \eqref, и поэтому последовательность $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $f(x) = 0$.
Здесь предельная функция $f(x) = x^<-1>$ на множестве $x > 0$ (пример 1). Возьмем $\tilde = 1/n$. Тогда $|f_(\tilde)-f(\tilde)| = |n \sin 1-n| \geq 1-\sin 1 = \varepsilon_<0>$ для любого $n \in \mathbb$, и поэтому $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $x^<-1>$. $\blacktriangle$

Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\sup_|f_(x)-f(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к $f(x)$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность $f_(x) = n^<2>x^<2>e^<-nx>$, $E = (0, 2)$.

$\vartriangle$ Предельная функция $f(x) = 0$, $x \in E$. Так как уравнение $f_‘(x) = n^<2>xe^<-nx>(2-xn)$ имеет на интервале (0,2) единственный корень $x_ = 2/n$, причем $f_‘(x) > 0$ при $x \in (0, x_)$ и $f_‘(x) < 0$ при $x \in (x_, 2)$, то $\displaystyle\sup_ f_(x_) = f_(x_) = 4e^<-1>$. Таким образом, выполняется условие \eqref, и поэтому $\(x)\>$ сходится неравномерно на множестве $E$ к 0. $\blacktriangle$

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть функции $u_(x)$, $n \in \mathbb$, определены на множестве $E$. Обозначим
$$
S_(x) = \sum_^u_(x).\label
$$

Ряд
$$
\sum_^<\infty>u_(x),\label
$$
называется равномерно сходящимся на множестве $E$, если на этом множестве определена функция $S(x)$ такая, что
$$
S_(x) \rightrightarrows S(x),\ x \in E.\label
$$

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S(x)| < \varepsilon.\label
$$
где $S(x)$ — сумма ряда (14), a $S_(x)$ определяется формулой \eqref.

Пусть $r_(x) = S(x)-S_(x)$, то есть $r_(x)$ — $n$-й остаток ряда \eqref. Тогда условие \eqref примет вид
$$
r_(x) \rightrightarrows 0,\quad x \in E.\nonumber
$$
Это означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |r_(x)| < \varepsilon.\label
$$

В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда \eqref на множестве $E$ необходимо и достаточно, чтобы
$$
\sup_|r_(x)| \rightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$

Если ряд \eqref сходится на множестве $E$, но не выполняется условие \eqref или равносильное ему условие \eqref, то говорят, что ряд \eqref сходится неравномерно на множестве $E$.

Следовательно, если
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall k \in \mathbb\ \exists n \geq k\ \exists \tilde \in E: |r_(\tilde)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
или
$$
\sup_|r_(x)| \nrightarrow 0\ \mbox<при>\ n \rightarrow \infty,\label
$$
то ряд \eqref сходится неравномерно на множестве $E$.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$, если:

$u_(x) = x^,\ E_ <1>= (-q, q),\ \mbox<где>\ 0 < q < 1,\ E_ <2>= (-1, 1)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<(1 + nx)(1 + (n + 1)x)>,\ E_ <1>= (\delta, +\infty),\ \mbox<где>\ \delta > 0,\ E_ <2>= (0, +\infty)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<(-1)^><\sqrt>,\ E = (0, +\infty)$.

$\vartriangle$ В этом случае $S_(x) = \displaystyle\frac<1-x^><1-x>$, $S(x) = \displaystyle\frac<1><1-x>$ для любого $x \in E_<2>$, то есть ряд сходится на множестве $E_<2>$, а значит, и на $E_<1>$.Для любого $x \in E_<1>$ выполняется неравенство $|r_(x)| = \displaystyle\left|\frac><1-x>\right| \leq \frac<|x|^><1-|x|>$, откуда следует, что $\displaystyle\sup_|r_(x)| \leq \frac><1-q>$, и поэтому выполняется условие \eqref. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве $E_<1>$.На множестве $E_<2>$ ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем $\tilde = \displaystyle 1-\frac<1>$. Тогда $\tilde \in E$ для любого $n \in \mathbb$ и $r_(\tilde) = \displaystyle n\left(1-\frac<1>\right)^ \rightarrow +\infty$ при $n \rightarrow \infty$, откуда следует, что выполняется условие \eqref.
Так как $u_(x) = \displaystyle\frac<1><1 + nx>-\frac<1><1 + (n 1)x>$, то $S_(x) = \displaystyle\frac<1><1 + x>-\frac<1><1 + (n 1)x>$. Если $x \in E_<2>$, то $S_(x) \rightarrow S(x)$ при $n \rightarrow \infty$, где $S(x) = \displaystyle\frac<1><1 + x>$, и поэтому $r_(x) = \displaystyle\frac<1><1 + (n 1)x>$.На множестве $E_<1>$ ряд сходится равномерно, так как $|r_(x)| \leq \displaystyle\frac<1><1 + (n 1)\delta>$, и поэтому выполняется условие \eqref, а на множестве $E_<2>$ — неравномерно, так как $\displaystyle r_\left(\frac<1>\right) = \frac<1><2>$, и поэтому выполняется условие \eqref.
При каждом $x > 0$ последовательность $\displaystyle\left\<\frac<1><\sqrt>\right\>$ монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница ряд $\displaystyle\sum_^ <\infty>\frac<(-1)^><\sqrt>$ сходится на множестве $E$, причем $|r_(x)| \leq |u_(x)| = \displaystyle\frac<1><\sqrt> \leq \frac<1><\sqrt>$, откуда следует, что выполняется условие \eqref. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве $E$. $\blacktriangle$

(критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд \eqref равномерно сходился на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^ u_(x)\right| < \varepsilon.\label
$$

$\circ$ По определению равномерная сходимость ряда \eqref на множестве $E$ означает равномерную сходимость последовательности $\(x)\>$ на $E$.

Согласно теореме 2 $S_(x) \rightrightarrows S(x)$ на $E$ тогда и только тогда, когда
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow |S_(x)-S_(x)| < \varepsilon.\label
$$
Так как $S_(x)-S_(x) = u_(x) + \ldots + u_(x)$, то условие \eqref равносильно условию \eqref. $\bullet$

Если условие \eqref не выполняется, то есть
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall m \in \mathbb\ \exists n \geq m\ \exists p \in \mathbb\ \exists\ \tilde \in E: \left|\sum_^ u_(\tilde)\right| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве $E$. В частности, если
$$
\exists \varepsilon_ <0>> 0: \forall n_ <0>\in \mathbb:\ \forall n \geq n_<0>\ \exists\ x_ \in E: |u_(x_)| \geq \varepsilon_<0>,\label
$$
то ряд \eqref не является равномерно сходящимся на множестве $E$.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ не является равномерно сходящимся на множестве $E$, если:

$u_(x) = \displaystyle\frac>e^<-n^<2>/x>,\ E = (0, +\infty)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<1 + n^<2>x^<2>>\operatorname \sqrt<\frac>,\ E = (0, 1)$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<\sin nx>>,\ E = [0, 2\pi],\ 0 < \alpha \leq 1$.

$\vartriangle$ Пусть $x_ = x^<2>$, тогда $u_(x_) = e^<-1>$, то есть выполняется условие \eqref.
Возьмем $x_ = \displaystyle\frac<1>$ и воспользуемся тем, что $\operatorname x > x$ при $0 < x < \displaystyle\frac<\pi><2>$ (этот факт разбирали ранее). Тогда $u_(x_) = \displaystyle\frac<2>\operatorname \frac<1>> \frac<1><2>$ при всех $n \in \mathbb$, то есть выполняется условие \eqref.
Возьмем $x_ = \displaystyle\frac<\pi><4(n + 1)>$; тогда $x_ \in E$ при любом $n \in \mathbb$. Если $n + 1 \leq k \leq 2n$, то $\displaystyle\frac<\pi><4>\leq kx_ \leq \frac<\pi><4>\frac<2n>< \frac<\pi><2>$, и поэтому $\displaystyle\sin kx_ \geq \sin \frac<\pi><4>= \frac<1><\sqrt<2>>$ откуда следует, что
$$
\sum_^ <2n>\frac<\sin kx_>> \geq \frac<1><\sqrt<2>> \sum_^ <2n>\frac<1>> \geq \frac<1><\sqrt<2>> \sum_^ <2n>\frac<1>> \frac<1><\sqrt<2>>n\frac<1><2n>= \frac<1><2\sqrt<2>>,\nonumber
$$
так как $0 < \alpha \leq 1$. Следовательно, выполняется условие \eqref, и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве $[0, 2\pi]$ при $\alpha \in ()0, 1]$. $\blacktriangle$

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Если для функционального ряда \eqref можно указать такой сходящийся числовой ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, что для всех $n \geq n_<0>$ и для всех $x \in E$ выполняется условие
$$
|u_(x)| \leq a_,\label
$$
то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$.

$\circ$ Согласно условию \eqref для любого $n \geq n_<0>$, любого $p \in \mathbb$ и для каждого $x \in E$ выполняется неравенство
$$
\left|\sum_^u_(x)\right| \leq \sum_^|u_(x)| \leq \sum_^a_.\label
$$
Из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$ следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \rightarrow \sum_^a_ < \varepsilon,\label
$$
а из \eqref и \eqref следует, что для ряда \eqref выполняется на множестве $E$ условие Коши \eqref, и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве $E$.

Абсолютная сходимость ряда \eqref для каждого $x \in E$ следует из правого неравенства \eqref. $\bullet$

Если сходится ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>a_$, где $a_ = \sup_|u_(x)|$, то ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на множестве $E$.

Доказать, что ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ сходится равномерно на множестве $E$, если:

$u_(x) = \displaystyle\ln \left(1 + \frac>\right),\ E = [0, 3]$;
$u_(x) = \displaystyle\frac+ x^<2>> \operatorname \frac,\ E = [-1, 1]$;
$u_(x) = \displaystyle\frac<\displaystyle\sin \frac<1>\cos nx><\displaystyle4 + \ln^<2>(n + 1)x>,\ E = [1, +\infty)$;
$u_(x) = x^<2>e^<-nx>,\ E = (0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Так как при $t \geq 0$ справедливо неравенство $\ln(1 + t) \leq t$ (§ 17, пример 1, а)), то $|u_(x)| \leq \displaystyle\frac> \leq \frac<3>>$ при всех $x \in [0, 3]$, и из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<3>>$ по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ на множестве [0,3].
Используя неравенство $|\operatorname t| \leq t$ для всех $t \in \mathbb$ (§ 17, (19)) и учитывая, что $|x| \leq 1$ и $n^ <2>+ x^ <2>\geq n^<2>$, получаем $|u_(x)| \leq \displaystyle\frac<|nx|>+ x^<2>> |\frac| \leq \frac<1>>$, откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [-1,1].
Так как $|\sin t| \leq |t|$ и $|\cos t| \leq 1$ для всех $t \in \mathbb$, а $x \geq 1$, то $|u_(x)| \leq \displaystyle\frac<1>(n + 1)x> \leq \frac<1>(n + 1)>$. Из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^ <\infty>\frac<1>(n + 1)>$ следует равномерная сходимость ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ на множестве $[1, +\infty)$.
На промежутке $(0, +\infty)$ уравнение $u_‘(x) = xe^<-nx>(2-nx) = 0$ имеет единственный корень $x = x_ = \displaystyle\frac<2>$, причем $u_‘(x) > 0$ при $x \in (0, x_)$ и $u_‘(x) < 0$ при $x > x_$. Поэтому $\displaystyle\sup_|u_(x)| = u_(x_) = \frac<4>>e^<-2>$, и из сходимости ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<4>>e^<-2>$ следует равномерная сходимость ряда $\displaystyle\sum_^<\infty>u_(x)$ на множестве $(0, +\infty)$. $\blacktriangle$

Признак Дирихле.

Ряд
$$
\sum_^<\infty>a_(x)b_(x),\label
$$
сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:

последовательность $\(x)\>$, где $B_(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)$ равномерно ограничена на множестве $E$, то есть
$$
\exists M > 0\ \forall x \in E\ \forall n \in \mathbb \rightarrow |B_(x)| \leq M;\label
$$
последовательность $\(x)\>$ монотонна на множестве $E$, то есть
$$
\forall x \in E\ \forall n \in \mathbb \rightarrow a_(x) \leq a_(x);\label
$$
и равномерно стремится к нулю, то есть
$$
a_(x) \rightrightarrows 0, \qquad x \in E.\label
$$

Условие \eqref означает, что
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall k \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in E \rightarrow |a_(x)| < \frac<\varepsilon><4m>;\label
$$
Из \eqref, \eqref и \eqref следует, что для всех $n \geq N_<\varepsilon>$, для всех $p \in \mathbb$ и для всех $x \in E$ выполняется неравенство $\displaystyle\left|\sum_^a_(x)b_(x)\right| \leq \varepsilon$, и в силу критерия Коши ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$. $\bullet$

Доказать, что при $\alpha > 0$ ряд
$$
\sum_^<\infty>\frac<\sin nx>>,\label
$$
сходится равномерно на множестве $E = [\delta, 2\pi-\delta]$, где $0 < \delta < 2\pi-\delta < 2\pi$.

$\vartriangle$ Если $\alpha > 1$, то по признаку Вейерштрасса ряд \eqref сходится абсолютно и равномерно на $\mathbb$, так как $|\sin x| \leq 1$, а ряд $\displaystyle\sum_^<\infty>\frac<1>>$, где $\alpha > 1$, сходится.

Пусть $0 < \alpha < 1$. Тогда последовательность $\\>$, где $a_ = \displaystyle\frac<1>>$, удовлетворяет условиям \eqref, \eqref. Полагая $B_(x) = \displaystyle\sum_^\sin kx$ и используя неравенство $|B_(x)| \leq \displaystyle\frac<1><\displaystyle\left|\sin \frac<2>\right|>$, справедливое при $x \neq \pi m$, $m \in \mathbb$, получаем $|B_(x)| \leq \displaystyle\frac<1><\displaystyle\sin \frac<\delta><2>>$ для всех $x \in E$. По признаку Дирихле ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$.

Заметим, что на множестве $[0, 2\pi]$ ряд \eqref при $\alpha \in (0, 1]$ сходится неравномерно (пример 8, в)). $\blacktriangle$

Признак Абеля.

Ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$, если выполняются условия:

ряд
$$
\sum_^<\infty>b_(x),\label
$$
сходится равномерно на множестве $E$;
последовательность $\(x)\>$ монотонна на множестве $E$, то есть
$$
\forall n \in \mathbb\ \forall x \in E\ \rightarrow a_(x) \leq a_(x);\label
$$
и равномерно ограничена, то есть
$$
\exists M > 0: \forall n \in \mathbb\ \forall x \in E\ \rightarrow |a_(x)| \leq M;\label
$$

$\circ$ Обозначим $B_^<(n)>(x) = \displaystyle\sum_^b_(x)$. Тогда ряд \eqref в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_ <\varepsilon>\forall j \in \mathbb\ \rightarrow |B_^<(n)>(x)| < \frac<\varepsilon><3m>.\label
$$
Используя преобразование Абеля, преобразуем сумму:
$$
\sigma = \sum_^a_(x)b_(x) = \sum_^

a_(x)b_(x).\nonumber
$$
Так как $b_(x) = \displaystyle B_^<(n)>(x)-B_^<(n)>(x)$, где $j = \overline<1, p>$, $B_<0>^<(n)>(x) = 0$, то
$$
\sigma = \sum_^(a_(x)-a_(x)) B_^<(n)>(x) + a_(x)B_

^<(n)>(x),\nonumber
$$
откуда, используя условия \eqref-\eqref, получаем
$$
|\sigma| < \frac<\varepsilon> <3m>\sum_^(a_(x)-a_(x)) + \frac<\varepsilon> <3m>|a_(x)| =\\= \frac<\varepsilon> <3m>(a_(x)-a_(x) + |a_(x)|) \leq \frac<\varepsilon> <3m>(2|a_(x)| + |a_(x)| \leq \varepsilon.\nonumber
$$
Таким образом,
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall p \in \mathbb\ \forall x \in E \rightarrow \left|\sum_^a_(x)b_(x)\right| < \varepsilon,\nonumber
$$
и по теореме 3 ряд \eqref сходится равномерно на множестве $E$. $\bullet$

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Если все члены ряда \eqref — непрерывные на отрезке $[a, b]$ функции, а ряд \eqref сходится равномерно на $[a, b]$, то его сумма $S(x)$ также непрерывна на отрезке $[a, b]$.

$\circ$ Пусть $x_<0>$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$. Для определенности будем считать, что $x_ <0>\in (a, b)$.

Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = \sum_^<\infty>u_(x)\nonumber
$$
непрерывна в точке $x_<0>$, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \rightarrow |S(x)-S(x_<0>)| < \varepsilon,\label
$$
где $U_<\delta>(x_<0>) = (x_<0>-\delta, x_ <0>+ \delta) \subset [a, b]$.

По условию $S_(x) \rightrightarrows S(x)$, $x \in [a, b]$, где $S_(x) = \displaystyle\sum_^u_(x)$, то есть
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_<\varepsilon>: \forall n \geq N_<\varepsilon>\ \forall x \in [a, b] \rightarrow |S(x)-S_(x)| < \frac<\varepsilon><3>.\label
$$
Фиксируем номер $n_ <0>\geq N_<\varepsilon>$. Тогда из \eqref при $n = n_<0>$ получаем
$$
|S(x)-S_>(x)| < \frac<\varepsilon><3>\label
$$
и, в частности, при $x = x_<0>$ находим
$$
|S(x_<0>)-S_>(x_<0>)| < \frac<\varepsilon><3>.\label
$$

Функция $S_>(x)$ непрерывна в точке $x_<0>$ как сумма конечного числа непрерывных функций $u_(x)$, $k = \overline<1, n_<0>>$. По определению непрерывности
$$
\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta = \delta (\varepsilon) > 0: \forall x \in U_<\delta>(x_<0>) \subset [a, b] \rightarrow |S_>(x)-S_>(x_<0>)| < \frac<\varepsilon><3>.\label
$$

Так как $x_<0>$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$, то функция S(x) непрерывна на отрезке $[a, b]$. $\bullet$

Доказать что последовательность функционалов сходится

Вся математика в одном месте!

ТЕМА 1. НОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. СХОДИМОСТЬ

Основные понятия : векторное пространство, норма, нормированное векторное пространство, cходимость последовательностей по норме, сходимость в пространствах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

а) Задает ли норму в пространстве R функция ?

б) Показать, что в пространстве не является нормой при и .

Решение. а) Нет, не задает, ибо не выполняется вторая аксиома нормы. Действительно, если взять , , то , а . Поэтому .

б) Не является, т.к. не выполняется третья аксиома нормы. Действительно, возьмем вектор и вектор . Тогда для любого и . Однако . Поскольку , то и . Следовательно, .

Задача № 2. Найти предел последовательности в пространстве C[0,2], если он существует.

Решение: Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве C[a,b] является существование предела x_n при каждом фиксированном . Заданная последовательность при заданном t сходится к функции a(t)=t. Данная функция непрерывна.

Проверим, сходится ли последовательность x_n к a(t) по норме пространства C[ a,b], т.е. равномерно. Вычислим . По определению нормы:

Вычислим максимум функции на отрезке [0,2]. Для этого вычислим точки, подозрительные на экстремум с помощью производной.

Таким образом, точками, подозрительными на экстремум, являются точки . Поскольку , поэтому остается лишь точка . Вычислим также значение функции на концах отрезка:

Это означает, что последовательность в пространстве C[0,2] сходится к функции a(t)=t.

Задача № 3. Найти предел последовательности в пространстве C[0,1], если он существует.

Решение. Последовательность для каждого фиксированного t при стремится к a(t)=0. Покажем, что к нулю равномерно не сходится. Вычислим .

Так как , то , если .

Точкой, подозрительной на экстремум, является и точка . Непосредственной проверкой убеждаемся, что максимум достигается в точке . Поэтому .

Значит, последовательность в пространстве C[0,1] не сходится.

Задача № 4. Выяснить, сходится ли последовательность в пространстве .

Решение. Необходимым условием сходимости последовательности в пространстве является наличие покоординатного предела. Выпишем несколько членов последовательности: . Очевидно, что при , и т.д. Поэтому последовательность покоординатно сходится к точке .

Заметим, что , т.к. .

Покажем, что последовательность сходится к a по норме пространства :

Задача № 5. Выяснить, сходится ли последовательность в прастранстве .

Решение. Очевидно, что является покоординатным пределом последовательности, но , т.к. ряд, составленный из единиц, не является сходящимся. Следовательно, последовательность не имеет предела.

Задача № 6. Доказать, что последовательность сходится поточечно к функции для всех , но не сходится в пространстве .

Решение. Последовательность при каждом фиксированном стремится к нулю, так как .

Доказать что последовательность функционалов сходится

В п. 1 § 1 мы убедились в том, что изучение функциональных рядов эквивалентно изучению функциональных последовательностей. С этой точки зрения каждый признак равномерной сходимости имеет две эквивалентные формулировки: в терминах функциональных рядов, а другую — в терминах функциональных последовательностей. В зависимости от удобства мы будем формулировать устанавливаемые признаки либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов (а иногда будем приводить обе эквивалентные формулировки).

Теорема 2.3 (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд

определен на множестве пространства и если существует сходящийся числовой ряд

такой, что для всех точек х множества и для всех номеров справедливо неравенство

то функциональный ряд (2.12) сходится равномерно на множестве

Доказательство. Фиксируем произвольное Так как числовой ряд (2.13) сходится, то в силу критерия Коши сходимости числового ряда (см. теорему 1.1 из гл. 1) найдется такое, что

для всех номеров удовлетворяющих условию и всех натуральных .

Из неравенств (2.14) и (2.15) и из того, что модуль суммы слагаемых не превосходит сумму их модулей, получаем

(для всех номеров удовлетворяющих условию всех натуральных и всех точек х множества

В силу критерия Коши равномерной сходимости (см. теорему 2.2) ряд (2.12) сходится равномерно на множестве Теорема доказана.

Замечание 1. Признак Вейерштрасса кратко может быть сформулирован так: функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом.

Замечание 2. Признак Вейерштрасса является достаточным, но не необходимым признаком равномерной сходимости функционального ряда. В самом деле, функциональный ряд

сходится равномерно на сегменте к сумме поскольку (см. п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1) разность между частичной суммой этого ряда, равная остаточному члену в формуле Маклорена для функции для всех х из сегмента удовлетворяет неравенству

Однако для данного функционального ряда не существует на сегменте мажорирующего его сходящегося числового ряда, так как для каждого номера

а числовой ряд расходится.

Применим признак Вейерштрасса для установления равномерной сходимости функционального ряда

Можно утверждать, что этот ряд сходится равномерно во всем трехмерном евклидовом пространстве так как для любой точки этого пространства он может быть мажорирован сходящимся числовым рядом .

Теорема. 2.4 (признак Дини). Если последовательность не убывает (или не возрастает) в каждой точке х замкнутого ограниченного множества пространства и сходится на этом множестве к предельной функции и если все члены последовательности и предельная функция являются непрерывными на множестве то сходимость последовательности является равномерной на множестве

Доказательство. Не ограничивая общности, предположим, что последовательность не убывает на замкнутом ограниченном множестве (случай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю умножением всех элементов последовательности на число —1). Положим Последовательность обладает следующими свойствами:

1) все неотрицательны и непрерывны на множестве не возрастает на множестве

3) в каждой точке х множества существует предел

Достаточно доказать, что последовательность сходится к тождественному нулю равномерно на множестве т. е. что для любого найдется хотя бы один номер такой, что для всех х из множества (Тогда в силу невозрастания последовательности неравенство будет справедливо и для всех последующих номероь.)

Допустим, что для некоторого не найдется ни одного номера такого, что сразу для всех х из множества Тогда для любого номера найдется хотя бы одна точка множества такая, что

В силу ограниченности множества и теоремы Больцано—Вейерштрасса (см. теорему из последовательности точек

можно выделить подпоследовательность точек сходящуюся к некоторой точке принадлежащей в силу замкнутости множества этому множеству. Так как каждая функция любым номером является непрерывной в точке то для любого номера

С другой стороны, выбрав для каждого номера превосходящий его номер получим (в силу невозрастания последовательности

Сопоставление последнего неравенства с неравенством (2.16), справедливым для любого номера дает оценку

(для любого номера превосходящего фиксированный нами произвольный номер

Из (2.17) и (2.18) вытекает, что

(для любого номера а это противоречит сходимости последовательности в точке к нулю. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 3. В теореме Дини весьма существенно требование монотонности последовательности на множестве так как немонотонная на множестве последовательность непрерывных на этом множестве функций может сходиться в каждой точке х множества к непрерывной на этом множестве функции но не сходиться равномерно на множестве

Примером может служить последовательность функций для которой равна при и равна нулю при Эта последовательность сходится к в каждой точке сегмента но не сходится на этом сегменте равномерно, так как при для рсех номеров

Приведем эквивалентную формулировку теоремы Дини в терминах функциональных рядов.

Теорема 2.4. Если все члены функционального ряда непрерывны и неотрицательны (или неположительны) на замкнутом ограниченном множестве и если в каждой точке множества этот ряд сходится и сумма его является непрерывной на множестве функцией, то его сходимость является равномерной на множестве

В качестве примера применения признака Дини изучим вопрос о характере сходимости последовательности

в круге радиуса 1/2 с центром в точке (0, 0). Сходимость является равномерной в этом круге, так как рассматриваемая последовательность сходится в каждой точке этого круга к предельной функции не возрастает в каждой точке круга и состоит из функций, непрерывных в нем.

Чтобы сформулировать еще два признака равномерной сходимости функциональных рядов, введем некоторые новые понятия.

Определение 1. Последовательность называется равномерно ограниченной наг множестве если существует такое вещественное число что для всех номеров и всех точек х множества справедливо неравенство

Определение 2. Функциональная последовательность называется последовательностью, обладающей на множестве равномерно ограниченным изменением, если функциональный ряд

сходится равномерно на множестве

Отметим сразу же, что всякая последовательность, обладающая на множестве равномерно ограниченным изменением, сходится равномерно на множестве к некоторой предельной функции. В самом деле, из равномерной на множестве сходимости ряда (2.19) и из критерия Коши вытекает равномерная на множестве сходимость ряда

частичная сумма которого имеет вид

Из последнего равенства вытекает равномерная сходимость последовательности к предельной функции равной , где — сумма ряда (2.19).

Теперь мы можем сформулировать и доказать следующие два признака.

Теорема 2.5 (первый признак Абеля). Если функциональный ряд (2.1)

обладает равномерно ограниченной на множестве последовательностью частичных сумм, а функциональная последовательность обладает равномерно ограниченным на множестве изменением и имеет предельную функцию, тождественно равную нулю, то функциональный ряд

сходится равномерно на множестве

Доказательство. По условию существует число такое, что последовательность частичных сумм ряда (2.1) для всех номеров и всех точек х из множества удовлетворяет неравенству

Фиксируем произвольное и по нему номер такой, что для всех превосходящих всех натуральных и всех точек х множества справедливы неравенства

(Здесь мы воспользовались равномерной на множестве сходимостью последовательности к нулю и равномерной на множестве сходимостью ряда

В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит сумму их модулей, имеем

Учитывая, что для всех номеров и всех х из справедливо неравенство получим

Сопоставление последнего неравенства с (2.21) и (2.22), позволяет записать неравенство

справедливое для всех номеров превосходящих всех натуральных и всех точек х множества а это и означает, что ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (в силу теоремы 2.2). Теорема доказана.

Теорема 2.6 (второй признак Абеля). Если функциональный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве к сумме ограниченной на этом множестве, а функциональная последовательность обладает равномерно ограниченным на множестве изменением и имеет ограниченную на этом множестве предельную функцию то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве

Доказательство. Будем исходить из тождества Абеля (1.77). Это тождество можно переписать в виде

(Здесь символом обозначена частичная сумма ряда (2.1).)

Из последнего тождества вытекает неравенство

Так как по условию сумма ряда (2.1) и предельная функция последовательности ограничены на множестве то найдутся постоянные такие, что для всех х из множества

Из неравенств (2.24) и из равномерной на множестве сходимости последовательностей к предельным функциям соответственно вытекает существование номера что для всех точек х множества и всех номеров удовлетворяющих условию будут справедливы неравенства

Далее, из равномерной на множестве сходимости функциональных рядов (2.1) и (2.19) и из критерия Коши равномерной сходимости вытекает, что для произвольного найдутся номера такие, что неравенство

будет справедливо для точек х множества всех натуральных и всех номеров удовлетворяющих условию а неравенство

— для всех точек х множества всех натуральных и всех номеров удовлетворяющих условию

Наконец, из тождества

из вытекающего из него неравенства

и из неравенства (2.27) получаем

для всех точек х множества всех натуральных и всех номеров удовлетворяющих условию

Обозначим через наибольший из трех номеров Тогда при для всех точек х множества и всех натуральных будет справедливо каждое из четырех неравенств

Из этих неравенств и из (2.23) вытекает, что

при всех всех натуральных и для всех точек х множества

В силу критерия Коши ряд (2.20) сходится равномерно на множестве Теорема доказана.

Следствие из теоремы 2.5 (признак Дирихле — Абеля). Если функциональный ряд (2.1) обладает равномерно ограниченной на множестве последовательностью частичных сумм, а функциональная последовательность не возрастает в каждой точке множества и равномерно на этом множестве сходится к нулю, то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве

Достаточно заметить, что невозрастающая в каждой точке множества и сходящаяся равномерно на этом множестве к нулю последовательность заведомо обладает на множестве равномерно ограниченным изменением, так как для нее частичная сумма ряда (2.19) равна Поэтому существует равномерный на множестве предел

В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости ряда

Так как последовательность

не возрастает в каждой точке бесконечной прямой и равномерно на этой прямой сходится к нулю, то в силу признака Дирихле—Абеля ряд (2.29) сходится равномерно на любом множестве, на котором ряд

обладает равномерно ограниченной последовательностью частичных сумм.

Для вычисления частичной суммы ряда (2.30) просуммируем тождество

по всем номерам от 1 до При этом получим соотношение

из которого вытекает равенство

Следовательно, для всех номеров справедливо неравенство

которое означает, что последовательность частичных сумм ряда (2.30) равномерно ограничена на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек где (так как на любом таком сегменте имеет положительную точную нижнюю грань).

Итак, ряд (2.29) сходится равномерно на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек

В силу второго признака Абеля можно утверждать, что ряд

также сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек поскольку ряд (2.29) равномерно сходится на таком сегменте, причем к ограниченной сумме, а последовательность обладает равномерно ограниченным на любом сегменте изменением (так как ряд

на всей прямой мажорируется сходящимся числовым рядом и на всей прямой сходится равномерно к ограниченной функции

Доказать что последовательность функционалов сходится

Научный форум dxdy

Что нужно, чтобы доказать, что функция сходится к Дельт.Ф-ии

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Сходимость функционального ряда.

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Неравномерная сходимость последовательности функций.

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Признак Дирихле.

Признак Абеля.

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Доказать что последовательность функционалов сходится

Доказать что последовательность функционалов сходится

Добавить комментарий Отменить ответ