Как расположить корни в порядке возрастания

Разложите числа корень 4 степени из 3; корень 6 степени из 5; корень 6 степени из 2 корень из 7 в порядке возрастания

Чтобы расположить числа в порядке возрастания необходимо, используя свойства корней и степеней, уравнять показатели корней, для этого найдём наименьшее общее кратное показателей степеней корней НОК(4, 6, 2) = 12. Получаем:

7^(1/2) = 7^(6/12) = 117649^(1/12).

Так как 4^(1/12) < 25^(1/12) < 27^(1/12) < 117649^(1/12), то 2^(1/6) < 5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/2).

Ответ: числа в порядке возрастания – корень 6 степени из 2; корень 6 степени из 5; корень 4 степени из 3; корень из 7.

Корни и степени

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Запомним важное правило:

По определению, .

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

5. Найдите значение выражения при

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

При b = — 5 получим:

7. Расположите в порядке возрастания:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Сравним и для этого оценим их разность:

8. Представьте выражение в виде степени:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

9. Упростите выражение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

10. Чему равно значение выражения при ?

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

Значит, первое число больше второго.

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

19. Вычислите значение выражения:

20. Вычислите значение выражения:

21. Вычислите значение выражения: если

Если то следовательно

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

Упр.492 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Изображение 492. Расположите в порядке возрастания числа:а) 2/3 корень 72, корень 30 и 7 корень 2;б) 5 корень 7/2, корень 17 и 1/2 корень 62;в) 8 корень 0,2, корень 41 и 2/5.

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Расположите числа в порядке возрастания:корень 2,3, корень 10,4, корень 19,5
Расположите числа в порядке возрастания:корень 0,5, корень 1/2, корень 1/3
Расположите числа в порядке возрастания:корень 0,7, корень 1,7, корень 1

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Образуйте повелительное наклонение следующих выражений

· das Auto waschen;

· die Musik leise machen;

· das Mittagessen kochen;

· Oma und Opa besuchen;

· Mit dem Fahrrad fahren

Якщо до двоцифрового числа дописати справа і зліва цифру 4, то утворене число буде в 54 рази більше за дане двоцифрове. Знайдіть це двоцифрове число.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *