Сколько разных восьмибуквенных слов можно составить в двоичном алфавите

Сколько можно составить трёхбуквенных слов из символов двоичного алфавита?

Из символов двоичного алфавита можно составить . различных трёхбуквенных слов.

1) не менее шестнадцати

2) не более восьми

3) не более четырёх

4) не более двух

Количество трёхбуквенных слов из символов двоичного алфавита будет не более восьми..

Если алфавит двоичный, т.е. имеет всего два знака 0 и 1..

Значит количество слов должно быть 2^3=8..

Поскольку два в третьей степени равно восьми, то и трёхразрядных комбинаций будет тоже ровно восемь штук.

Не ясно из условия задачи, если ли какие-то ограничения на состав этих ‘трёхбуквенных слов’, т.е. допустимы ли все повторения, или сочетания этих ‘букв’, или нет.

Если безо всяких ограничений общности, то ответ будет таким: 2) не более восьми

Самостоятельная работа № 7 «Элементы комбинаторики»

1. Имеется неограниченно много бусин пяти разных цветов. Сколько разных цепочек из трёх бусин можно из них составить?

2. Сколько разных восьмибуквенных слов можно составить в двоичном алфавите?

3. Укажите наименьшее k, для которого в двухбуквенном алфавите можно составить не менее 34 разных k-буквенных слов.

Вариант 2

1. Имеется неограниченно много бусин трёх разных цветов. Сколько разных цепочек из пяти бусин можно из них составить?

2. Сколько разных семибуквенных слов можно составить в двоичном алфавите?

3. Укажите наименьшее k, для которого в двухбуквенном алфавите можно составить не менее 30 разных k-буквенных слов.

Сколько разных восьмибуквенных слов можно составить в двоичном алфавите

Задания Д8 № 4798

Некоторый алфавит содержит 4 различных символа. Сколько трехбуквенных слов можно составить из символов этого алфавита, если символы в слове могут повторяться?

Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно .

N=3, M=4. Следовательно,

Задания Д8 № 5360

Некоторый алфавит содержит три различные буквы. Сколько трёхбуквенных слов можно составить из букв данного алфавита (буквы в слове могут повторяться)?

Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно .

N=3, M=3. Следовательно,

Задания Д8 № 5552

Некоторый алфавит содержит три различные буквы. Сколько четырёхбуквенных слов можно составить из букв данного алфавита (буквы в слове могут повторяться)?

Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно .

N=4, M=3. Следовательно,

Задания Д8 № 6336

Некоторый алфавит содержит четыре различные буквы. Сколько пятибуквенных слов можно составить из букв данного алфавита (буквы в слове могут повторяться)?

Если в алфавите M символов, то количество всех возможных «слов» (сообщений) длиной N равно Q = M N . Из условия следует, что N = 5, M = 4. Следовательно, Q = 4 5  = 1024.

ЕГЭ по информатике 2021 — Задание 8 (Супер-разбор!)

Сегодня на повестке дня 8 задание из ЕГЭ по информатике 2021. Данный тип заданий включает в себя нахождение количества вариантов, элементы комбинаторики и другие математические понятия.

Перейдём к практике решения задач задания 8 ЕГЭ по информатике 2021.

Все 4-буквенные слова, составленные из букв А, Е, И, О записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:

Запишите слово, стоящее на 248-м месте от начала списка.

Обозначим условно А — 0 , Е — 1 , И — 2 , О — 3 .

Важно: Нужно буквам присваивать цифры именно в том порядке, в котором они идут в самом правом столбце, потому что буквы могут дать в «перепутанном порядке» (например Е, А, И, О), и тогда ничего не получится.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Правильное кодирование букв)
Теперь запишем список с помощью цифр.

Получился обычный счёт в четверичной системе!! (всего используются 4 цифры: 0, 1, 2, 3). А слева нумерация показывает соответствие нашей десятичной системе. Но все числа десятичной системы в этой таблице соответствия сдвинуты на 1, ведь мы должны были начать с нуля.

Нас просят записать слово стоящее на 248, т.е. если была обычная таблица соответствия чисел десятичной системы и четверичной системы, слово стоящее на 248 месте, находилось бы на 247 (248 — 1) месте. Значит, наше искомое четверичное число соответствует 247 в десятичной системе.

Переведём число 247 в четверичную систему!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (перевод числа из десятичной системы в четверичную)

Получилось число 33134 в четверичной системе. Сделаем обратное декодирование в буквы. Таким образом, ответ будет ООЕО.

Ответы: ООЕО

Ещё одна похожая задача 8 задания из примерных вариантов ЕГЭ по информатике, но другой вариации.

Задача (Классика, Другая вариация)

Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Р, У, К записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. ААААА
2. ААААК
3. ААААР
4. ААААУ
5. АААКА
……
Укажите номер слова УКАРА

Закодируем буквы цифрами: А — 0 , К — 1 , Р — 2 , У — 3 . Здесь как раз буквы даны не в том порядке, как они идут в самом правом столбце. Но мы должны кодировать именно в том порядке, как буквы идут в самом правом столбце.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (кодирование букв цифрами)

У нас получилось четыре цифры! Значит снова можно слова превратить в таблицу соответствия между десятичной системой и четверичной системой. Но десятичная система смещена на 1 позицию.

1. 00000
2. 00001
3. 00002
4. 00003
5. 00010
……

Выписываем данное нам слово и посмотрим, какое число в четверичной системе было бы, если бы у нас были в место слов числа в четверичной системе!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (кодируем слово цифрами)

Получили число в четверичной системе 310204. Узнаем, какое число в десятичной системе соответствовало этому числу, если бы была обычная таблица соответствия. Для этого переведём число 310204 из четверичной системы в десятичную. Перевод делаем по аналогии перевода из двоичной системы в десятичную.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Перевод из четверичной в десятичную систему)

0 * 4 0 + 2 * 4 1 + 0 * 4 2 + 1 * 4 3 + 3 * 4 4 = 840 (в десятичной системе) —>

Но помним, что у нас нумерация идёт на 1 быстрее, нежели мы бы поставили десятичные числа, как в таблице соответствия, потому что нумерация начинается не с нуля, а с 1. Поэтому к числу 840 нужно прибавить 1, и в ответе будет 841

Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2020)

Все 4-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы Н, О, Т, К, И, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка.

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы О?

Закодируем буквы цифрами.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (кодируем буквы цифрами от 0 до 4)

Получилось 5 цифр ( 0, 1, 2, 3, 4 ), значит, будем работать в пятеричной системе.

Нужно найти номер первого слова, которое начинается с буквы О. Если говорить на языке пятеричных чисел, то нужно найти номер числа 30005. Мы «забиваем нулями», чтобы число было четырёхразрядное, т.к. слова 4-х буквенные. Именно нулями, потому что нужно именно первое слово найти.

Теперь, как в предыдущей задаче, переведём число 30005 из пятеричной системы в десятичную.

0 * 5 0 + 0 * 5 1 + 0 * 5 2 + 3 * 5 3 = 375 (в десят. системе)

Но опять же должны прибавить 1 к числу 375, т.к. нумерация отличается от десятичных чисел на 1 в большую сторону.

Задача (Досрочная волна 2020 ЕГЭ по информатике, вариант 1)

Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы В, О, Л, К, причём буква В используется в каждом слове ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Для начала решим вводную подзадачу.

Пусть у нас есть те же буквы В, О, Л, К, каждая из букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько можно составить 5-буквенных слов ?

Т.е буквы могут повторяться!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (пятизначное число, перебор вариантов)

Такая конструкция сильно напоминает перебор чисел, где вместо цифр используются буквы.

Рассмотрим перебор трёхразрядных чисел. Вместо 5 букв теперь можно использовать 10 цифр ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ). Цифры так же могут повторяться. Сколько получится вариантов ?

ЕГЭ по информатике - задание 8 (трёхзначное число, перебор вариантов)

Выведем общую формулу для количества вариантов, когда символы могут повторяться!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Общая формула для количества вариантов)

Для трёхразрядных чисел от 000 до 999:

N = 10 3 = 1000 вариантов.

Вернёмся к пятибуквенным словам и нашей подзадаче. Здесь количество букв (разрядов) в слове равно 5, количество допустимых символов равно 4 ( В, О, Л, К ).

N = 4 5 = 1024 вариантов.

Вернёмся к изначальной задаче. Сначала найдём количество вариантов, когда буква В находится в самой левой ячейке!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Буква В встречается один раз)

Применим формулу! Здесь слово сократилось до четырёхразрядного. А количество букв для использования 3 (О, Л, К).

N = 3 4 = 81 комбинация.

Но буква В так же может стоять во второй ячейке слева. Этот случай тоже даст 81 других комбинаций. Буква В может стоять в каждой из 5-ти ячеек, и везде будет получатся 81 комбинация.

Таким образом, окончательный ответ будет:

N = 81 * 5 = 405 различных вариантов.

Разобравшись с этой задачей, больше половины тренировочных задач десятого задания из различных книг и сайтов по подготовке к ЕГЭ по информатике будут решаться, как по маслу!

Задача(Закрепление формулы)

Рассматриваются символьные последовательности длины 5 в шестибуквенном алфавите . Сколько существует таких последовательностей, которые начинаются с буквы У и заканчиваются буквой К?

ЕГЭ по информатике - задание 8 (количество последовательностей)

Применим главную формулу 8 задания из ЕГЭ по информатике

N = m i = 6 3 = 216

Здесь буквы могут изменяться на 3 ячейках! Значит, в формуле i=3. Количество допустимых символов, которые можно поставить в каждую ячейку равно 6. Значит, в формуле m=6.

В ответе будет 216.

Примечание: Здесь можно использовать все буквы в каждой ячейке, включая У и К. В некоторых задачах их уже использовать нельзя, т.е. сказано, что буквы У и К используются один раз в слове. Тогда в формуле m, будет на 2 единицы меньше. Нужно внимательно читать задачу!

Задача (Демонстрационный вариант ЕГЭ по информатике, 2019)

Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только буквы З, И, М, А, причём в каждом слове есть ровно одна гласная буква и она встречается ровно 1 раз. Каждая из допустимых согласных букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Рассмотрим количество вариантов, когда гласная И стоит в первом месте!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (количество слов)

Подсчитаем количество слов с помощью супер-формулы

N = m i = 2 4 = 16

Длина изменяющихся ячеек равна 4, а количество допустимых букв равно 2.

Но буква И может стоять не только на первом месте. Она так же может стоять и на 2, и на 3, и на 4, и на 5 месте. Каждый такое случай добавляет столько же новых слов.

Значит, при использовании только буквы И будет количество слов 16 * 5 = 80. Ещё столько же слов добавится, если в словах вместо буквы И будет использоваться буква А. Поэтому окончательный ответ будет 80 * 2 = 160

Отработаем главную формулу 8 задания из ЕГЭ по информатике.

Задача (Развиваем понимание формулы!)

Сколько слов длины 5, начинающихся с согласной буквы и заканчивающихся гласной буквой, можно составить из букв З, И, М, А? Каждая буква может входить в слово несколько раз. Слова не обязательно должны быть осмысленными словами русского языка.

Рассмотрим, какие варианты могут быть, если у нас на первом месте стоит согласная, а на последнем месте гласная

ЕГЭ по информатике - задание 8 (количество вариантов первая согласная, последняя гласная)

Получилось 4 разных случая. Подсчитаем, сколько слов можно составить при одном случае.

N = m i = 4 3 = 64

Длина изменяющихся ячеек равна 3, а количество возможных букв 4.

Но т.к. таких случая у нас четыре, то ответ будет 4 * 64 = 256

Рассмотрим важнейший «метод умножения» при решении 8 задания из ЕГЭ по информатике.

Задача (Другой метод решения!!)

Матвей составляет 6-буквенные коды из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз , при этом код не может начинаться с буквы Й и не может содержать сочетания АЕ. Сколько различных кодов может составить Матвей?

Эта задача отличается от уже разобранных тем, что каждую букву можно использовать один раз. В этой задаче удобнее воспользоваться немного другим методом решения! «Методом умножения»!

Решим вводную подзадачу (без дополнительных ограничений).

Сколькими способами можно составить 6-x буквенное слово из букв М, А, Т, В, Е, Й. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз .

ЕГЭ по информатике - задание 8 (метод умножения)

Чтобы найти возможные варианты, перемножаем для каждой ячейки количество букв из которых у нас есть выбор!

N = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

Вернёмся к изначальной задаче!

В начале подсчитаем «методом умножения» количество слов, не обращая внимание, на условие, в котором сказано, что слово не может содержать сочетание АЕ.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (метод умножения комбинаторика)

N = 5 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 600

В формуле стоят почти все те же самые числа, как и в вводном примере, только первый множитель не 6, а 5. Это произошло из-за того, что у нас в задаче слово не может начинаться на букву Й. Значит, выбор на первую позицию будет не из 6 букв, а из 5.

Но в 600 комбинаций входят и те случаи, когда в слове присутствует сочетание АЕ. Теперь найдём сколько таких слов, где присутствует сочетание АЕ

Узнаем количество вариантов в каждом таком случае.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (метод умножения комбинаторика 1)
N1 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
ЕГЭ по информатике - задание 8 (метод умножения комбинаторика 2)

На первом месте мы не можем использовать букву Й, поэтому мы на первом месте выбираем из 3 букв.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (метод умножения комбинаторика 3)

N2 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18

Аналогично предыдущему случаю.

N3 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18
ЕГЭ по информатике - задание 8 (метод умножения комбинаторика 4)
N4 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18
ЕГЭ по информатике - задание 10 (метод умножения комбинаторика 5)

N5 = 3 * 3 * 2 * 1 = 18

Всего слов с сочетанием АЕ будет

24 + 18 + 18 + 18 + 18 = 96
Значит, всего слов, которые удовлетворяют условию задаче будет

N = 600 — 96 = 504

Примечание: Метод умножения можно было использовать и в задачах, которые мы рассмотрели ранее. Например, в задаче «Закрепление формулы» в первой свободной ячейке выбираем из 6 букв, во второй свободной ячейке тоже из 6 букв, и в третий свободной ячейке тоже можно использовать 6 букв. Значит, по методу умножения получается N = 6 * 6 * 6 = 6 3 = 216

Задача (Закрепления «метода умножения»)

Полина составляет 6-буквенные коды из букв П, О, Л, И, Н, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Полина?

ЕГЭ по информатике - задание 8 (закрепление метода умножения комбинаторика)

Опять сказано, что каждая буква используется 1 раз, следовательно, нужно применять «метод умножения».

На первое место можно выбрать из 6 букв, предположим, мы выберем согласную. Тогда на второе место нужно выбирать из 3 гласных. Потом опять должна идти согласная, но их у нас осталось только 2. Далее, на следующее место выбираем из 2 гласных букв. И на предпоследнее место выбирается 1 согласная, а на последнее место остаётся 1 гласная.

Т.к. количество гласных букв и согласных одинаковое, и равно трём, то если мы бы начали делать «метод умножения» с гласной буквы, количество вариантов бы не поменялось.

N = 6 * 3 * 2 * 2 * 1 * 1 = 72

Азбука Морзе позволяет кодировать символы для сообщений по радиосвязи, задавая комбинацию точек и тире. Сколько различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) можно закодировать, используя код Морзе длиной не менее трёх и не более четырёх сигналов (точек и тире) ?

Зная формулу, без проблем решим данную примерную задачу из ЕГЭ по информатике.

У нас есть 2 символа, которые можно использовать: точка и тире. Фраза, что сообщение может иметь «не менее трёх и не более четырёх сигналов», означает, что сообщения могут быть длиною 3 символа и длиною 4 символа.

Подсчитаем общее количество вариантов.

N = 2 3 + 2 4 = 8 + 16 = 24 комбинаций.

Значит, для 24 различных символов (цифр, букв, знаков пунктуации и т.д.) мы найдём различные комбинации, чтобы их закодировать

Задача (Обратная предыдущей)

Световое табло состоит из цветных индикаторов. Каждый индикатор может окрашиваться в четыре цвета: белый, черный, желтый и красный. Какое наименьшее количество лампочек должно находиться на табло, чтобы с его помощью можно было передать 300 различных сигналов?

Нам нужно закодировать 300 различных вариантов! Имеются 4 различных лампочки! (Они имеют смысл, как количество допустимых символов!) На этот раз нужно узнать количество лампочек (количество разрядов, «длину слова»). Применяем формулу.
N = 4 x = 300

Не найдётся такое целое x, чтобы равенство стало верным. Поэтому берём целое минимальное x такое, чтобы 4 x больше 300.

4 5 = 1024

Пять лампочек на табло хватит, чтобы закодировать 300 сигналов, но, к сожалению, много комбинаций просто не пригодится!

Нужно выбрать в подарок 3 книги из 5. Сколькими способами можно выбрать ?

На рисунке показано две комбинации, как можно выбрать в подарок 3 книги из 5.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Сочетания, комбинаторика, пример)

Данную задачку нужно решать используя формулу сочетаний из раздела комбинаторика.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Сочетания, комбинаторика, формула)

n — количество книг, из которых мы выбираем подарок, m — количество книг, которое мы хотим выбрать, C — количество вариантов (способов).

Восклицательный знак — это факториал!

Факториалом числа «n» (условное обозначение n!- читается как «эн» — факториал) называется произведение чисел от 1 до «n»

Примечание: При использовании формулы сочетаний, не важен порядок, в котором мы выбираем одни и те же книги. Это будет один и тот же вариант.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Вычисляем сочетания, комбинаторика)

Ответ: 10

Следующая задача часто встречается в книгах по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Задача (Главная формула + сочетания)

Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 5. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно три раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

В начале нужно посчитать, сколькими способами на 5-ти ячейках можно расположить 3 единицы!

ЕГЭ по информатике - задание 8 (кодовый замок)

Обратите внимание, как будто мы выбираем 3 книги в подарок из 5 возможных! Значит, опять применяем формулу сочетаний из комбинаторики. Мы вычисляли уже её точно с такими же числами в прошлой задаче, количество вариантов равно 10.

Подсчитаем, сколько вариантов кодового замка можно составить при одном определённом расположении трёх единиц.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (количество вариантов для одного случая)

Применим формулу, есть две ячейки, в которых изменяются цифры, а в каждой ячейке может быть одна из 4 цифр.

N = m i = 4 2 = 16

Т.к. различных вариантов, как расположить единицы на 5 ячейках равно 10, то ответ будет 16 * 10 = 160

Ещё одна задача из примерных вариантов по подготовке к ЕГЭ по информатике.

Задача (Таблица соревнований)

Для записи результатов соревнований используется таблица, в которой для каждой из 20-ти команд по каждому из 10-ти видов состязаний записано 1, 2 или 3 (если команда заняла соответствующее место в этом состязании) или прочерк (если не заняла призовое место или не участвовала). Какое количество информации (бит) содержит таблица ?

Есть таблица с 20 командами и для каждой команды есть результат по 10-ти видам состязаний.

1 команда 2 команда 3 команда . 20 команда
1 дисциплина 1 1 . 3
2 дисциплина 2 1 . 2
. . . . . .
10 дисциплина 1 1 2 .

В каждой ячейке может быть 4 различных значения ( 1, 2, 3, — ). Нужно узнать, сколько бит занимает одна ячейка таблицы. Один бит может быть либо единицей, либо нулём.

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Таблица результатов соревнований)

Сделав рисунок, задача обрела привычные очертания.

Как будто мы решаем задачу с перебором слов. Но здесь длина слова неизвестна, а количество вариантов, которое должно получится уже дано и равно 4 (четырём). Применим главную формулу из 10 задания из ЕГЭ по информатике.

N = m i = 2 i = 4
i=2 бита (длина равна «2 буквам», если воспринимать задачу, как со словами.)

Одна ячейка таблицы весит 2 бита. Найдём количество ячеек во всей таблице соревнований.

Всего ячеек = 20 * 10 = 200

Тогда вся таблица будет весит:

V = 2 бита * 200 = 400 бит.
Ответ: 400

Формула Шеннона

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько бит информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

Данную задачу нужно решать по формуле Шеннона

ЕГЭ по информатике - задание 8 (Формула Шеннона)

Найдём вероятность p того, что вытащили чёрный шарик.

p = (количество чёрных шаров) / (количество всех шаров) = 8 / (24 + 8) = 8 / 32 = 1 /4
p = 1 / 4

Применим формулу Шеннона.

x = log2(4)
2 x = 4
x = 2 бита
Ответ: 2

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *