Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.
Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.
Четные и нечетные вектор-функции
По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию , будем называть четной (нечетной), если для всех , является четной (нечетной) функцией, т.е. область определения симметрична относительно нуля и ().
Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если
и является четной функцией, а — нечетной.
будем называть четной частью функции , — нечетной.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.
Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).
Доказательство. a) — четная функция.
Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.
б) — нечетная функция.
Т.к. и существуют или не существуют одновременно, то , и . Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.
Свойство 2 Если — нечетная функция, то .
Доказательство. Поскольку — нечетная функция, то
Подставив вместо получаем
Основные сведения из теории отражающих функций
считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения
Определение: Отражающей функцией системы назовем дифференцируемую функцию
или формулами
Для отражающей функции справедливы свойства:
1) Для любого решения
системы верно тождество
2) Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:
3) Дифференцируемая функция
будет отражающей функцией системы тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных
и начальному условию
Уравнение будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения . Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы верны тождества
Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы , и следуют тождества .
Приступим к доказательству свойства 3). Пусть — отражающая функция системы . Тогда для неё верно тождество . Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что — решение системы , и самим тождеством . Получим тождество
из которого в силу произвольности решения следует, что — решение системы . Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть некоторая функция удовлетворяет системе и условию . Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи — функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы -периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы можно найти по формуле
и поэтому решение
системы будет -периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы
В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.
Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция -периодична и нечетна по , т.е.
и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы будет -периодическим и четным по .
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению и условию . Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение
Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы будет -периодическим. Четность произвольного решения системы следует из тождеств
справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
Справедливы следующие утверждения .
Теорема 5 Пусть все решения системы -периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция этой системы -периодична по
Теорема 6 Пусть система -периодична по а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Если, кроме того, отражающая функция этой системы -периодична по то все решения системы периодичны с периодом
Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы продолжимы на отрезок При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех
Из -периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на решений периодической системы . Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.
Не следует думать, что если все решения -периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения
В случае, когда , т.е. когда система вырождается в уравнение, верна
Теорема 7 Пусть уравнение -периодично по а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Тогда для того, чтобы все решения уравнения были -периодичны, необходима и достаточна -периодичность по отражающей функции этого уравнения.
Чётность и нечётность производной
Определить чётность/нечётность функции
У = Х ² — 8 |х| + 12 функция чётная «зеркалим» относительно оси ОХ У = |Х ² — 8 х +.
Применяя определение производной, выведите формулу для вычисления производной
y=5^(x-1)
Чётность- нечётность
Написать программу на определение каких цифр больше, чётных или нечётных? Пишем с помощью if или.
чётность, нечётность массива
Все четные элементы массива K поместить в массив L , а нечётные в массив M. Подсчитать количество.
По определению производной и условию на четность функции
Добавлено через 9 минут
Условие четности функции f(-x)=f(x)
Аналогично для нечетной функции f(-x)=-f(x)
Проверка числа на чётность/нечётность
Подскажите пожалуйста молодому-неопытному как проверить в С++ чётное число или нечётное? Есть.
Итератор и проверка на чётность/нечётность
Добрый день. Не получается организовать проверку на нечётное количество. При вводе нечётного.
проверить элемент массива на чётность/нечётность
Как проверить элемент массива на чётность или нечётность?
Проверка числа типа double на чётность/нечётность
В программе необходимо проверить число типа double на то, является оно четным или нет. Это возможно.
11.2. Свойства дифференцируемых функций
Будет ли функция иметь предел в точке, в которой существует ее производная? Будет ли непрерывной дифференцируемая функция? Эти вопросы возникают сразу же, потому что и понятие производной, и понятие непрерывности имеют общую первооснову – понятие предела.
ТЕОРЕМА 1. Если функция 
имеет производную на множестве X, то она непрерывна на этом множестве.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из условия теоремы следует, что отношение 
имеет конечный предел для любого X из множества X при 
, то есть:
По теореме, определяющей необходимое и достаточное условие существования предела, будем иметь:
Где 
– бесконечно малая функция при 
, стремящемся к нулю.
Находим приращение функции:
Оно складывается из двух бесконечно малых функций при , поэтому их сумма 
бесконечно мала, что и доказывает непрерывность функции .
Дифференцируемая функция непрерывна, значит, она имеет и предел в соответствующих точках.
Рис. 11.2. Пример функции, недифференцируемой
В отдельной точке.
Если непрерывная функция не имеет производную в некоторой точке, то можно ли эту функцию переопределить в этой точке так, чтобы она стала дифференцируемой?
Непрерывность функции является, однако, лишь необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости. Например, рассмотрим функцию 
(рис. 11.2). Она может быть представлена в виде
Дайте определение бесконечной производной.
Изобразите схематично графики непрерывных функций, имеющих бесконечную производную.
Если взять приращение аргумента в окрестности нуля
Может ли функция, у которой производная обращается в бесконечность, иметь в этой точке:
А) устранимый разрыв;
Б) разрыв первого рода;
В) разрыв второго рода?
То слева от этой точки
Если производная функции конечна для 
, то может ли сама функция быть бесконечно большой в этой точке?
При как слева, так и справа от точки 0, 
, то есть, 
непрерывна в нуле, однако
Это означает, что
Не существует, следовательно, при 
эта функция не является дифференцируемой.
Докажем теорему, позволяющую обосновать вычисление производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.
ТЕОРЕМА 2. Если 
и 
дифференцируемы на множестве X, то производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных
(11. 1)
Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой из них на вторую функцию, и первой функции на производную второй функции.
(11. 2)
Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной делимого на делитель и производной делителя на делимое, а знаменатель есть квадрат делителя.
(11. 3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Можно ли представить дифференцируемую функцию в виде суммы двух недифференцируемых?
Пусть аргумент x получает приращение . Тогда функции и будут иметь приращения 
и 
соответственно. Пользуясь определением производной, находим:
Это правило позволяет в случае необходимости выносить числовой множитель за знак производной, разбивать функцию на слагаемые, если производная каждого из них существует. В частности, при 
и 
имеем:
Так как предел последнего слагаемого равен нулю, потому что
.
Почему 
при 
и 
?
ТЕОРЕМА 3. Если для функции существует обратная функция 
и в рассматриваемой точке Х производная 
, то обратная функция в соответствующей точке дифференцируема, причем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Придадим значению у приращение 
, тогда функция получит приращение , которое также отлично от нуля. Действительно, если бы 
, то 
, что невозможно. Следовательно, можно записать:
Пусть , тогда, в силу непрерывности обратной функции, и , поэтому
(11. 4)
ТЕОРЕМА 4. Если функция 
дифференцируема в точке T, а функция дифференцируема в точке X, то сложная функция 
дифференцируема в точке T, причем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Дадим аргументу t приращение 
. Тогда функция 
Получит приращение 
. Оно, в свою очередь, вызовет приращение функции , равное 
. Согласно определению, при 
будем иметь:
Доказать, что производная четной функции – нечетна, а нечетной – четна.
Возможность перехода от предела при 
к пределу при 
оправдана тем, что 
дифференцируема, а значит, непрерывна, поэтому бесконечно малому приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции 
. Это и доказывает теорему.
Рассмотренные свойства дифференцируемых функций приблизили нас к возможности непосредственного вычисления производных.
Доказать что производная четной функции функция нечетная
Загрузка. Пожалуйста,
подождите.
Профиль
Группа: Комодератор
Сообщений: 2422
Регистрация: 18.10.2004
Репутация: 3
Всего: 74
Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 3388
Регистрация: 12.3.2006
Где: Тосно
Репутация: 7
Всего: 89
| Цитата(SoWa @ 15.1.2007, 18:18 ) |
| Доказать, что производная четной функции- нечетная функция. Нечетной- четная. |
Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 920
Регистрация: 30.6.2004
Где: г. Москва
Репутация: 6
Всего: 23
SoWa, док-во из лекции (я не вникал, но уверен что это то)
Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна
Действительно, если x —> — x0 , то -x —> x0, поэтому
Для четной функции 
для нечетной функции
ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела.
Несоблюдение правил может повлечь за собой самые строгие меры от закрытия/удаления темы до бана пользователя!
- Название темы должно отражать её суть! (Не следует добавлять туда слова «помогите», «срочно» и т.п.)
- При создании темы, первым делом в квадратных скобках укажите область, из которой исходит вопрос (язык, дисциплина, диплом). Пример: [C++].
- В названии темы не нужно указывать происхождение задачи (например «школьная задача», «задача из учебника» и т.п.), не нужно указывать ее сложность («простая задача», «легкий вопрос» и т.п.). Все это можно писать в тексте самой задачи.
- Если Вы ошиблись при вводе названия темы, отправьте письмо любому из модераторов раздела (через личные сообщения или report).
- Для подсветки кода пользуйтесь тегами [code][/code] (выделяйте код и нажимаете на кнопку «Код»). Не забывайте выбирать при этом соответствующий язык.
- Помните: один топик — один вопрос!
- В данном разделе запрещено поднимать темы , т.е. при отсутствии ответов на Ваш вопрос добавлять новые ответы к теме, тем самым поднимая тему на верх списка.
- Если вы хотите, чтобы вашу проблему решили при помощи определенного алгоритма, то не забудьте описать его!
- Если вопрос решён, то воспользуйтесь ссылкой «Пометить как решённый», которая находится под кнопками создания темы или специальным флажком при ответе.
Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman
| 0 Пользователей читают эту тему (0 Гостей и 0 Скрытых Пользователей) | |
| 0 Пользователей: | |
| « Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема » |
[ Время генерации скрипта: 0.1085 ] [ Использовано запросов: 21 ] [ GZIP включён ]