Сколько различных четырехзначных чисел

Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

Давно уже стало очевидным универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе. В нашу жизнь вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношений понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех – всё это находится в сфере реальных интересов становления личности.

Подготовку человека к таким проблемам осуществляет школьный курс математики. Все перспективные государственные образовательные документы содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики. Теория сочетаний представляет средство для одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в различных комбинациях. Вопросы реформирования и модернизации нынешнего школьного образования подтверждают необходимость включения стохастической линии в школьный курс, так как изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире.

Цели и задачи

— введение в комбинаторику, знакомство с основными понятиями: перестановки, размещения, сочетания;

— введение в теорию вероятностей (частота и вероятность, сложение и умножение вероятностей);

— коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний;

— развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся, психических способностей ребенка, обеспечивающих его адаптацию в дальнейшей жизни, научить школьников учиться посредствам личностно-ориентированного подхода;

— воспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры;

— акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной средней школы;

— развивать способности учащихся к математической деятельности;

— способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных программой.

Урок 1. “Престановки”

Цели урока:

— познакомить с понятием “комбинаторика”, привести примеры комбинаторных задач;

— ввести (повторить) понятие “факториал”;

— дать определение понятия “перестановка”;

— доказать равенство Рn=n!;

— решать задачи на перестановки.

Ход урока

1) Что такое комбинаторика, решение комбинаторных задач, исторические комбинаторные задачи.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходиться составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой. Слово “комбинаторика” происходит от латинского слова combinare – “соединять, сочетать”.

Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Пример 1. Дано три элемента a, b и c. Сколькими способами можно расставить эти элементы друг за другом?

Решение: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Всего 6 различных способов.

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза?

1 3 5 7
3 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5
5 7 3 7 3 5 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 5 1 5 1 3

Итого 24 числа: 135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375, 513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 731, 735, 751, 753. Такой способ решения называют деревом возможных вариантов.

Некоторые комбинаторные задачи решали ещё в Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке в связи с развитием теории вероятностей.

В древности для облегчения вычислений часто использовались камешки. При этом, особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной геометрической фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, . ):

Были сконструированы и треугольные числа (1, 3, 6, 10, 15, . ):

Все составные числа древние математики представляли в идее прямоугольников размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m 1 и n 1. Простые числа представляли в виде линий 1 х n. В связи с этим составные числа древние учёные называли прямоугольными, а простые – непрямоугольными числами.

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!

Для того, чтобы в различных формулах не делать исключения для числа 0, принято соглашение: 0! = 1.

Таблица факториалов от 0 до 10:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n! 1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800

В примерах 1 и 2 мы составляли различные комбинации элементов и чисел, переставляя их различными способами.

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

В приведённых примерах различных перестановок относительно не много. Но возможны другие задачи, в которых количество перестановок достаточно большое. Выписывать их неудобно, это занимает достаточно много времени и вероятность “потерять” какое-нибудь решение велика.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:

Если n = 1, то Pn = 1! = 1 – верно.

Допустим, что Pk = k! – верно.

Докажем, что Pk+1 = (k + 1)! – тоже верно:

Мы имеем k + 1 элемент. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся k элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся k – 1 элементов и т.д. В результате получим, что

4) Примеры решения задач.

Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P8 = 8! = 40 320

Значит, существует 40 320 способов расстановки восьми участниц на восьми беговых дорожках. (Понятно, что решить эту задачу методом построения дерева возможных вариантов практически невозможно.)

Ответ: 40 320 способов.

Пример 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Решение: Количество четырёхзначных чисел, которые можно составить из 4-х различных цифр (без повторения цифр) равно числу перестановок из четырёх элементов P4. Но в этом случае будут образовываться числа, начинающиеся с 0, что невозможно. И таких перестановок будет P3. Следовательно, Р4Р3 = 4! – 3! = 18.

Пример 3. Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?

Решение: Будем считать трёхтомник одной книгой (т.к. порядок книг в самом трёхтомнике возможен любой). Тогда у нас всего не 10 книг, а 8. Их можно расставить Р8 способами. Но книги в трёхтомнике можно расставить Р3 способами. Для каждой перестановки из 8-и элементов соответствует определённая перестановка из 3-х элементов. Следовательно, .

Ответ: 241 920 способов.

5) Задачи для самостоятельного решения (в классе и дома).

1). Сколькими различными способами могут сесть на скамейку

Решение: а) Р5 = 5! = 120; б) Р7 = 7! = 5 040.

Ответ: а) 120 способов; б) 5 040 способов.

2). Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, используя красный, синий и белый цвета?

Решение: Р3 = 3! = 6.

3). Сколькими способами можно расставить по этапам четырёх участниц эстафеты в беге 4 х 100 м?

Решение: Р4 = 4! = 24.

Ответ: 24 способа.

4). Составьте всевозможные трёхзначные числа, в которых все цифры разные, используя лишь цифры:

а) 7, 5, 1; б) 2, 0, 9.

а) Р3 = 3! = 6 – всего 6 чисел: 751, 715, 571, 517, 175, 157.

7 5 1
5 1 7 1 7 5
1 5 1 7 5 7

б) Р3Р2 = 3! – 2! = 4 – всего 4 числа: 209, 290, 902, 920.

2 9
0 9 0 2
9 0 2 0

5). Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, если каждая цифра может использоваться только один раз?

Решение: Р4 = 4! = 24.

6). Учащиеся должны посетить во вторник по расписанию 5 уроков по следующим предметам: литература, алгебра, география, физкультура и биология. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, чтобы физкультура была пятым уроком?

Решение: Р4 = 4! = 24.

Ответ: 24 способа.

7). Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные четырёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:

а) начинаются с цифры 7;

б) не начинаются с цифры 4?

Решение: а) Р3 = 3! = 6; б) Р4Р3 = 4! – 3! = 18.

Ответ: а) 6 чисел; б) 18 чисел.

8). Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:

Решение: а) признак делимости на 4: если две последние цифры числа делятся на 4, то и всё число делится на 4. Следовательно, кратны 4 будут числа ***12, ***16, ***20, ***56. Количество чисел, оканчивающихся на 12, 16 и 56: Р3Р2 = 3! – 2! = 4 (т.к. 0 не может стоять на первом месте). Количество чисел, оканчивающихся на 20: Р3 = 3! = 6. Следовательно, .

б) Кратны 5 будут числа ****0: Р4 = 4! = 24 и ****5: Р4Р3 = 4! – 3! = 18. Следовательно, 24 + 18 = 42.

Ответ: а) 18 чисел; б) 42 числа.

9). В автомашине 5 мест. Сколькими способами в этой автомашине могут разместиться 5 человек, если место водителя могут занять только двое из них?

Решение: Р4 + Р4 = 4! + 4! = 48.

Ответ: 48 способов.

10). Чтобы открыть сейф, нужно набрать шифр, содержащий определённую последовательность из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, и другой шифр, содержащий последовательность из букв a, b, c, d, в которых буквы и цифры не повторяются. Сколько существует комбинаций, при которых сейф НЕ открывается?

Решение: (все возможные варианты минус один вариант, с помощью которого сейф можно открыть).

Ответ: 17 279 комбинаций.

11). Сколькими способами можно расставить на полке четыре книги по алгебре и три по геометрии, причём так, чтобы все книги по алгебре (в любом порядке) стояли рядом?

Ответ: 576 способов.

12). Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6, не повторяя цифр.

Решение: Р3 = 3! = 6 – всего 6 чисел.

246 + 264 + 426 + 462 + 624 + 642 = 2 664.

13). Число a = n! + 1, где , является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение a, если:

а) a – двузначное число;

б) a – трёхзначное число.

Решение: а) a = 25 при n = 4; б) a = 121 при n = 5.

Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5 (без повторения цифр)

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Решите экономическую задачу.

Для ужина Насте надо купить пачку макарон, литр апельсинового сока, 300

300 граммов сыра и 10

10 ароматизированных свечек. Настя хочет купить весь набор в одном магазине. Ознакомьтесь с условиями покупки товаров в различных магазинах и ответьте на вопросы.

Магазин «Ух»Магазин «Ах»Магазин «Ох»Макароны продаются в пачках, каждая стоит 100

100 монет. При покупке более 5

5 пачек – скидка 50 %.

Апельсиновый сок продаётся в упаковках по пол-литра и стоит 40

40 монет за упаковку.

Сыр продаётся на развес, можно выбрать любое его количество. Стоимость сыра – 500

500 монет за килограмм.

Комплект из двух ароматизированных свечек стоит 5

5 монет.Макароны продаются в пачках, каждая стоит 80

Апельсиновый сок продаётся в упаковках по полтора литра и стоит 100

100 монет за упаковку.

Сыр продаётся в упаковках по 100

100 граммов и стоит 30

30 монет за упаковку.

Ароматизированные свечки стоят по 2

2 монеты за штуку. При покупке 4

4 свечек одна достаётся бесплатно.Макароны продаются в пачках, каждая стоит 90

Апельсиновый сок продаётся в литровых упаковках и стоит 70

70 монет за упаковку.

Сыр продаётся в упаковках по 500

500 граммов и стоит 300

300 монет за упаковку.

10 ароматизированных свечек стоит 30

Если общая сумма покупки без учёта скидки превышает 400 монет, применяется скидка 10 %.

В каком магазине Насте выгоднее всего приобрести всё необходимое для ужина?

Сколько монет потратит Настя при покупке в этом магазине?

Сколько монет сэкономила бы Настя, если бы решила покупать товары по самым низким ценам в разных магазинах?

1 Укажи пары равносильных уравнений

a. 3х – 6 = 0 и 3х=6

b. 5(х+2) = 20 и х+2=5

c. 7х : 9 = 4 и 5+2х = 5

d. 2х +4 =7 и 5 + 2х = 2

a

b

c

d

2Даны уравнения: Какие из уравнений имеют единственный корень?

a

b

c

d

e

f

g

3 Даны уравнения: Какие из уравнений не имеют кореней?

a

b

c

d

e

f

g

4Выбрать записи, являющиеся уравнением:

a

b

c

d

5. Даны уравнения: Какие из уравнений имеют бесконечное множество корней?

a

b

c

d

e

f

g

6 . Завершить высказывание: корнем уравнения ах = 26 является число 1/3, если а=

7 Выбрать уравнения, корнем которых является число 5

a

b

c

d

8 При решении уравнения коэффициент при х оказался стертым. Восстановите его.

Сколько четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 4; 5; 6; 7?

Конечно это задача больше из разряда логики и наверно нежно просто понять, сколько количество раз мы можем в четырехзначном числе использовать одну и туже цифру.

Если берем такие цифры, как 4;5;6 и 7, то в десятитысячном числе каждое первая цифра может встречаться только шесть раз, собственно вторая, третья и четвертая цифры тоже будут встречаться только по шесть раз

Например с первой цифрой «4» , числа будут такие:

4567;4576;4657;4675;­ 4756;4765 = шесть четырёхзначных чисел.

Иными словами с каждой цифрой, стоящей первой в четырехзначном числе мы получаем по шесть чисел.

Ответ: из четырех цифр, можно составить 24 четырехзначных числа, при условии, что каждая из этих цифр используется только один раз.

Сколько существует различных четырёхзначных чисел

Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом из которых четных цифр столько же, сколько и нечетных
2) Сколько существует четырехзначных десятичных чисел, в каждом из которых четных цифр столько же.

Сколько существует четырехзначных чисел с данными цифрами?
Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 2, 7, 9?

Сколько возможно различных четырёхзначных десятичных чисел?
Сколько возможно различных четырёхзначных десятичных чисел, если по крайней мере 2 цифры в числе.

Сколько существует четырехзначных чисел, которые не содержат цифру 7?
Сколько существует четырехзначных чисел, которые не содержат цифру 7?:( Спасибо.

Сколько вариантов цифр может быть на 1-м месте?
На 2-м?
На 3-м?
На 4-м?

Продумайте для каждого пункта . И перемножьте

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить, если:
1)числа должны быть четными и повторений быть не должно 2) числа должны делиться на 5 и повторения.

Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4, если каждую из них.

Сколько существует четырехзначных чисел меньших от 3754 без повторяющихся цифр?
Сколько существует четырехзначных чисел меньших от 3754 без повторяющихся цифр?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *