Сколько градусов в угле шестиугольника объемного

Гексагон

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

• все внутренние углы равны между собой
• каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
• все стороны равны между собой
• сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
• большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
• меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.
• vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
• правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
• диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
• инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
• nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Правильный шестиугольник сколько градусов углы

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:

Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый шестиугольник

Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.
Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Читать также: Кофеварка плюсы и минусы

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Введенные обозначения

Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

Рисуем онлайн многоугольник в перспективе

Делал я его с помощью программы Photoshop, все то же самое можно сделать и на бумаге. Для рисования нам понадобятся:

Такой небольшой набор инструментов необходим для черчения в живую.

Сам рисунок вы можете посмотреть на видео.

Сделаем акцент, когда шестиугольник вписанный в окружность.

Ниже на фото фигура построена. И, казалось бы, добавить нечего.

Но правильный рисунок будет если его вписать в овал. У нас есть две точки по сторонам квадрата, и появились новые четыре точки. Картинка ниже.

В таком формате он не будет деформированный, вытянутый или сплюснутый. На рисунке будет смотреться правдоподобнее.

По такому же принципу можно сделать фигуру не только горизонтально, но и вертикально.

В таком случае мы сможем выстроить призму. Для этого мы сделаем переднее и заднее основания и соединим их линиями. Эта процедура детально описана в моем платном курсе, можете перейти по этой ссылке.

Вот такой урок получился. Творческих вам успехов.

Шестиугольники на решетке

Ненадолго отвлечемся от треугольных решеток и рассмотрим довольно естественно возникающий в контексте этой задачи вопрос: можно ли на обычной квадратной сетке (на построить правильный шестиугольник или треугольник так, чтобы все его вершины находились в узлах?

Оказывается, что нет. Краткое доказательство приводится ниже в скрытом виде, так что у вас остается возможность подумать самостоятельно над тем, почему это так.

Доказательство

Поскольку взятые через одну вершины правильного шестиугольника образуют правильный треугольник, то достаточно доказать, что не существует правильного треугольника с вершинами в узлах обычной квадратной решетки.

Допустим, что такой треугольник ABC

все-таки существует. Тогда его площадь обязательно выражается рациональным числом. Это сразу следует из формулы Пика (см. статью Г. Мерзона Площади многоугольников и тающий лёд), но есть и простое наглядное рассуждение, не привлекающее такую «тяжелую артиллерию». Дело в том, что треугольник
ABC
достраивается до прямоугольника
AMNK
(достаточно провести через его вершины вертикальные и горизонтальные линии сетки, см. рис), площадь которого, очевидно, целая. При этом добавляются три прямоугольных треугольника (или два, если одна из сторон треугольника
ABC
идет по линии сетки), площади
S
1,
S
2 и
S
3 которых либо целые, либо полуцелые. Значит, и площадь треугольника
ABC
сама тоже либо целая, либо полуцелая — и в любом случае рациональная.

С другой стороны, площадь правильного треугольника выражается через его сторону AB

по формуле \(AB^2\sqrt3/4\). Но по теореме Пифагора \(AB^2=AM^2+MB^2\) — целое число. Поскольку \(\sqrt3\) — число иррациональное, то и площадь получается иррациональной. Получаем противоречие: одно и то же число (площадь
ABC
) не может быть одновременно рациональным и иррациональным.

Можно рассуждать и несколько по-другому. А именно, следить можно не за площадями, а за углами треугольника. Точнее, за их тангенсами. С одной стороны, как хорошо известно, угол равностороннего треугольника равен 60°, а его тангенс — \(\sqrt3\). С другой стороны, аналогичным достроением до прямоугольника получим, что этот угол представляется как сумма (или разность — в зависимости от расположения треугольника ABC

относительно линий сетки) двух углов, тангенсы которых рациональны. Из этого следует, что и этот угол должен быть рациональным (см. формулу тангенса суммы). Опять получается противоречие.

Вернемся к треугольной решетке. При внимательном ее рассмотрении обнаруживаются интересные свойства. Например, в каждом правильном шестиугольнике с вершинами в узлах решетки центр тоже является узлом. Кажется, что это очень простое наблюдение, но оно позволяет заметить большее. Оказывается, что число шестиугольников, имеющих центром некоторый узел, в точности равно значению выражения \(h(h+1)/2\), где h

— расстояние от этого узла до ближайшей стороны исходного шестиугольника, а в качестве единицы измерения взята высота единичного треугольника сетки (рис. 5).

Это легко можно доказать, опираясь на факт, которым мы пользовались при решении пункта б)

: с центром в данном узле существует ровно
h
шестиугольников размера от 1 до
h
, стороны которых параллельны сторонам исходного шестиугольника
H
, а каждый из них «порождает», в соответствии с упомянутым фактом, число шестиугольников, равное его размеру. Значит, надо сложить числа от 1 до
h
, а это и даст выражение \(h(h+1)/2\). Числа такого вида называют треугольными.

Опираясь на эту находку, сделанную Сергеем Царановым, можно решить пункт б)

еще одним способом. Для этого в каждом внутреннем узле решетки запишем число, равное количеству шестиугольников, имеющих центром данный узел (рис. 6, слева) — то есть соответствующее треугольное число
Tk
. Сумма всех записанных чисел будет равна числу всех правильных шестиугольников (будут посчитаны и те шестиугольники, стороны которых не лежат на линиях разбиения).

Но как сосчитать такую сумму? Можно так: все слагаемые разобьем на 6 одинаковых групп, заключенные в треугольные области, тогда искомая сумма равна увеличенной в 6 раз сумме всех чисел одной группы и плюс центральное число, не вошедшее ни в одну из групп (рис. 6, справа), которое равно Tn

. Учитывая, что в группе по рядам записаны треугольные числа, получаем, что нужно посчитать сумму \(\sum\limits_^(T_i\cdot (n-i))\). Это делается аналогично тому, как подсчитывались суммы в решении — получится \(\frac<1><24>(n-1)n(n+1)(n+2)\).

Значит, всего шестиугольников

Упрощая это выражение получим все тот же результат — \(\left(\frac<2>\right)^2\). Это, кстати, квадрат центрального треугольного числа.

Другой подход есть и к пункту а)

, причем он почти не требует вычислений. По аналогии с рис. 2 будем отмечать положения, которые может занимать центр шестиугольника (со сторонами, параллельными сторонам исходного шестиугольника), последовательно уменьшая его размер от
n
до 1 (рис. 7).

То есть для каждого размера мы имеем свое множество центров. Каждое из этих множеств можно представить себе по-другому: в виде трехгранного уголка, сложенного из единичных кубиков (рис. 8). Из таких уголков складывается кубик со стороной n

. Это и дает ответ:
n
3 шестиугольников.

С обсуждаемой задачей связана и придуманная автором головоломка «Разрушенные шестиугольники»: из спичек сложен правильный шестиугольник, разбитый на треугольные ячейки (рис. 9); какое наименьшее количество спичек надо убрать из этой конструкции, чтобы в ней не осталось ни одного контура правильного шестиугольника?

Попробуйте решить ее самостоятельно, опираясь на уже известные сведения о числе шестиугольников.

Решение головоломки

Как мы уже знаем, в шестиугольнике со стороной 3 есть 27 правильных шестиугольников: 19 со стороной 1 спичка, 7 со стороной 2 спички и 1 со стороной 3 спички. Заметим, что шесть спичек — по одной при каждой вершине исходного шестиугольника — не входят ни в один из этих 27 шестиугольников, поэтому ни одну из этих спичек нет смысла убирать.
Остальные спички можно представить в объединения трех неперекрывающихся групп спичек. В первой группе 6 шестиугольников со стороной 1 спичка, во второй группе 7 таких шестиугольников, в третьей группе — еще 6 (см. рис.).

Чтобы разрушить эти 19 шестиугольников, надо разбить их на смежные пары и в каждой паре убрать общую спичку, то есть надо убрать 3 + 4 + 3 = 10 спичек. После чего останется только один центральный шестиугольник со стороной 2, для разрушения которого надо убрать еще одну спичку. Значит, всего требуется убрать 11 спичек — например так, как показано на следующем рисунке.

Эта головоломка основана на исходной задаче при n

= 3. При
n
= 1 и
n
= 2 она решается совсем просто, а вот уже при
n
= 4 возникают сложности и без компьютерного перебора справиться не получается. Возможно, у кого-то из читателей получится это сделать…

Построение на плоскости

Нам понадобятся: карандаш, линейка, циркуль.

Построение угла в 60

1. Проведём прямую и отметим на ней точку А.

2. Из точки А проведём дугу произвольного радиуса и получим точку В.

3. Из точки В проведём дугу радиуса АВ, чтобы она пересекла ранее начерченную дугу.

4. Проведённая через точку пересечения (С) и точку А прямая будет второй стороной требуемого угла.

Построение угла в 45

1. Построим угол 60, кака описано выше.

2. Разделим полученный угол пополам.

3. Угол между лучами 60 и 30 разделим пополам. В результате получим угол в 45.

Построение угла в 75

1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. В ходе дальнейшего деления надвое получим угол в 15.

3. Отразим угол в 15 через луч 60 и так получим угол в 75.

Построение угла в 90

1. Построим угол в 60, как описано выше, и разделим его пополам.

2. Получившийся угол в 30 через луч 60 и так получим угол точно в 90.

Разделение отрезка на равные части.

1. Проведём прямую и отметим на ней отрезок АВ.

2. Из точки А проведём вспомогательную прямую и разделим её на столько одинаковых частей, на сколько требуется разделить отрезок АВ. Делить будем при помощи циркуля. Последнюю точку обозначим буквой С.

3. Последнюю точка (С) соединим с концом отрезка АВ. Построим рад параллельных отрезку СВ прямых по всей длине отрезка АВ. Точки пересечения параллельных прямых с отрезком АВ и будут точками раздела отрезка на несколько равных частей.

Построение правильного пятиугольника.

1. Проведём окружность радиусом 50 мм. Через центр окружности проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную линии.

2. Разделим пополам расстояние ОВ. Разведём ножки циркуля на расстояние FC . Из точки F проведём дугу через С. Дуга пересечёт горизонтальную линию в точке G .

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Читать также: Самозащитная порошковая проволока для полуавтомата

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как нарисовать шестиугольник в линейной перспективе

Здравствуйте коллеги. В этом уроке узнаем, как нарисовать шестиугольник в перспективе.
Как вписать его фронтально в окружность мы смотрели в прошлом уроке. Заметьте ничего сложного нет. Нам удалось малыми средствами начертить равнобедренный предмет с шестью вершинами.

Его можно сделать еще проще. Например, отложить шесть радиусов на тело овала. Эта фигура не такая сложная, как с пятью или с семью углами, уроки которых мы рассмотрим в других статьях.

Я не фанат точной науки геометрии. Приходилось рисовать, но без циркуля и угольника не всегда получалось правильно создать картину.

Наша задача показать полную иллюзию пространства на двухмерной плоскости. Нарисуем многоугольник онлайн в перспективе, а для этого нужно знать правила построения.

К примеру, чтобы создать многоугольный узор на потолке, как на картине художника Премацци, нужно знать законы построения.

«Виды залов нового Эрмитажа. Галерея фламандской живописи.»

На картине Гау мы видим интерьер дворца. И все узоры выполнены в рамках законов линейной перспективы.

«Зимний дворец. Петровский зал.»

Посмотрите узор на полу в произведении Жерома Жан-Леона.

«Painting Breathes Life into Sculpture»

Задумывая сюжет в интерьере, нам придется изучать принципы построения. Как положить шестигранник на плоскость посмотрите видео урок ниже.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50). — Текстовый учебник с видеопримерами. — Мастер-класс Анны Малковой. — Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Все углы правильного шестиугольника равны 135

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:

Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый шестиугольник

Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.

Свойства простые и интересные

Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:

Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:

1. диаметр описанной окружности;
2. диаметр вписанной окружности;
3. площадь;
4. периметр.

Описанная окружность и возможность построения

Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.

Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.

После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:

R=а.

Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.

Ну а площадь этой окружности будет стандартная:

S=πR²

Вписанная окружность

Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

А поскольку R=a и r=h, то получается, что

r=R(√3)/2.

Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.

Ее площадь будет составлять:

S=3πa²/4,

то есть три четверти от описанной.

Периметр и площадь

С периметром все ясно, это сумма длин сторон:

P=6а, или P=6R

А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или

S=3R²(√3)/2

Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:

Занимательные построения

В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:

Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:

1. Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
2. Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.

Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:

1. Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
2. Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
3. Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
4. Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.

Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:

d=а(√3)/3

Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:

r₂=а/2

Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:

Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.

Модернизированные отвертки

Профессиональный инструмент отличается дополнительным набором функций.

Конечно же, еще не была создана звуковая отвертка по образу и подобию универсальной модели из сериала «Доктор Кто», способная посредством кибернетических волн воздействовать на различные механизмы.

Но прогресс не стоит на месте, и кто знает, может в недалеком будущем человечество получит новые и суперсовременные девайсы.

Уже сейчас существуют модели, на фоне которых отвертка слесарная выглядит моделью инструмента из прошлого.

Но по-прежнему набор отверток усиленных цельнометаллических остается востребованным кейсом для специалистов самого разного профиля.

Так чем же примечательны модернизированные виды отверток?

Диэлектрические

Отвертки этого типа применяются для электромонтажных работ.

Специальная изоляция стержня отвертки защищает мастера от удара током, что позволяет использовать инструмент для откручивания деталей, находящихся под высоким напряжением.

Данный вид инструмента часто оборудуют индикатором для распознавания скрытой проводки, что позволяет «прозванивать» данные участки в целях последующего ремонта электрических сетей.

Ударные

Такой вид инструмента применяют для работы с крупными деталями, поскольку принцип его действия направлен на создание усиленного импульса.

Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника

n=6	число сторон и вершин правильного шестиугольника,	шт
α	центральный угол правильного шестиугольника,	радианы, °
β	половина внутреннего угла правильного шестиугольника,	радианы, °
γ	внутренний угол правильного шестиугольника,	радианы, °
a	сторона правильного шестиугольника,	м
R	радиусы правильного шестиугольника,	м
p	полупериметр правильного шестиугольника,	м
L	периметр правильного шестиугольника,	м
h	апофемы правильного шестиугольника,	м

От теории к практике

Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.

Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:

Выпускается и бетонная плитка для мощения.

Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре:

Пчелиные соты имеют форму правильного шестиугольника.

Графит, графен имеют гексагональную кристаллическую решетку.

Гигантский гексагон – атмосферное явление на Сатурне – имеет форму правильного шестиугольника.

Рис. 9. Гигантский гексагон на Сатурне

Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.

Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.

Панцирь черепахи состоит из шестиугольников.

Гексагоном иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.

Рис. 10. Материковая часть Франции

Способ вычерчивания шестиугольника циркулем, линейкой

Чтобы построить шестигранник при наличии циркуля, достаточно вычертить окружность, найти на ее дуге 6 точек, соединив их отрезками. Для этого достаточно настроить циркуль один раз, отложив на нем значение стороны многогранника. Линейка потребуется для строительства вспомогательных, основных линий.

Метод выглядит следующим образом:

Первый способ вычерчивания шестиугольника циркулем: 1,2,3,4,5,6 — углы, 0 — центр, D — радиус шестигранника.

Построение правильного шестигранника завершается соединением получившихся углов по линейке. Это самый точный способ, требующий минимального количества чертежного инструмента. При значительном размере сторон (например, крой листового металла, деревянных заготовок) можно использовать шнур с карандашом. Один край шнура крепится к карандашу/маркеру, второй неподвижно фиксируется в центре окружности, затем в точках пересечения диаметра с дугой окружности.

Построение занимает минимальное количество времени, точность целиком зависит от заточки карандаша, наличия фиксатора на циркуле.

Виды отверток и их назначение

Универсальная отвертка слесарная – это инструмент, который есть практически в каждом доме.

Благодаря отвертке можно выполнять ремонтные работы разной степени сложности, главное знать, какой тип и диаметр подойдет в каждом конкретном случае.

О том, какие бывают отвертки можно узнать, если детальнее углубиться в тему.

Отличительной особенностью всех видов является разное толщина стержня.

Читать также: Фрезы по металлу для фрезерного станка концевые

Наиболее популярными считают отвертки с круглым и квадратным сечением, с прямым или крестообразным шлицем.

Однако технический прогресс не стоит на месте и наряду с новыми видами крепежа появляются профессиональные отвертки для вкручивания болтов, шурупов и прочих элементов.

Все это делается для того, чтобы облегчить работу потребителям.

• На данный момент кроме универсальных моделей существует еще несколько модернизированных видов отверток для проведения разных работ.

Например, переставная отвертка отличается своей универсальностью, т.к. с одной стороны стержня она плоская, а с другой крестовая.

Некоторые переставные модели имеют несколько разных наконечников, что повышает универсальность инструмента.

• Точная или как ее еще называют, тонкая отвертка – подойдет для ремонта мобильных телефонов, ее маркировка соответствует нулевому обозначению.

Изделие производят с малым размером шлица, не более 2мм, что позволяет выполнить точную работу с мелкими деталями.

• Особые эргономичные свойства приобрела двухкомпонентная отвертка, ее отличительной особенностью стала прочная рукоять из комбинированных материалов.

Для покрытия рукояти использовали полипропилен и резину.

Двухкомпонентное покрытие способствует надежному захвату, чтобы изделие уже не могло выскользнуть из рук.

• Для работы с тонкими деталями используют часовые отвертки, с их помощью ремонтируют часовые механизмы.

Размер наконечника изделия – не более миллиметра.

На этом классификация профессиональных монтажных отверток не заканчивается, существует еще много разновидностей моделей, предназначенных для определенных целей.

Ссылки[править | править код]

• Шестиугольный мир (ЖЖ-сообщество)

Ответ или решение 1

1) Верно, площадь трапеции находится по формуле: половина произведения суммы длин оснований и высоты, а половина суммы длин оснований и есть длина средней линии;

2) Неверно, сумма углов любого треугольника равна 180°;

3) Неверно, гипотенуза – самая большая из сторон прямоугольного треугольника, потому что лежит против самого большого угла 90°, остальные углы острые, значит катеты им противолежащие будут проигрывать в длине;

4) Неверно, равнобедренные треугольники весьма различных размеров могут быть;

5) Неверно, сумма углов правильного шестиугольника S = (6 – 2) • 180° = 720°, значит каждый угол по 720° : 6 = 120°.

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Шестиугольные структуры — почему они так часто встречаются в природе

Столбы базальтов от извержения старого вулкана. Снежинка. Пчелиные ульи. Кораллы, кристаллы и множество других структур, как биологических, так и небиологических, имеют форму шестиугольника. Почему природа, которая часто кажется такой беспорядочной и неправильной, предпочитает именно эту форму? Оказывается, все дело в геометрии и физике.

Пчелы тратят много времени на работу, но они не любят работать впустую — пчелы ничто, если они не эффективны. Пчелы также эффективно строят свои соты, и шестигранная форма помогает в этом.

Соты строятся из пчелиного воска, вырабатываемого рабочими пчелами. Они вырабатывают воск из специальных желез в своем теле, которые затем смешивают с небольшим количеством меда и пыльцы, которую они разжевывают, чтобы получить пчелиный воск. Соты будут служить сосудами для хранения меда, а также камерами для выращивания молодых пчел.

Все это хорошо и замечательно, но почему шестиугольники?

Древние философы тоже задавались этим вопросом. Греческий философ Папп Александрийский, изучавший шестиугольники более 1 600 лет назад, считал, что пчелы обладают «определенным геометрическим мышлением», а энтомолог Уильям Кирби полагал, что пчелы — это «математики, наученные небесами». Даже Чарльз Дарвин интересовался шестиугольниками пчел и проводил эксперименты, чтобы выяснить, могут ли пчелы строить шестиугольные соты, используя только свои инстинкты, или это обучаемое поведение.

Шестиугольники — это шестигранные геометрические структуры. В переводе с греческого «гекс» означает «шесть». У обычных шестиугольников (таких, как показан здесь) все стороны равны, а все внутренние углы равны 120 градусам.

Ко времени Дарвина люди довольно хорошо понимали геометрию шестиугольников — особенно когда речь шла о покрытии поверхностей. Если вы хотите использовать одну форму и только одну форму для покрытия плоской поверхности, есть только три формы, которые работают: равносторонние треугольники, квадраты и шестиугольники. Из них шестиугольники используют наименьшее количество разделительной стенки, поэтому логично, что пчелы предпочитают именно их, поскольку это означает, что им нужно использовать меньше пчелиного воска. Как заявил Дарвин, это самое эффективное решение, и шестиугольные соты «абсолютно идеальны в экономии труда и воска». Пчелы действительно были наделены некоторыми геометрическими способностями.

Пчелы — далеко не единственные существа, использующие шестиугольники. Кожица в центральной части панциря черепах имеет шестиугольную форму — опять же, потому что это такой эффективный способ покрытия поверхности. Но шестиугольники не очень хорошо работают на изогнутых поверхностях, таких как панцирь черепахи, поэтому в панцире также есть кольцо пятиугольников и неправильных форм.

Вымерший коралл Cyathophyllum hexagonum даже назван в честь своей шестиугольной формы, а некоторые диатомовые водоросли (основная группа водорослей) также имеют шестиугольную форму. Но, пожалуй, ни одна биологическая структура не имеет такой поразительной шестиугольной формы, как глаза стрекоз.

Глаза, состоящие примерно из 30 000 шестиугольников, переплетенных в ослепительное множество, являются одними из лучших в животном мире. Фактически, глаза стрекоз состоят из правильных шестиугольников, причем только три из этих шестиугольников встречаются в любой данной точке пересечения (или вершине).

У стрекоз два больших сложных глаза с тысячами шестиугольных линз (а также три глаза с простыми линзами, но оставим их пока в стороне). Шестиугольные линзы соединены между собой длинным тонким сетчатым каналом. На самом деле, у многих насекомых глаза имеют шестиугольную форму, и правило всегда гласит, что только три стенки клетки могут встречаться в любой вершине.

На самом деле, если мы на мгновение отойдем от биологического мира, то обнаружим, что точно такое же правило управляет чем-то совершенно другим: пеной из пузырьков.

Хотя пена пузырьков остается трудноразрешимой математической задачей, известно, что пена часто имеет тенденцию образовывать шестиугольные формы. В данном случае речь идет о поиске структуры с наименьшим общим поверхностным натяжением (что означает наименьшую площадь стены из мыльной пленки), и эта форма оказывается шестиугольником.

Конечно, структуры пены редко бывают идеально шестиугольными (а иногда они вообще не шестиугольные), потому что они также должны быть механически устойчивыми (и противостоять таким вещам, как ветер). Что еще более усложняет ситуацию, трехмерное расположение делает проблему еще более сложной. Несмотря на склонность к шестиугольникам, пена редко бывает упорядоченной.

На самом деле было удивительно много споров о том, какие формы может принимать пена, исследователи предлагали трехмерные 14-гранные многогранники и даже некоторые более безумные и беспорядочные формы. Но именно здесь становится интересно. Правила, управляющие формой ячеек в пене, похоже, также управляют некоторыми формами живых клеток. Дело не только в том, что глаза некоторых мух имеют такие же шестиугольные узоры, как и пена пузырьков, но и в том, что клетки внутри отдельных линз сгруппированы таким образом, что, похоже, повторяют геометрию пены пузырьков. Это поразительный случай, когда физика и математика направляют формы в биологическом мире.

Пена — далеко не единственная шестиугольная форма в природе. Возможно, наиболее ярким примером является вулканическое столбчатое соединение.

Соединение колонн в Дороге гигантов в Северной Ирландии.

Некоторые вулканические извержения (особенно те, которые порождают базальтовые породы) могут порождать поразительные шестиугольные образования, которые озадачивали людей на протяжении веков. Подобные образования есть во многих местах по всему миру — от как бы шестиугольных до почти идеально шестиугольных. К счастью, у нас есть довольно хорошее представление о том, как они образуются.

Когда вулкан извергается, он может извергать горячую лаву. Вытекая на поверхность, лава начинает остывать — и по мере остывания она сжимается. Это сжатие создает все большее и большее давление, и в конце концов образуются трещины. Как выяснилось, угол, который создает наибольшее напряжение, составляет 120 градусов — это, если вы помните, внутренний угол в правильном шестиугольнике.

Но не вся лава остывает в одно и то же время, и некоторые участки могут все еще течь, в то время как другие уже затвердели, что может сделать формы более несовершенными. Поразительно, что часто угол удивительно близок к 120 градусам.

Иногда колонны могут достигать внушительных размеров — хотя шестиугольники не всегда идеальны.

Если вы все еще не верите в существование шестиугольников в природе, вот еще один пример: снежинки.

Конечно, каждая снежинка уникальна, но все снежинки имеют шесть сторон или точек, и это связано с тем, как они формируются. Внешняя форма снежинок отражает их внутреннюю структуру. Гексагональная структура позволяет молекулам воды (с одним атомом кислорода и двумя атомами водорода) группироваться вместе наиболее эффективным образом.

Можете ли вы заметить шестиугольную структуру в этой снежинке?

На самом деле, если увеличить масштаб, снежинки — далеко не единственные кристаллы, имеющие шестиугольную структуру. Существует целое семейство кристаллов (так называемое семейство гексагональных кристаллов), внутренняя структура которых состоит из шестиугольников или структур гексагонального типа.

Если мы еще больше увеличим масштаб, то обнаружим еще одну форму шестиугольника. Как быстро отметит любой студент-химик, шестиугольники являются основой органической химии. Когда шесть атомов углерода соединяются, угол составляет 120 градусов, что уже должно быть знакомо. Шесть соединенных атомов углерода образуют идеальный шестиугольник, который также называется бензольным кольцом.

Есть еще один пример, который мы должны рассмотреть, и мы перейдем от очень маленьких к очень большим. Планета Сатурн имеет один из самых необычных шестиугольников в Солнечной системе: облачный узор длиной около 14 500 км; он больше, чем весь диаметр Земли. Шестиугольник состоит из газов, движущихся со скоростью 320 км/ч, и, как полагают, имеет толщину до 300 км.

Исследователи точно не знают, почему так происходит, но уже выдвинуто несколько теорий.

Почему же шестиугольники так часто встречаются в природе? Это зависит от того, как на это посмотреть. Это может быть эффективный способ сохранения массы или энергии, или просто способ расположить атомы таким образом, чтобы они были стабильны. Это может быть просто что-то, обусловленное геометрией.

Природе, как правило, не нравятся очень фиксированные вещи — но она любит узоры, и иногда ей нравятся шестиугольники. Возможно, зная и осознавая это, мы сможем получать еще больше удовольствия от этих шестиугольников, когда столкнемся с ними.