Как найти собственный вектор

Собственные числа матрицы. Примеры решений

Решение находим с помощью калькулятора. Составим характеристическое уравнение:

Отсюда собственные числа данной матрицы: λ1=-1, λ2=7
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям
Подставим собственное число λ1=-1 в систему однородных уравнений (A-λE)X=0 и найдем ее нетривиальное решение.

Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (nr)=1 решение. Пусть x2=1, тогда x1=-1. Получаем собственный вектор

Рассмотрим собственное значение λ2=7

Положим x2=1, тогда x1=1. Получаем собственный вектор

Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные числа данной матрицы: λ1,2=3, λ3=6
Найдем собственные векторы, соответствующие λ=3.

Ранг матрицы r=1, ФСР содержит (nr)=3-1=2 решения. Зададим два набора значений свободных переменных и составим два собственных вектора

Найдем собственные векторы, соответствующие λ=6.

Ранг матрицы r=2 , ФСР содержит (nr)=3-1=1 решение. Зададим значение свободной переменной и составим собственный вектор

Нахождение собственных векторов

Здесь 0 – нулевая матрица. Перейдя к координатной форме, получим однородную систему линейных уравнений. В случае , где – собственные значения, её главный определитель равен нулю ( ). Поэтому эта система обязательно имеет ненулевые (нетривиальные) решения, так как равный нулю определитель имеет пропорциональные строки, и :

Подставляя поочерёдно значения , полученные из характеристического уравнения, в уравнения системы (10), найдем n собственных векторов. Собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя.

3.1. Случай

Матричное уравнение (А − λЕ)Х = 0 имеет развёрнутую форму:

Восстановим систему уравнений:

Это линейная однородная система. При и её главный определитель равен нулю. Поскольку частные определители содержат нулевые столбцы, они также равны нулю. По теореме Крамера эта система имеет бесчисленное множество решений. Ранг матрицы А − λЕ равен единице, и одно уравнение пропорционально другому, т.е. оно является лишним.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Найдём собственные значения λ, решая уравнение . Его корни λ1 = 6, λ2 = –1. Это собственные значения матрицы А. Собственные векторы находятся из двух систем уравнений

Главный определитель каждой из этих систем равен нулю. Поэтому каждая из этих однородных систем сводится к одному уравнению.

1) При λ1 = 6 имеем систему , которая сводится к уравнению . Из уравнения следует: , или . В качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению λ1 = 6, можно взять вектор . Подойдёт также любой вектор, кратный Х1, например, или .

2) При λ2 = –1 система имеет вид , она приводится к одному уравнению и . Собственный вектор, соответствующий данному собственному значению λ2 = –1, (или любой вектор, кратный ему).

Ответ: , , , .

3.1. Случай

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Решение. Составим характеристическое уравнение

Разложим определитель по элементам первой строки:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:

Чтобы решить это уравнение, поступим следующим образом. Методом подбора найдём один из корней уравнения λ1, которым может быть один из делителей свободного члена. Нетрудно убедиться в том, что λ1 = 3 есть корень уравнения. Это значит, что левая часть уравнения делится без остатка на разность (λ − 3), т. е. .

Определим два других корня из уравнения . По теореме Виета получим следующие два корня: λ2 = 6, λ3 = –2. Для нахождения собственных векторов нужно решить три системы уравнений, последовательно подставляя полученные собственные значения.

1) При λ1 = 3 имеем однородную систему уравнений

Для решения системы составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к следующему виду

Поскольку две последние строки пропорциональны, одну из них можно удалить, тогда исходная система примет вид:

Решая эту систему, находим . Положим , тогда получим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ1=3.

2) При λ2 = 6 имеем систему уравнений

Составим матрицу из коэффициентов системы и с помощью элементарных преобразований приведем её к следующему виду

Последнюю строку матрицы можно удалить, а вторую строку разделить на (–4), тогда придём к системе двух уравнений с тремя неизвестными, одно из которых может быть выбрано произвольно:

Пусть , тогда , . Собственный вектор .

3) Точно так же находим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ3 = –2.

Следует заметить, что матрица преобразования А в данном примере является симметрической, так как её элементы, расположенные над главной и под главной диагональю, одинаковы. В этом случае, в чём легко убедиться, собственные векторы взаимно ортогональны:

Собственные значения (числа) и собственные векторы.
Примеры решений

Второй урок о линейных преобразованиях будет посвящён собственным числам и собственным значениям их матриц, и для более интересного чтения я рекомендую ознакомиться с первой статьёй. Однако если у вас совсем нет времени/сил/желания, то задачи этой страницы можно освоить и чисто формально. С небольшой художественной формальности я, собственно, и начну:

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, . И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец. Мне пришёл в голову вектор :

Вроде ничего примечательного – умножили матрицу на вектор-столбец и получили другой вектор-столбец . Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты.

Умножим ту же матрицу на :

На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы на вектор , данный вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом :

Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.

Поскольку каждой квадратной матрице соответствует определенное линейное преобразование (в некотором базисе), то, исходя из содержательного смысла, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования.
В Википедии есть удачный геометрический пример (взгляните!), иллюстрирующий рассматриваемые понятия – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования с коэффициентом . И из комментария к иллюстрации можно сразу узнать, что любой коллинеарный ему вектор – тоже будет собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если эту картинку вдруг удалят.

Примеры ещё будут, примеры интересные, ну а пока что продолжаем:

В первых абзацах статьи собственный вектор был выставлен «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению . И в практических заданиях сначала разыскиваются собственные числа и только потом соответствующие им собственные векторы.

Как найти собственные значения и собственные векторы матрицы?

Проведём исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать данную задачу. Люди, которые не очень хорошо разбираются в математике (да и которые хорошо) обычно в страхе или отвращении захлопывают учебник, когда речь заходит о каком-либо доказательстве или выводе какой-нибудь формулы. Но это не тот случай – всё будет понятно даже полному чайнику:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Перед вами та же матрица, у которой я уже выдал одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно!

Обозначим через неизвестный собственный вектор. Тогда матричное уравнение запишется следующим образом:

В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов-столбцов и получаем однородную систему линейных уравнений:

Перенесём всё налево:

В первом уравнении за скобки вынесем «икс», во втором уравнении – «игрек»:

По определению, собственный вектор не может быть нулевым , поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. А если однородная система имеет ненулевое решение, то её уравнения линейно зависимы и определитель матрицы равен нулю:

Это так называемое характеристическое уравнение матрицы , корни которого являются собственными числами данной матрицы.

На практике, как правило, не нужно расписывать подробный вывод формулы – вполне достаточно руководствоваться формальным алгоритмом, и решение задачи можно начать примерно так:

Сначала найдём собственные значения

Составим характеристическое уравнение. Смотрим на исходную матрицу и записываем её определитель, вычитая при этом «лямбду» из чисел главной диагонали:

Раскроем определитель и решим квадратное уравнение:

Таким образом, собственные значения:

Желательно располагать их в порядке возрастания, хотя это не принципиально.

Теперь найдём собственные векторы

В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свои собственные векторы.

1) Рассмотрим собственное число и подставим значение в однородную систему уравнений :

Для записи системы целесообразно запомнить формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель :
– это и есть коэффициенты системы.

Из обоих уравнений следует:

Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т.е. получается только тривиальное решение, в данном примере ) – ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа.

Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и, придавая переменной «игрек» (либо «икс») произвольные значения, мы получаем бесконечно много собственных векторов . Все они будут коллинеарны друг другу, и поэтому нам достаточно указать один из них. Обычно стараются выбрать «красивый» вектор – чтобы его «иксовая» координата была положительной, целой и минимальной, а «игрек» не дробным.Этому эстетическому критерию соответствует значение , тогда:

Теперь обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:

Таким образом: – первый собственный вектор.

2) Найдём собственные векторы, соответствующие числу . Для этого мысленно либо на черновике подставим его в определитель и запишем вторую однородную систему:

Из обоих уравнений следует, что .

В результате: – второй собственный вектор.

Повторим важные моменты решения:

– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);

– «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше.

– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.

В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы.

Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:

записать каноническое разложение матрицы

Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:

, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами.

Такое разложение матрицы называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны) и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:
– ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору.

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Осталось записать каноническое разложение матрицы :

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .

Разрешив матричное уравнение относительно диагональной матрицы, можно получить другое соотношение:

Диагональную матрицу также называют матрицей линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Если не очень понятно, то давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. В ней мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы (в частности, матрицы и в нашем примере). И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов (в случае его существования).

Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования в одном и том же векторном пространстве имеют один и то же характеристический многочлен, из-за чего характеристическое уравнение, вероятно, и получило своё название.

Так, легко убедиться, что характеристическое уравнение матрицы :

– совпадает с характеристическим уравнением матрицы , которое мы получили в 1-м примере.

Однако такой удобный базис существует далеко не всегда:

Найти каноническое разложение матрицы

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что . Не ленимся, и проверяем, что эта пара значений удовлетворяет каждому уравнению системы!

Таким образом, кратным собственным числам соответствует одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов в «лице» вектора , и поэтому канонического разложения матрицы не существует.

Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет не что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов, которые это линейное преобразование переводит в коллинеарные исходным, причём равные векторы (коль скоро, )

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах. Кстати, об условии – его могут сформулировать и коварно: записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Коварство состоит в том, что здесь можно найти собственные числа и машинально дать нелегальный ответ . Но базиса-то не существует!

И сейчас назрели важные вопросы:

Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

Ну, во-первых (вроде не говорил), эти понятия определены только для квадратных матриц.

И с собственными числами всё просто:

у матрицы существует ровно собственных значений.

Могут ли они быть комплексными? Запросто. Простейший пример: – матрица поворота декартовой системы координат против часовой стрелки на угол , отличный от 180 и 360 градусов. Возьмём «школьный» угол в 30 градусов, запишем соответствующую матрицу поворота и составим характеристическое уравнение:

Оно имеет сопряжённые комплексные корни , и дальнейшее решение показывает, что у рассматриваемого преобразования нет действительных собственных векторов. И это очевидно – при повороте на 30 градусов любой ненулевой вектор отображается в неколлинеарный ему вектор.

Случай второй, самый распространённый. Собственные числа матрицы действительны и различны (как, например, в Примерах 1, 2). Такое линейное преобразование имеет ровно собственных линейно независимых векторов, и его недиагональную матрицу всегда можно записать в виде .

Случай третий, самый интересный. Среди собственных чисел есть кратные, или же только кратные, как в Примере 3. В этих случаях неколлинеарных собственных векторов может оказаться… сколько угодно! Меньше, чем собственных чисел (Пример 3). Может оказаться ровно штук, и тогда будет существовать разложение .

А может – вообще бесконечно много! Например, при повороте плоскости на 180 градусов. Ему соответствует матрица с характеристическим уравнением с кратными собственными числами ; и, продолжая стандартное решение, мы приходим к симпатичной системе , которой удовлетворяют координаты вообще любого вектора. Таким образом, любой ненулевой вектор этого преобразования является собственным! Оно и неудивительно – ведь при повороте на 180 градусов любой ненулевой вектор отображается в коллинеарный и противоположно направленный вектор, например:
, и, вынося собственное число из столбца: , мы окончательно убеждаемся, что – есть собственный вектор.

Следует отметить, что этот поворот – частный случай преобразования подобия, и у подобия, к слову, тоже любой ненулевой вектор собственный. Коэффициент же подобия – есть не что иное, как соответствующее собственное значение, в частности, при все геометрические объекты сохраняют свои размеры неизменными

Однако не будем слишком увлекаться геометрией – ведь в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических задачах, моделях, но мы не будем увлекаться и ими 🙂 – сейчас важно освоить техническую сторону вопроса.

И задачи с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером № 1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-й степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере № 1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:

Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.

Компактные координаты даёт значение

И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ: собственные векторы:

Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно»), по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы.

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение , то здесь это возможно, т.к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу .

Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов, то ответ даём в виде . Разница есть, и разница существенная! Ибо оная матрица – есть матрица «дэ».

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:

Найти собственные числа и собственные векторы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:

Лучшей комбинации не найти:
Собственный вектор:

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений:

Собственные векторы – это в точности векторы
фундаментальной системы решений

Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений, будут вынуждены вкурить её сейчас.

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два.

Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:

Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:

Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:

Найдем собственные векторы:

1) С корнем затруднений не возникает:

Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.

Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:

Из обоих уравнений следует:

2-3) Для кратных значений получаем систему .

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.

(2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.

(3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Гаусса-Жордана: к первой строке прибавили вторую строку.

(4) У первой строки сменили знак.

Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: , и, задавая свободной переменной значение , получаем нашего героя:

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Здесь матрицу нельзя представить виде – по той простой причине, что «собственного» базиса не существует – хоть трёхмерные векторы-столбцы и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор.

Шестое чувство мне подсказывает, что многие воодушевились на задание повышенной сложности:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Можно ли записать каноническое разложение этой матрицы?

Не беда, если дело застопорилось, в психотерапевтических целях отложите тетрадь с решением на чёрный день. Когда заест скука – самое то =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1)

Пусть
– собственный вектор.
2)

Пусть
– собственный вектор.
Ответ: собственные значения: , собственные векторы: .

Пример 5: Решение: сначала найдем собственные числа. Составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первой строке:

– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1)

Пусть

2)

Пусть

3)

Пусть

Ответ: собственные векторы:

Пример 7: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1-2)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Выразим базисную переменную через свободные переменные: и запишем общее решение: . Найдём векторы фундаментальной системы, которые в данной задаче являются собственными векторами матрицы:
Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:
Примечание: в качестве решения системы линейных уравнений данного пункта напрашивается тройка , но столбец линейно выражается через векторы фундаментальной системы. Использование такого и подобных ему решений в качестве одного из собственных векторов корректно, но нестандартно.
3)

Пусть

Ответ: собственные числа: , собственные векторы:

Пример 9: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель вычислим понижением порядка. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –1. К четвёртой строке прибавим вторую строку, умноженную на :

Разложим определитель по 4-му столбцу:

К третьей строке прибавим первую строку:

Собственные значения:

Найдем собственные векторы:
1)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Первую и третью строку поменяли местами.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и –2 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на 2.
(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. У первой строки сменили знак, вторую строку умножили на 2.
(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(7) У первой строки сменили знак, последние две строки разделили на 2.
Выразив базисные переменные через свободную, запишем общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор
2-3)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Первая и четвёртая строки одинаковы. Вторая и третья строки одинаковы. Первую и вторую строку удалили из матрицы.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Таким образом, общее решение: .
Фундаментальная система состоит из двух векторов:
при получаем ;
при получаем .

4)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Первую и третью строку поменяли местами.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и 2 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на 2.
(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку.
(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. Вторую строку умножили на –2.
(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(7) Последние две строки разделили на 2.
Общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор .

Ответ: собственные значения: , собственные векторы:
. Перечисленные четыре четырехмерных вектора линейно независимы, и поэтому матрицу линейного преобразования можно записать в виде . Но не нужно =)

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

Собственные значения матрицы

Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение. Вектор Собственные значения матрицыназывается собственным вектором матрицы A, если найдется такое число λ, что
Собственные значения матрицы(2.36)
где число λ называется собственным значением матрицы A, которое соответствует вектору Собственные значения матрицы.
Запишем равенство (2.36) в матричной форме:
AX = λX, (2.37)
где X — матрица-столбец из координат вектора Собственные значения матрицы.
Уравнение (2.37) распишем в координатной форме
Собственные значения матрицы(2.38)
Перепишем уравнение системы (2.38) так, чтобы в правых частях были нули:
Собственные значения матрицы(2.39)
Чтобы перейти к рассмотрению системы (2.39) докажем такую ​​теорему.

ТЕОРЕМА. Однородная система (n уравнений с n неизвестными)
Собственные значения матрицы(2.40)
имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда Собственные значения матрицы, т. е. когда матрица A является вырожденной.

Доказательство. Пусть система (2.40) имеет ненулевое решение. Покажем, что Собственные значения матрицы. Действительно, если бы это было не так, то есть Собственные значения матрицы, то решая систему по правилу Крамера, мы бы получили единственное нулевое решение x = 0, а это противоречит условию.

Пусть Собственные значения матрицы, покажем, что существует ненулевое решение системы. Для удобства рассмотрим систему двух уравнений.
Собственные значения матрицы(2.41)
Собственные значения матрицы
Потому что Собственные значения матрицы, то и Собственные значения матрицы, то есть матрица Собственные значения матрицы
есть вырожденной. Значит строки матрицы A являются линейно зависимыми, а это
означает, что и столбцы матрицы A T являются линейно зависимы. Указанные столбцы обозначим через Собственные значения матрицыи Собственные значения матрицы. При этом существуют такие числа k1 и k2, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство Собственные значения матрицы, или в координатной форме:
Собственные значения матрицы

Итак, это значит, что система (2.41) имеет ненулевое решение. Теорема доказана.

Теперь вернемся к системе (2.39). На основании выше приведенной теоремы, система (2.39) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, то есть
Собственные значения матрицы(2.42)
Определитель (2.42) является многочленом n-й степени относительно λ. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение (2.42) называется характеристическим уравнением матрицы А .

Пример 1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Собственные значения матрицы

Решение. Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов, а именно
Собственные значения матрицы(2.43)
Как нам уже известно, для того, чтобы эта система имела ненулевые решения, нужно, чтобы определитель этой системы был равен нулю, то есть Собственные значения матрицыили

λ 2 – 5λ + 6 = 0. Корни этого квадратного уравнения — λ1 = 2, λ2 = 3. Таким образом мы нашли собственные (характеристические) числа.

Теперь найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным числам.

Чтобы найти координаты собственного вектора, соответствующего собственному числу λ1 = 2, подставляем λ1 = 2 в систему (2.43).
Получим Собственные значения матрицыотсюда x1 = 2t , x2 = t при произвольном t ≠ 0, является решением этой системы. Итак, вектор Собственные значения матрицы, t ≠ 0 является собственным вектором-столбцом матрицы A.

Для нахождения координат собственного вектора матрицы A, соответствующего собственному числу λ2 = 3, поступаем аналогично. Число λ2 = 3 подставляем в систему (2.43) и получим:
Собственные значения матрицыотсюда x1 = x2.

Значит, x1 = t, x2 = t, t ≠ 0, а вектор-столбец Собственные значения матрицыявляется собственным вектором, соответствующим собственному числу λ2 = 3.

Линейная модель торговли

Одним из примеров экономических процессов, которые приводят к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или как ее называют другими словами, модель международной торговли.

Пусть имеется n государств, S1 , S2 , . Sn национальный доход которых равен соответственно x1, x2, . xn. Долю национального дохода, которую государство Sj тратит на покупку товаров в государстве Si , обозначим коэффициентами aij . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров или внутри государства, или на импорт из других государств, то есть:
Собственные значения матрицы
Рассмотрим матрицу коэффициентов aij :
Собственные значения матрицы
Матрица А со свойством, что сумма элементов ее произвольного столбца равна 1, называется структурной матрицей торговли.
Для любого государства Si (i = 1, 2, . n) общая выручка от внешней и внутренней торговли составляет
Собственные значения матрицы
Для сбалансированности торговли необходима бездефицитность торговли каждого государства, то есть выручка от торговли каждой государства не должна быть меньше ее национального дохода, то есть pi ≥ xi (i = 1, 2, . n) или Собственные значения матрицы.В этом условии не может быть знака неравенства. Действительно, сложив все эти неравенства, когда i меняется от 1 до n , и сгруппировав, получим:
Собственные значения матрицы

Поскольку в скобках есть суммы элементов матрицы A по столбцам, которые равны 1, мы получили противоречивое неравенство. Следовательно, возможен только знак равенства.

Введем вектор национальных доходов Собственные значения матрицыгосударств, получим матричное уравнение AX = X или (A – E) X = 0, где X — матрица-столбец из координат вектора Собственные значения матрицы.
Значит, задача свелась к нахождению собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению λ = 1.

Пример 1. Структурная матрица торговли трех стран S1 , S2 , S3 имеет вид
A = Собственные значения матрицы.
Найти соотношение между национальными доходами стран, при котором будет торговля сбалансирована.

Решение. Находим собственный вектор Собственные значения матрицы, который отвечает собственному значению λ = 1, решив уравнение (A – E) X = 0 или систему уравнений
Собственные значения матрицы
Обозначим национальные доходы соответственно x1, x2, x3. Тогда будем искать собственный вектор Собственные значения матрицы, отвечающий собственному значению λ = 1, решив уравнение (A – E) X = 0.
Поскольку ранг данной системы равен 2, то одна из переменных, например x3 = C является свободным неизвестным. Остальные неизвестные выразим через него. Решая данную систему, находим, что
Собственные значения матрицыто есть Собственные значения матрицы
Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национального дохода Собственные значения матрицыто есть при соотношении доходов: Собственные значения матрицыили 4: 9: 10.

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть Собственные значения матрицы—заданная квадратная матрица. Как мы увидим позже, иногда приходится рассматривать уравнение Собственные значения матрицы, (8.27) где Собственные значения матрицы— неизвестный числовой вектор, высота которого равна порядку Собственные значения матрицы, а Собственные значения матрицы— неизвестное число. При любом Собственные значения матрицыуравнение (8.27) обладает, в частности, тривиальным решением Собственные значения матрицы, однако нас будут интересовать только такие Собственные значения матрицы, при которых эта система имеет нетривиальные решения.

Эти значения Собственные значения матрицыназываются собственными значениями матрицы Собственные значения матрицы, а нетривиальные решения Собственные значения матрицыуравнения (8.27) при таких Собственные значения матрицы— ее собственными векторами. Нетрудно проверить, что каждый собственный вектор матрицы Собственные значения матрицыотвечает ее единственному собственному значению.

Собственные значения и собственные векторы находятся следующим образом. Так как Собственные значения матрицы, то уравнение (8.27) можно переписать в виде Собственные значения матрицы. (8.28)

Сравнивая с формулой (8.25), видим, что получилась система из Собственные значения матрицыалгебраических однородных уравнений с Собственные значения матрицынеизвестными, где Собственные значения матрицы— порядок матрицы Собственные значения матрицы. Согласно п. 8.6 для наличия нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т. е. Собственные значения матрицы. (8.29) Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы Собственные значения матрицы, оно служит для разыскания собственных значений Собственные значения матрицы. Так, для матрицы (8.23) оно имеет вид Собственные значения матрицы. Раскрыв определитель, мы видим, что получается алгебраическое уравнение, степень которого равна порядку матрицы Собственные значения матрицы. В силу п. 6.8 заключаем, что матрица порядка Собственные значения матрицыимеет Собственные значения матрицы(вообще говоря, комплексных) собственных значений, среди которых, правда, могут быть совпадающие.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Найдя какое-либо собственное значение, мы можем соответствующие собственные векторы найти из векторного уравнения (8.28) (переписанного в виде системы скалярных уравнений), как указано в п. 8.6.

Из уравнения (8.28) вытекает, что при зафиксированном Собственные значения матрицысумма решений Собственные значения матрицыесть решение и произведение Собственные значения матрицырешения на число также является решением того же уравнения. Значит, совокупность всех собственных векторов, отвечающих заданному собственному значению (дополненная тривиальным решением Собственные значения матрицы), образует линейное подпространство (п. 7.18) пространства всех числовых векторов заданной высоты Собственные значения матрицы.

В наиболее важном случае, когда все собственные значения различные, каждое из этих подпространств одномерное, т. е. для каждого собственного значения соответствующий собственный вектор определен с точностью до числового множителя.

