Как найти большую сторону параллелограмма

Как найти сторону параллелограмма?

Чтобы найти сторону параллелограмма, необходимо наличие некоторых других значений, которые бы были известны. Далее попросту использовать одну из подходящих формул.

Например, по теореме косинусов, это формулы сторон через диагонали и находящийся между ними угол:

Другим решением, являются формулы, где стороны рассчитываются по диагонали и одной из известной стороны:

Вот еще формулы сторон параллелепипеда, через вторую сторону, диагонали и косинус угла:

Стоит напомнить и про формулы длин сторон, через высоту и синус угла:

Так же длину стороны параллелограмма, можно определить если известны площадь и высота:

Как видим, вариантов расчета высоты параллелограмма достаточно много и хотелось напомнить основные характеристики этой геометрической фигуры:

Во первых, параллелограммом называется четырехугольник, имеющий параллельно расположенные противоположные стороны , т. е. находящиеся на параллельных прямых. Квадраты, прямоугольники и ромбы, также являются параллелограммами.

Для нахождения стороны параллелограмма есть более десятка разных формул (они перечислены в ответе автора Бульбозавр), но для решения задач на эту тему, далеко не всегда их можно применить.

На мой взгляд лучше всего разобрать несколько примеров и на практике увидеть, как находить сторону этой фигуры — в наших случаях с помощью уравнений.

Нужно найти стороны параллелограмма, если одна из сторон больше другой в два раза а периметр равен 30 см.

Даже не нужно чертить рисунок, а просто составить уравнение и решить его

периметр(30см) = 2(х+2х) откуда х=5см, следовательно одна сторона равна 5см, другая — 10см.

АВСД — параллелограмм, нужно найти его стороны если — ВМ перпендикуляр к АС, АМ=6см, МС=15см, ВС больше АВ на 6 см

Для решения этой задачи сначала рассматриваем два прямоугольных треугольника АВМ и ВСМ у которых общий катет h.

Согласно Пифагору

h*h=a*a-6*6=b*b-15*15 откуда b*b-a*a=(b-a)(b+a)=225-36=189

по условию задачи b-a=7 тогда b+a=189/7=27

решив эту простенькую систему уравнений найдем стороны a=10см b=17cм

Как найти стороны параллелограмма

Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), ( a , b ):

Длина стороны параллелограмма

Длина стороны параллелограмма

Длина стороны параллелограмма

Длина стороны параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, ( a , b ):

Длина стороны параллелограмма

Длина стороны параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма , ( a , b ):

Длина стороны параллелограмма

Длина стороны параллелограмма

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

Длина стороны параллелограмма через высоту

a , b — стороны параллелограмма

H b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

α , β — углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, ( a , b ):

Длина стороны параллелограмма через высоту

Длина стороны параллелограмма через высоту

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

Параллелограмм

a , b — стороны параллелограмма

Как найти большую сторону параллелограмма

Учебный курс Решаем задачи по геометрии

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как выглядит параллелограмм

Параллелограмм с проведенной высотой к одному из оснований и диагоналями

На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями.

Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:
ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)
BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом)
AC и BD — диагонали параллелограмма.

Свойства параллелограмма

  • Противоположные стороны параллелограмма равны
  • Противоположные углы параллелограмма равны
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
  • Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
  • Сумма всех углов равна 360°
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
  • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)

Признаки параллелограмма

  • Противоположные стороны попарно равны
  • Противоположные стороны попарно параллельны и равны
  • Противоположные углы попарно равны
  • Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
  • Сумма соседних углов равна 180 градусов
  • Две стороны равны и параллельны

Как найти площадь параллелограмма

Параллелограмм, с отмеченными на чертеже основаниями a и b, диагоналями d1 и d2, а также высотой h, проведенной к основанию a

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

Найти онлайн сторону параллелограмма

vkontakte

Параллелограммом называют четырёхугольный многоугольник, две соседние стороны которого равны и параллельны противоположным. Помимо этого, есть ещё несколько важных условий определения фигуры как параллелограмма:

  1. В месте пересечения диагонали делятся пополам, а точка, в которой пересекаются диагонали, является одновременно центром этих двух отрезков. При этом она всегда лежит внутри фигуры.
  2. Любая диагональ данного четырёхугольника разделяет его на одинаковые треугольники, так как проходит из одной вершины к противоположной, то есть по центру четырёхугольника.
  3. Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  4. Углы фигуры, расположенные друг напротив друга, попарно равны. Это условие вытекает из утверждения, что параллельные стороны фигуры равны.
  5. Сумма двух односторонних углов равна 180°. Это условие напрямую связано с теоремой о двух параллельных прямых и секущей. И действительно, если рассматривать две противоположные и третью между ними стороны параллелограмма как две параллельные прямые и секущую, то можно заметить, что углы, принадлежащие одной стороне, будут соответствовать односторонним углам, сумма которых, согласно теореме, равна 180°.

Только при выполнении всех условий четырёхугольный многоугольник будет считаться параллелограммом.

  • Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и острый угол между ними
  • Длинная сторона параллелограмма через две диагонали и тупой угол между ними
  • Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и острый угол между ними
  • Короткая сторона параллелограмма через две диагонали и тупой угол между ними
  • Сторона параллелограмма через две диагонали и другую известную сторону

Нахождение длинной стороны через две диагонали и острый угол между ними

Рис 1

Длинную сторону параллелограмма можно найти, зная обе диагонали и острый угол между ними, по формуле:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.

Пример. Допустим, дан параллелограмм, у которого диагонали 7 и 4 см, а угол между ними 68º. Тогда, согласно формуле, сторона будет равна: a = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 3,317 см . Ответ: 3,317 см.

Нахождение короткой стороны через две диагонали и острый угол между ними

Рис 3

Можно вычислить и короткую сторону по формуле:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, α — острый угол между диагоналями.

Пример. Теперь необходимо найти другую сторону параллелограмма. Данные останутся те же, что и в прошлой задаче, но в уравнении поменяется знак, так как по отношению к углу поменялась сторона, которую надо найти. Сторона b будет равна: b = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos68º)) / 2 = 4.64 . Ответ: 4,64 см.

Нахождение длинной стороны через две диагонали и тупой угол между ними

Рис 2

Стороны параллелограмма можно найти, зная диагонали и тупой угол между ними. Для этого нужно использовать следующую формулу:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.

Пример. Рассмотрим нахождение сторон всё того же параллелограмма с диагоналями 7 и 4 см. Однако на этот раз возьмём между диагоналями другой угол: β=112º. В таком случае для стороны a минус меняется на плюс, а сама сторона равна: a = (√(7² + 4² + 2 (7 * 4) * cos112º)) / 2 = 3.914

Нахождение короткой стороны через две диагонали и тупой угол между ними

Рис 4

Аналогично можно найти и короткую сторону, зная диагонали и тупой угол между ними:

где D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, β — тупой угол между диагоналями.

Пример. Для стороны b так же изменится знак в формуле, но наоборот: плюс на минус. Тогда получается: b = (√(7² + 4² — 2 (7 * 4) * cos112)) / 2 = 4,64 см . Ответ совпал с ответом второй задачи, все опять решено верно, а сторона в воображаемом параллелограмме действительно равна 4,64 см.

Нахождение стороны параллелограмма через диагонали и другую сторону

Рис 5

Как и в случае с прошлыми пунктами, существуют формула, которая позволяет найти сторону параллелограмма с использованием диагоналей и известной стороны. Вот она:

где D, d — диагонали, b — сторона.

Выводится данная формулы из первого следствия теоремы косинусов.

Пример. Используем для следующих задач другой параллелограмм. Эта фигура будет с диагоналями 9 и 5 см и стороной 6 см. Тогда другая сторона данного параллелограмма равна: a = √(9² + 5² — 2 * 6² / 2) = 4,1 см. Ответ: 4,1 см.

Для проверки ответа можем решить обратную задачу, при которой нам не известна сторона b, но известна сторона a = 4,1 см. По обратной формуле получается b = √(9² + 5² — 2 * 4,1² / 2) = 6 см. Ответ совпадает с изначальными данными первой задачи. А значит и этот воображаемый параллелограмм действительно существует.

Нахождение стороны через синус угла и высоту

Рис 6

Высота – это отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины фигуры на противоположную сторону. Есть несколько интересных свойств у неё. Например, высоты, проведенные из острых углов, будут всегда лежать вне фигуры, в то время как высоты из тупых углов всегда лежат внутри. Если из одного угла опустить две высоты, то между ними образуется угол, равный смежному углу параллелограмма. Равными будут те высоты, что заключены между параллельными сторонами четырёхугольника. Найти сторону параллелограмма через эту величину достаточно просто, по формуле:

где: h — высота параллелограмма, sin α — угол.

Стоит заметить, что высота должна быть опущена не к искомой стороне, а к соседней. При этом для формулы сойдет синус любого известного угла параллелограмма.

Пример. Найти сторону параллелограмма, если высота, опущенная на соседнюю сторону равна 10 см, а острый угол — 30º. Решение: a=10 / 0,5 = 20 см

Нахождение стороны через площадь и высоту

Рис 7

Более подробно о площади и высоте параллелограмма рассказано в пунктах выше. В этом достаточно легко вывести единственную формулу, по которой можно найти сторону. Если площадь является произведением стороны на высоту, то сторона будет равна отношению площади к высоте:

где S — площадь параллелограмма, h — высота.

Причем не имеет значения, к какой стороне опущена высота: к искомой или соседней.

Пример. Найти сторону параллелограмма, если его площадь равна 20 см, а высота, опущенная на одну из сторон — 5 см. Решение: a = 20 / 5 = 4 см .

Фигура кажется сложной для восприятия из-за того, что её нельзя постоянно наблюдать где-то в повседневной жизни. Однако всё становится проще, если вспомнить, что есть более известные широкой публике частные случаи параллелограмма. Их-то человек обычно наблюдает ежедневно. Это ромб, прямоугольник и квадрат. Причем последний, хоть и наиболее известен, является и наиболее интересным.

Ромб считается частным случаем, потому что представляет собой параллелограмм, диагонали которого в точке пересечения образуют прямой угол. Прямоугольник является частным случаем, потому что это параллелограмм, у которого все углы прямые. У квадрата же положение ещё интереснее, так как его можно назвать не только частным случаем параллелограмма, но и прямоугольника, и ромба. Квадрат – это комбо трёх предыдущих определений. Можно даже сказать, что квадрат одновременно является особенным случаем и для параллелограмма, и для прямоугольника, и для ромба. Все его стороны равны, противоположные стороны параллельны. Все углы являются прямыми, даже образующиеся при пересечении диагоналей, которые к тому же делятся пополам в точке пересечения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *