Как определить симметричность функции относительно 0

Симметрия функции

Функция называется четной, если . График четной функции симметричен относительно оси .

Пример. Функция является четной, так как, , следовательно, график этой функции симметричен относительно оси . (См. рис. 57)

Функция называется нечетной, если . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример. Функция является нечетной, так как , следовательно, график этой функции симметричен относительно начала координат. (См. рис. 58)

Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать только при , а при достроить по симметрии, то есть симметрично относительно оси (начала координат).

Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что . Наименьшее из таких чисел называется периодом функции. График периодической функции достаточно построить на отрезке оси длины периода , а затем продолжить, сдвигая на , где по оси .

Пример.Функция периодическая с периодом , так как . График этой функции изображен на рис. 59.

Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х)Х для любого хХ, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

Примеры несимметричных множеств:

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как -2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1) область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2) для любого хD(f) выполняется равенство

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-хчетной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-хявляется четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-хне является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

или f(-x) = f(x) (2) для всех хD(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:

_

Пример: исследовать на четность и нечетность функции:

1) у = 8; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .

Областью определения функции у = 8является числовая прямая (-; +) — симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8;

f(-x) = 8= 8. Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y = является промежуток (0; +) — не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y = не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у = находится из условия или (x — 1)(x + 1), таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] — симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) = ; f(-x) = = , т.е. функция у = является чётной.

4) Функция у = не определена при тех значениях x, при которых знаменатель = 0, т.е. в таких точках -3 и3 значит, область определения функции D(f) = (-; -3) (-3; 3) (3; +) — симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) = = — .

Так как f(-x)f(x) и f(-x)-f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y = (x) — нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Пусть Функции y = (x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

(x) и (x) соответственно:

(x) = f(x) + (x); = f(x) — (x).

Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = -(x), то

(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) — (x) = — (f(x) + (x)) = -(x)

(-x) = f(-x) — (-x) = -f(x) + (x) = — (f(x) — (x)) = -(x).

Полученные равенства означают, что (x) и (x) — нечётные функции.

Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) — нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф(x) и Ф(x) соответственно:

Ф(x) = f(x) (x); Ф(x) = ((x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и (x) — нечётные, будем иметь:

Полученные равенства доказывают, что Ф(x) и Ф(x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) — чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G(x),

разность функций G(x), произведение функций G(x), частное данных функций G(x) соответственно:

G(x) = f(x) + (x); G(x) = f(x) — (x); G(x) = f(x) (x);

Докажем, что G(x), G(x), G(x), G(x) — чётные функции.

Учитывая, что f(x) и (x) — чётные функции будем иметь:

G(-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G(x);

G(-x) = f(-x) — (-x) = f(x) — (x) = G(x);

G(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G(x);

Свойство 4. Если y = f(x) — чётная функция, а y = (x) — нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) (x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Учитывая, что f(x) — функция чётная, а (x) — функция нечётная, будем иметь:

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.

Покажем, что существуют функции y = (x) и y = (x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что

y = (x) + (x) = f(x), где y = (x) — чётная функция, а y = (x) — нечётная функции.

Тогда ясно, что (x) и (x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и

что и требовалось доказать.

Пример. Функцию y = 2 можно представить в виде суммы двух функций y = (x), где (x) = , и y = (x), где (x) = , причём функция y = (x) — чётная, а функция y = (x) — нечётная.

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число 0 такое, что выполняются следующие два условия:

1) для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x + ) и (x — T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + ) = f(x).

Число Т называют периодом функции y = f(x).

Замечание. Для периодической функции имеет место равенство

f(x — T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x — T) определена и

f(x) = f[(x — T) + T] = f(x — T).

Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где n, n0 является периодом этой функции.

Действительно, пусть n = 1, тогда согласно определению и замечанию:

а) точки (x + ) и (x — T) принадлежат области определения функции y = f(x);

б) f(x) = f(x + ) и f(x) = f(x — T).

Предположим, что для n = k справедливо утверждение точки (x + kT) и (x — kT) принадлежат области определения функции y = f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1.

По предположению точки (x + kT) и (x — kT) принадлежат области определения функции y = f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки

[(x + kT) + T] и [(x — kT) — T], т.е. точки [x + (k + 1)T] и [x — (k + 1)T], принадлежат её области определения.

Итак, для любого x из области определения функции y = f(x) при любом nZ, n0 точки (x + n) и (x — nT) принадлежат области её определения.

Предположим, что для любого n = k справедливо утверждение

f(x) = f(x + kT) и f(x) = f(x — kT). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1. Действительно, так как Т является периодом функции y = f(x), то для точки (x + kT) имеем [(x + kT) + T] = f(x + kT), но по предположению

f(x) = f(x + kT) следовательно, f(x) = f[x + (k + 1)T].

Аналогично для точки (x — kT) доказывается, что f(x) = f[x — (k + 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля n утверждение f(x) = f(x + nT) и

f(x) = f(x — nT) доказано.

Число Т называется главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y = f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).

Пример №1. Функция y = ( — дробная часть числа х) — периодическая. Заметим, что по определению = х — [х], где [x] — целая часть числа х. Область определения данной функции — вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого Tx, Т0 числа (х + Т) и (х — Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x +T ) = = x + T — [x + T] = x + T -([x] + T) = x + T — [x] — T = x — [x] = , где Т Z, T0.

Таким образом, функция у = — периодическая с периодом Т, где Т Z, T0.

Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.

Построим график функции у = .

Для этого сначала построим график функции на промежутке х [0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х [0;1), то = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.

Весь график функции у = получим параллельным переносом графика функции у = , где х[0;1) вдоль оси абсцисс на = 1.

Пример № 2

Функция Дирихле — периодическая с периодом T = r, где r = Q.Действительно,

Так как r — рациональное число, то сумма х + r — рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r — иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.

Следовательно, D(x + r) = D(x).

Пример № 3

Функция y = sin не является периодической, так как, например для числа

х = 0 число (х — Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.

Пример № 4

Найти период функции

y = A sin (mx + ), где А, m, — постоянные величины, A0, m0,

Область определения функции — числовая прямая, поэтому числа (хТ)R, где Т0. Пусть основной период данной функции равен Т. Тогда для данной функции при любых действительных х рассмотрим равенство

A sin (m (x + T) + ) = A sin (mx + ).

A (sin (m (x + T) + ) — sin (mx + ) = 0.

Применяя формулу разности синусов, будем иметь:

Это произведение должно равняться нулю независимо от значений х.

Так как х — переменная величина, то 2cos0, А0 по условию, тогда sin = 0, откуда следует

Из множества значений Т наименьшее положительное значение получим при наименьшем положительном значении n = 1, значит период данной функции

Заметим, что период функции у = А sin (mx + ) не зависит от A и .

Аналогично можно найти основные периоды и остальных тригонометрических функций.

Таким образом, функции

y = sin x и y = cos x имеют основной период Т = 2

у = tg x и у = ctg x имеют основной период Т = ,

а функции у = sin (mx + ) и у = cos(mx + ) имеют основной период Т = .

Функции у = tg (mx + ) и у = ctg (mx + ) имеют основной период Т = .

Отметим некоторые свойства периодических функций. Заметим, что сумма разность, произведение и частное двух периодических функций может быть функцией как периодической, так и не периодической.

Теорема 1. Если периодические функции y = f₁ (x) и y = f₂ (x), x X, имеют один и тот же период T, то их сумма, разность, произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.

Доказательство Так как функция y = f₁ (x) — периодическая с периодом Т 0, то для любого x X выполняется равенство

Так как функция y = f₂ (x) — периодическая с периодом Т 0, то для любого x X выполняется равенство

Рассмотрим функцию z (x) = f₁ (x) f₂ (x), заданную на множестве X. Тогда для любого x X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

Последнее равенство доказывает периодичность функции z (x) представляющей собой сумму или разность двух периодических функций с одним и тем же периодом Т.

Рассмотрим функцию t (x) = f₁ (x)f₂ (x), заданную на множестве Х. Тогда для любого x X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

Данное равенство доказывает периодичность функции t(x) представляющей собой произведение двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, причем число Т является периодом как функции t(x), так и функции z(x).

Замечание. Если число Т было наименьшим положительным периодом (т.е. основным периодом) двух заданных функций, то после их сложения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов.

Пример 5. Функция f₁ (x) = 3 sin x + 2 имеет основной период 2, функция f₂ (x) = 2 — 3 sin x имеет основной период 2, а их сумма

z (x ) = f₁ (x) +f₂ (x) = 3 sin x + 2 + 2 — 3 sin x = 4

наименьшего положительного периода не имеет, так как при любом действительном значении 0 z(x+) = z(x), т.е. любое действительное число является периодом функции z(x), а наименьшего положительного среди действительных чисел нет.

Пример 6. Функция ₁(x) = sin x +1 и ₂(x) = 1- sin x имеют наименьший положительный период 2, а для произведения

t(x) = ₁(x) ₂(x) = (sin x +1)(1- sin x) = 1- sin 2 x = cos 2 x =

наименьшим положительным периодом есть число .

Определение Периоды функций Т₁ и Т₂ называются соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа m и n, что mT₁ = nТ₂.

Пример 7. Выясним, являются ли соизмеримыми периоды Т₁ = и

Решение. Данные периоды будут соизмеримыми, если уравнение m = n имеет решение на множестве Z 0. Умножим обе части данного уравнения на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), получим равносильное уравнение 4m = 15n, откуда m = 15k, n = 4k, где k Z 0. Например, при k = 1 получим

Ответ: Периоды Т₁ и Т₂ соизмеримы.

Теорема 2. Если периодические функции y = f₁(x) и y = f₂(x), x X, имеют соизмеримые периоды Т₁ и Т₂ то они имеют общий период.

Доказательство. Так как периоды Т₂ и Т₂ соизмеримы, то существуют целые отличные от нуля числа m и n такие, что m T₁ = n T₂ = T 0. Следовательно, Т — общий период функций y = f₁(x) и y = f₂ (x). Теорема доказана.

Замечание. По теореме 1 число Т будет также периодом функций

Пример 8. Найти период функции

f(x) = sin2x + 3sin(3x-2) — cos(x +1).

Решение. Так как период синуса равен 2, функция sin2x имеет период = функция sin(3x-2) = sin(3x-2 + 2) = 3sin3(x-+ ) и ее период равен . Аналогично, функция -cos(x +1) имеет период = .

Для того, чтобы найти общий период функции, представим периоды

Т₁ = ; Т₂ = и Т₃ = в другом виде, а именно, коэффициенты при в полученных периодах приведем к общему знаменателю, получим

Т₁ = = 6; Т₂ = = 4 и Т₃ = = и найдем наименьшее общее кратное числителей этих коэффициентов 6, 4 и 15. Оно равно 60. Следовательно, число Т = 60 = 10 — основной период данной функции.

Пример 9. Найти период функции y = cos5x-sin2x.

Решение. Функция y = cos5x имеет период T₁ = ; функция y = sin2x — период Т₂ = = . Представим периоды Т₁ и Т₂ в другом виде: Т₁ = 2; Т₂ = 5. Таким образом видно, что периоды Т₁ и Т₂ соизмеримы: 5Т₁ = 2Т₂, откуда 5 = 2 = 2. Следовательно, число 2 является периодом данной функции.

Пример 10. Найти основной период функции y = sin 2 x.

Решение. Понизим степень функции y = sin 2 x. Тогда y = =

-cos2x. Период этой функции равен периоду cos2x = . Таким образом основной период данной функции равен .

Замечание. Если Т₁ и Т₂ — основные периоды функций f₁(x) и f₂(x), то наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условиям:

Т = mT₁ = nT₂, где m, n Z <0>, не обязательно является основным периодом функций f₁(x) f₂(x) и f₁(x) f₂(x).

Например, основные периоды функций y = cos2x + sinx и y = -sinx равны 2, а основной период их суммы y = cos2x равен .

Или, вернемся к примеру 6 и посмотрим на функцию y = sin 2 x как на произведение функций y = sinx sinx. Основной период функции y = sinx есть число 2, но решая пример 6, мы показали, что основной период функции

y = sin 2 x равен .

Заметим, что сложная функция, промежуточным аргументом которой служит периодическая функция, есть функция периодическая, причем периоды этих функций совпадают. Докажем

Теорему 3. Если y = f((x)) — сложная функция, где (x) — периодическая функция с периодом Т, то и сложная функция периодическая с периодом Т.

Доказательство. Так как (x) — периодическая функция с периодом Т, то для любого действительного x из области определения функции (x) имеем

тогда для функции y = f((x)) при любом действительном х из области определения функции (x) будем иметь

(x + Т) = f ((x)) = f((x)) = y(x).

Последнее равенство доказывает, что функция y = f((x)) периодическая с периодом Т.

Пример 11. Функция y = cos3x периодическая с периодом = . В силу теоремы 3 функция y = 5cos22x + +3 периодическая с периодом .

Рассмотрим примеры на доказательство периодичности или не периодичности функций.

Пример 12. Доказать, что функция y = sin не является периодической.

Доказательство. I способ: D(y) = [0;+). Пусть положительное число

Т — период данной функции, тогда должно выполнятся условие (х-Т) D(y), для любого x D(y). Но при x = 0 (х-Т) D(y), следовательно, T > 0 не является периодом функции.

Докажем, что Т < 0 не может быть периодом функции y = sin.

Если T < 0 — период данной функции, то должно выполнятся условие (х + Т) D(y) для любого x D(y). Но при x = 0 (х + Т) D(y), следовательно, T < 0 не является периодом функции.

II способ: Предположим, что функция y = sin имеет период, равный Т. Тогда y = sin= y = sin при любом действительном x D(y). При x = 0 будем иметь, что sin = sin 0 = 0. Значит

а при x = T получим sin= sin= 0. Следовательно,

Разделив почленно (2) на (1) при n 0, получим = =, чего не может быть, так как число иррациональное.

Пример 13. Доказать, что функция y = cos 2 x не является периодической.

Доказательство. Пусть данная функция имеет период Т 0. Тогда для любого x D(y) (D(y) = R) должно выполнятся равенство

cos (x+T) 2 = cos x 2 или

cos (x+T) 2 — cos x 2 = 0

Преобразуем данное равенство по формуле разности косинусов, получим

2sin (x 2 + Tx + ) sin (Tx + ) = o

Это произведение должно равняться нулю независимо от значений переменной величины x, а это невозможно, sin (Tx + ) o и

sin (x 2 + Tx + ) 0. Значит допущение, что функция y = cos 2 x периодическая неверно, т.е. данная функция не является периодической.

Пример 14. Доказать, что функция y = |sin (x)| является периодической с периодом .

Доказательство. D(y) = R. Пусть периодом данной функции будет число Т 0. Тогда

|sin (x + Т)| = |sin (x)| (3)

Это равенство будет выполнятся в двух случаях:

1) sin (x + Т) = sin (x) и тогда

sin (x + Т)-sin (x) = 0

2 cos (x + )sin = 0.

Это произведение должно равняться нулю независимо от переменной x, а это возможно только при sin = 0. Откуда

= k и Т = 2k, что приводит к основному периоду 2.

2) sin (x + Т) = -sin (x). (4)

Тогда sin (x + Т) +sin (x) = 0 и

2 sin (x + )cos = 0.

Откуда = и Т = n, что приводит к основному периоду Т = . Так как при Т = выполняется равенство (4), следовательно, и равенство (3). Значит, Т = есть период функции y = |sin (x)|.

Понятие четной и нечетной функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\) , тогда точка \(M_1(-x,\;f(x))\) так же будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция

Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Возьмем произвольную точку \(M(x,\;f(x))\) из области определения \(f(x)\) , тогда точка \(M_1(-x,\;-f(x))\) также будет принадлежать графику, что следует из определения. Значит график данной функции будет симметричен относительно начала координат.

Произведение четной и нечетной функции

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Значит, \((f\cdot g)(-x)=-(f\cdot g)(x)\) , т.е. функция нечетная.

Исследование функций в примерах

Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.

1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

\(f(x)=f(-x)\) , значит функция четная.

Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)

1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

\(f(x)\neq f(-x)\) , значит функция не является четной.

\(-f(x)=f(-x)\) , значит функция нечетна.

Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\)

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

1. Найдем область определения: х — любое число кроме -1 и 1. Она симметрична относительно 0.

Основные свойства функций. Справочник репетитора по математике

Д анная страница справочника представляет собой виртуальную шпаргалку по математике для учеников и методическое справочное пособие для репетиторов. Тема «свойства функций», адаптированное для разных уровней учащихся 8-9класов. В нем перечислены определения основных понятий и свойств, виды функций, термины и обозначения, принятые в математике. Репетитору по математике показаны образцы рисунков, которые должны остаться в теради ученика. Информация изложена как на строгом и формальном математическом языке (для среднего и сильного ученика), так на простом (бытовом) уровне, доступном для понимания широкому кругу посетителей сайта. Каждый такой перевод с математического языка на русский отмечен одним из следующих указателей: «пояснение репетитора по математике», «редакция репетитора по математике» или «уточнение репетитора по математике». В этих — переводах вы встретите несколько моих собственных уникальных дополнений и комментариев к классическим фомулировкам, которые я использую на занятиях со слабым учеником.

Определение функции: функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие f (x) при котором числу x из множества X сопоставляется некоторое единственное число из множества Y.

Редакция репетитора по математике: функцией называется закон или правило, по которому можно найти число y (значение какой-нибудь величины), если известно число x (значение какой-нибудь другой величины).

При этом букву x называют независимой переменной (или аргументом), а букву y — зависимой переменной. Число, которое подставляется вместо x, называется значением переменной (или значением аргумента), а число y, которому оно соответствует, называется значением функции.

График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Пояснение репетитора по математике Графиком функции называется линия на координатной плоскости, каждая точка которой имеет следующие координаты: первая (абсцисса) — это значение аргумента x , а вторая (ордината) — найденное для этого икса значение функции y.

Свойства функции:

1) Что такое область определения функции? Область определения функции (О.О.Ф) — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.

Редакция репетитора по математике: область определения — множество значений переменной x, у которых можно найти y.

Обозначения области определения Для обозначения области определения используются следующие знаки:
Как найти область определения по графику? Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.

2) Что такое область значений функции? Областью значений функции (О.З.Ф) называется множество всех ее значений.
Редакция репетитора по математике:областью значений функции можно назвать часть оси ОY, состоящую из игреков, у которых есть соответствующие им иксы.

Как найти область значений по графику?: область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.

3) Возрастание и убывание функции.
Какая функция называется возрастающей?Функция называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства

Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует меньшее значение функции. Для графика это будет означать, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет опускаться вниз.

Можно предложить еще один вариант этого определения: функция называется возрастающей на промежутке, если знак которым связаны любые два числа ее области определения, противоположен тому, которым связаны соответствующие им значения функции.

4) Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция имеет постоянный знак (положительный или отрицательный).

Пояснения репетитора по математике: Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y>0 ).
Как найти все такие промежутки по графику? Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика выше оси Ох.

Как их найти без графика? составьте и решите неравенство f (x)>0
Оформление: o ' style='vertical-align:-5%' alt='y>o ' />, если

Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y

Очень хорошее объяснение для понимания и закрепления материала. Браво! Очень круто))

Похожие публикации:

1. Как найти длину поезда зная скорость и время
2. Cisco anyconnect login failed что делать
3. Goto c как использовать
4. Insydeh2o как включить виртуализацию