Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH ² + BC ² = 4 R ² и AH = BC |ctg α|.

Решение

Первый способ. а) Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его противоположным сторонам. В результате получим треугольник A 1 B 1 C 1 , серединами сторон которого являются точки A, B и C . Высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому центр описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 является точкой пересечения высот треугольника ABC .

б) Точка H является центром описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому 4 R ² = B 1 H ² = B 1 A ² + AH ² = BC ² + AH ². Следовательно,

Замечания

Другие доказательства п.а) см. в статье В.В. Прасолова «Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника» («Математика в школе», 1988, №1, с.72).

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Высоты треугольника (и их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что прямые AA₁, BB₁и CC₁, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке.
1) Проведем через каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник A₂B₂C₂. Точки A, B и C являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, AB=A₂C и AB=CB₂ как противоположные стороны параллелограмма ABA₂C и ABCB₂, поэтому A₂C=CB₂.
2) Аналогично C₂A=AB₂ и C₂B=BA₂.
3) Кроме того, как следует из построения С С 1 ⊥ A 2 B 2 , A A 1 ⊥ B 2 C 2 и B B 1 ⊥ A 2 C 2 . Таким образом, прямые AA₁, BB₁и CC₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A₂B₂C₂. Следовательно, они пересекаются в одной точке.
Теорема доказана.

Теорема о пересечении высот треугольника

Дано: АВС, АА₁, ВВ₁ и СС₁ — прямые, содержащие высоты треугольника.

Доказать: АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Получим А₂В₂С₂. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А₂С и АВ = СВ₂ как противоположные стороны параллелограммов АВА₂С и АВСВ₂, поэтому А₂С = СВ₂. Аналогично С₂А = АВ₂ и С₂В = ВА₂. Кроме того, как следует из построения, СС₁А₂В₂, АА₁В₂С₂ и ВВ₁А₂С₂. Таким образом, прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А₂В₂С₂. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника : точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

Теорема о пересечении высот треугольника

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Теорема о пересечении высот треугольника»

Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы замечательные точки треугольника и познакомимся с теоремой о пересечении высот треугольника.

На прошлых уроках мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке. До этого мы также доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, таким же свойством обладают и высоты треугольника.

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим .

Значит, четырехугольник параллелограмм.

Значит, четырехугольник параллелограмм.

Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр .

Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр .

Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр .

Значит, высоты пересекаются в одной точке, в точке .

Что и требовалось доказать.

В любом треугольнике медианы и биссектрисы принадлежат самому треугольнику. Чего нельзя сказать о высотах треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Точку их пересечения называют ортоцентром треугольника. В остроугольном и прямоугольном треугольниках высоты принадлежат треугольнику. Их точка пересечения – ортоцентр – в остроугольном треугольнике находится внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике находится в прямом угле. А вот в тупоугольном треугольнике точка пересечения высот – ортоцентр – находится вне треугольника.

Рассмотрим тупоугольный . У него – тупой, – высота. Докажем, что точка – основание высоты – не принадлежит отрезку .

Доказательство.

Пусть точка .

.

Что не может быть.

Точка пересечения тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Из истории замечательных точек треугольника. В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга.

Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника.

Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.

На этом уроке мы узнали, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку называют ортоцентром и она является замечательной точкой треугольника.