При этом имеются в виду комплексные собственные векторы, так как вещественное характеристическое уравнение (8.29) может иметь как вещественные, так и мнимые корни. Указанная одномерность вытекает из того, что ненулевые собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, обязательно линейно независимы, а в alt=»Собственные значения матрицы» />-мерном пространстве числовых векторов не может быть более alt=»Собственные значения матрицы» />линейно независимых векторов.

А эта линейная независимость проверяется так: если, например, собственные векторы Собственные значения матрицыотвечают различным собственным значениям Собственные значения матрицы, причем Собственные значения матрицылинейно независимы, а Собственные значения матрицы, то, помножив это равенство справа на Собственные значения матрицы, получаем Собственные значения матрицы, откуда, умножив первое равенство на Собственные значения матрицыи вычитая, выводим Собственные значения матрицы, чему противоречит линейная независимость Собственные значения матрицыи Собственные значения матрицы.

Если имеются совпадающие собственные значения, то можно проверить, что для каждого собственного значения Собственные значения матрицыкратности Собственные значения матрицыподпространство собственных векторов имеет размерность Собственные значения матрицы.

Если все Собственные значения матрицы, то, выбрав базис в каждом из этих подпространств, мы получаем базис в комплексном евклидовом пространстве Собственные значения матрицы, состоящий из собственных векторов матрицы Собственные значения матрицы, имеющей порядок Собственные значения матрицы(если все Собственные значения матрицывещественные, получаем базис в Собственные значения матрицы). Если хотя бы одно Собственные значения матрицы, то базиса из собственных векторов матрицы Собственные значения матрицыуказать нельзя.

Рассмотрим квадратные матрицы порядка Собственные значения матрицы. При умножении матрицы порядка Собственные значения матрицына Собственные значения матрицы-мерный вектор в произведении получается Собственные значения матрицы-мерный вектор: Собственные значения матрицы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Однако для любой матрицы существует набор особых векторов таких, что произведение матрицы на вектор из такого набора равносильно умножению этого вектора на определенное число.

Определение:

Число Собственные значения матрицыназывается собственным значением матрицы Собственные значения матрицыпорядка Собственные значения матрицы, если существует такой ненулевой вектор Собственные значения матрицы, что выполняется равенство: Собственные значения матрицы. (1.2) При этом вектор Собственные значения матрицыназывается собственным вектором матрицы Собственные значения матрицы.

Уравнение (1.2) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде: Собственные значения матрицы, где Собственные значения матрицыи Собственные значения матрицы— соответственно единичная матрица и нулевой вектор. Если Собственные значения матрицы, и Собственные значения матрицы— элементы матрицы Собственные значения матрицы, то характеристическая матрица Собственные значения матрицы, согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид:

Собственные значения матрицы.

Определение 8.39.

Число Собственные значения матрицыназывается собственным значением квадратной матрицы Собственные значения матрицы, если найдется вектор Собственные значения матрицытакой, что Собственные значения матрицы. Вектор Собственные значения матрицыназывается собственным вектором матрицы Собственные значения матрицы, соответствующим данному собственному значению. Теорема 8.19. Собственные значения матрицы Собственные значения матрицыявляются решениями уравнения Собственные значения матрицы. Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы Собственные значения матрицы.

Теорема 8.20.

Число различных собственных значений квадратной матрицы не превосходит ее порядка. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Собственные значения матрицы

Пример с решением

Пример 8.19.

Пусть дана матрица Собственные значения матрицы. Составим и решим характеристическое уравнение.

Собственные значения матрицы

Собственные значения матрицы

Собственные значения матрицы, где Собственные значения матрицы— любое число.

Вектор Собственные значения матрицыбудет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 2.

Собственные значения матрицы

Вектор Собственные значения матрицыбудет являться собственным вектором, соответствующим собственному значению 3. Векторы Собственные значения матрицыи Собственные значения матрицылинейно независимы. Так как они двухмерные, то они образуют базис пространства Собственные значения матрицы.

Собственные значения матрицы

Собственные значения матрицы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *